Deriveringsregler för potensfunktioner: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(16 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
= Teori =


Rad 15: Rad 16:
Låt <math> a</math>  och <math> b</math>  vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av <math> f(x) = a x + b </math> med hjälp av derivatans definition.
Låt <math> a</math>  och <math> b</math>  vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av <math> f(x) = a x + b </math> med hjälp av derivatans definition.


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \frac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} </math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \frac{a x+ a h + b - a x - b}{h} </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \dfrac{a x+ a h + b - a x - b}{h} </math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \frac{a h }{h} </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0} \dfrac{a h }{h} </math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}a </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}a </math>
Rad 32: Rad 33:
Låt <math> a</math> vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för <math> f(x) = a x^2 </math>
Låt <math> a</math> vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för <math> f(x) = a x^2 </math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{ 2a xh + a h^2 }{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{ 2a xh + a h^2 }{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}    2a x + a h </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}    2a x + a h </math>
Rad 46: Rad 47:


== Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal ==
== Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal ==
{{#ev:youtube| mNbklsmoH4g | 340 | right |Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders }}
{{#ev:youtube| mNbklsmoH4g | 250| right |Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders }}


{{defruta |
{{defruta |
Rad 55: Rad 56:
}}
}}


{{exruta| '''Härled deriveringsreglerna ovan'''
{{clear}}
 
Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera <math> f(x) = \sqrt{x} </math> vilket vi skriver om som <math> f(x) = x^{\frac{1}{2}} </math> Derivatan blir då:


: <math> f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} </math>
=== Deriveringsregler för summor av funktioner ===


: <math> f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} =  \frac{1}{2 \sqrt{x}} </math>
{{#ev:youtube| xZL-fv8ik10 |250|right|Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.}}


Om vi sedan ska derivera <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så skriver vi om det på potensform som:
Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.


: <math> f(x) = x^{-1} </math>
{{defruta| Deriveringsregler polynom
<br />


: <math> f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} </math>
: Om <math>f(x) = x^n </math> skrivs <math>f'(x) = n \cdot x^{n-1}</math>''.
: Om  <math>f(x) = k \cdot g(x) </math> så är <math>f'(x) = k \cdot g'(x) </math>
: Om  <math>f(x) = C </math> där C är en konstant så är <math>f'(x) = 0 </math>
: Om  <math>f(x) = g(x) + h(x) </math> så är  <math>f'(x) = g'(x) + h'(x) </math>
}}
}}
{{clear}}


= Exempel =
= Exempel =
Rad 80: Rad 81:
Vi ska beräkna derivatan för <math> f(x) = 7 x^2 </math>
Vi ska beräkna derivatan för <math> f(x) = 7 x^2 </math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \frac{ 14 xh + 7 h^2 }{h}</math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}  \dfrac{ 14 xh + 7 h^2 }{h}</math>


: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}    14 x + 7 h </math>
: <math>  f'(x) =  \lim_{h \to 0}    14 x + 7 h </math>
Rad 92: Rad 93:
: <math>  f'(x) =  14 x </math>
: <math>  f'(x) =  14 x </math>
}}
}}
== Om exponenten inte är ett heltal ==
{{exruta| '''Härled deriveringsreglerna ovan'''
Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera <math> f(x) = \sqrt{x} </math> vilket vi skriver om som <math> f(x) = x^{\frac{1}{2}} </math> Derivatan blir då:
: <math> f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} </math>
: <math> f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} =  \frac{1}{2 \sqrt{x}} </math>
Om vi sedan ska derivera <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så skriver vi om det på potensform som:
: <math> f(x) = x^{-1} </math>
: <math> f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} </math>
}}
= Relationen derivata och tangent =
<html>
<iframe scrolling="no" title="Relationen derivata och tangent" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pynywtwb/width/600/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="600px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
En rät linje tangerar funktionen f(x) i en punkt. Tangentens lutning beskriver funktionens förändring i den punkten.
: Vad har tangenten lutning, k-värde?
: Vad har derivatan för värde för punktens x-värde?


