Kleindagarna 2012

Syfte

Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides Elementa, 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på Projekt Runeberg

Den här sidan är till för anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 på Institut Mittag-Leffler.

Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Lektionerna från förra året finns här på SKM

Kleindagarna stöds även av Mattebron

Alla som vill är välkomna att delta. Säg till så ordnar jag ett konto.

Vi uppmuntras att skriva vinjetter.

Att tänka på när vi tar fram lektionsförslag

• minst 4
• vi väljer själva
• för en kurs
• användbara
• uppmuntra
• respekt
• roligt

De fem E:na

• Engage
• Explore
• Explain
• Elaborate
• Evaluate

Föreläsare

Ann-Mari, Magnus,

Abstrakt algebra, Veronica Crispin

Begrepp

• Kommutativ
• Associativ

Läs mer om grupper

Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor

Garfaen för y²=x³-x+1 visas nedan:

<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0

Grupp 1

Redan i ettan. Möta hindren. Inte tillrättalagda uppgifter. Undersöka begreppen, hitta ickekommutativitet.

Grupp 2

Tolka definitioner

Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion

Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen

Obs olika representationer.

Konkreta exempel behövs.

Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.

Grupp 3 fm fredag

Runda biblioteket, plan 2, en trappa upp

• Atref
• Håkan
• Lena
• Mohammed
• Ulrica
• Magnus
• Elin

Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner

Nollan, ettan och oändligheten.

1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]

1/0

[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]

logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel

inversa funktioner

Sjöfarten, logaritmtabeller

Laboration: mäta solhöjden

En sextant.

Hur man använder sextanten för att mäta solens höjd över horisonten.

Håkans sätt introducera logaritmer:

Nu vill vi introducera logaritmen på ett behovsbaserat sätt

alt simulering eller sextantsapp

Ma2C, Ma3B

Man går från R+ med multiplikation till addition

Sextant, mäta solhöjden, beräkna positionen, utan räknare ger behov av multiplikation av tal med många siffror

Behov: Modell sol, solhöjd

Introducera logaritmtabeller

Ger breddgraden. Longituden får man genom att räkan på sträcak tid. Krongrafen

Hur få alla i gruppen att delta?

Filmen longituden

Analogi: triangulering satelliter, GPS.

Vilken multiplikation är det? Är det typ sinussatsen? Sfäriska trianglar...

Ulrihca berättar

Sextantmätningen ger vinkel f solhöjd samt bäring (vinkel)

Latituden ges av tabellen

Begränsa oss till att mäta och räkna ut latituden.

Grupp4 fm fre

Kurs 1

Undersöka. Vilka är sanna?

Alla stämmer någon gång men inte alltid.

• a+b = b+a
• a-b = b-a
• ab = ba
• a/b = b/a

Hitta geometriska förklaringar

På samma sätt: distributiva, associoiativa

a/(b+c) = a/b + a/c

Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?

Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.

Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?

Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.

Kurs 2 Repetition i samband med algebra.

Uppslag

Explore

Finn fem fel

Första kvadreringsfelet: (a+b)² = a² + b²

Andra kvadreringsfelet (2a)² = 2a²

Vilka räkneregler finns det som är användbara?

Evaluate

Skriv sanning på formelblad

Magnus föredrag

Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.

Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.

Ladislaus von Bortkiewicz

Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.

Antal dödsfall, antal pro

0 109 0.545

1 65 0.325

2 22 0.11

3 3 0.015

4 1 0.005

Användbart på gymn

Sannolikhetsträd för kasta krona

p² P(1-p) (1-p)p (1-p)²

Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?

Normalförelningen

Normalfördelningen har täthetsfunktionen

Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²

[math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],

där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer

Qlucore

Programmet R

Företaget Qlucore

NCBI har fria data som man kan använda

Läs Nature och testa.

Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.

Stora datamängder: Helgenomundersökningar med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.

Grupp 1 på fre em

• Anna,
• Sten Ryd,
• Andreas Bergulf,
• Jana,
• Malin Rosenberg

Kolla på Gaussfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.

börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)

Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.

Samla in data med sensorer

Euler, The Master of us all

Excel övning: pi²/6

Strecket

Enklaste möjliga. Dra ett rakt streck på ett papper. Mät längden. Notera kön, ålder (hemläxa i familjen) och klass (program). T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.

Skriv ett tal mellan 1-33.

Tävling: Närmast väntevärdet vinner.

Eleverna gör förslag på andra undersökningar.

Parentes

Skriv ett tio olika ord som du tror att andra har skrivit

Grupp 2

Fotboll, antal mål? Fotbollsstatistik

Handboll?

Olika data, samma fördelning? Labba med Geogebra.

Titta på andra datamängder som FB-vänner.

Grupp 3

xkcd.com/882/

Jelly Beans

Elever kikar på tidningsartiklar som refererar "vetenskapliga" studier.

Upptäck att det är svårt att hitta källor.

Plan över vetenskaplig studie.

Sedan bedöma varandras planer. Respons i Voice Thread.

Grupp 4

Lönestatistik på kommunal skola. Genusfråga. Eleverna bearbetar. Eleverna tar kanske medelvärdet.

Problematisera: man-kvinna, utbildningsnivå, undervisande ämnen, ålder.

SIRIS i Gapminder

Lördag

Jana Madjarova

Grupp 2

Kurs Ma1C, Ma2B

Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter.

Dubbelt onödigt enligt elever.

Men nödvändigt öva att argumentera.

Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker?

Finns det något som är enklare och mer relevant.

Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje.

Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje.

På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel?

Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter.

Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter.

Arbete i grupper. Utan passare och linjal.

Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.

Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.

Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.

Em

Tivoli-fysik

Länkar

Kleinbloggen. Öppna fria att översätta och använda som man vill.

Felix Kleins bok inspirera matematiklärare.

PÅ SKM finns förra årets lektioner