= Uppgifter =
= Uppgifter =
Rad 99: Rad 128:
{{uppgfacit|
{{uppgfacit|


Derivera funktionerna:
Derivera funktionerna med hjälp av derivatans definition:


# <math> f(x) = 3 x^2 </math>
# <math> f(x) = 3 x^2 </math>
#:
#:<br>
# <math> f(x) = \frac{2}{x} </math>
# <math> f(x) = \frac{2}{x} </math>
#:
#:<br>
# <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math>
# <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math>
#:
#:<br>
# <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math>
# <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math>
#:<br>
|
|
# Om <math> f(x) = 3 x^2 </math> är <math> f'(x) = 6 x </math>
# Om <math> f(x) = 3 x^2 </math> är <math> f'(x) = 6 x </math>
#:<br>
# Ifall <math> f(x) = \frac{2}{x} </math> är <math> f'(x) = - \frac{2}{x^2} </math>
# Ifall <math> f(x) = \frac{2}{x} </math> är <math> f'(x) = - \frac{2}{x^2} </math>
#:<br>
# När <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math> är <math> f'(x) = - \frac{12}{x^3} </math>
# När <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math> är <math> f'(x) = - \frac{12}{x^3} </math>
#:<br>
# Då <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math> är <math> f'(x) =  \frac{2}{\sqrt{x}} </math>  
# Då <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math> är <math> f'(x) =  \frac{2}{\sqrt{x}} </math>  
#:<br>
}}
}}


Nuvarande version från 24 november 2020 kl. 11.37

[redigera]

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans h-definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans h-definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Lyckligtvis finns det "snabbregler" som kan härledas utifrån derivatans h-definitionen och sedan användas för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

Källa Matteboken.se

Derivatan av första ordningens polynom

Härledning

Låt [math]\displaystyle{ a }[/math] och [math]\displaystyle{ b }[/math] vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a x + b }[/math] med hjälp av derivatans definition.

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a x+ a h + b - a x - b}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a h }{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0}a }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = a }[/math]


Derivatan av andra ordningens polynom

Härledning

Låt [math]\displaystyle{ a }[/math] vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = a x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h)^2 - a x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 2a xh + a h^2 }{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} 2a x + a h }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = 2a x }[/math]


Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal

Load video
YouTube
Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders
Definition

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{1}{x^2} }[/math]


Deriveringsregler för summor av funktioner

Load video
YouTube
Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.

Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.

Definition
Deriveringsregler polynom


Om [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].
Om [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot g(x) }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k \cdot g'(x) }[/math]
Om [math]\displaystyle{ f(x) = C }[/math] där C är en konstant så är [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math]
Om [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = g'(x) + h'(x) }[/math]


[redigera]

Derivatan av ett andra ordningens polynom

Exempel

Vi ska beräkna derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = 7 x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 14 xh + 7 h^2 }{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} 14 x + 7 h }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = 14 x }[/math]


Om exponenten inte är ett heltal

Exempel
Härled deriveringsreglerna ovan

Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} }[/math] vilket vi skriver om som [math]\displaystyle{ f(x) = x^{\frac{1}{2}} }[/math] Derivatan blir då:

[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} }[/math]

Om vi sedan ska derivera [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math] så skriver vi om det på potensform som:

[math]\displaystyle{ f(x) = x^{-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} }[/math]


[redigera]

En rät linje tangerar funktionen f(x) i en punkt. Tangentens lutning beskriver funktionens förändring i den punkten.

Vad har tangenten lutning, k-värde?
Vad har derivatan för värde för punktens x-värde?
[redigera]

Procedur

Uppgift:

Derivera funktionerna med hjälp av derivatans definition:

  1. [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math]

  2. [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} }[/math]

  3. [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{6}{x^2} }[/math]

  4. [math]\displaystyle{ f(x) = 4 \sqrt{x} }[/math]

Facit: (klicka expandera till höger)

  1. Om [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = 6 x }[/math]

  2. Ifall [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{2}{x^2} }[/math]

  3. När [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{6}{x^2} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{12}{x^3} }[/math]

  4. Då [math]\displaystyle{ f(x) = 4 \sqrt{x} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} }[/math]



Resonemang

  1. Använd derivatans definition för att härleda derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]

Repetera

  1. Papper med repetitionsuppgifter på derivatans definition.
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Deriveringsregler_för_potensfunktioner&oldid=54841”