Deriveringsregler för potensfunktioner: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 24 november 2020 kl. 11.37

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans h-definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans h-definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Lyckligtvis finns det "snabbregler" som kan härledas utifrån derivatans h-definitionen och sedan användas för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

Källa Matteboken.se

Derivatan av första ordningens polynom

Härledning

Låt [math]\displaystyle{ a }[/math] och [math]\displaystyle{ b }[/math] vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a x + b }[/math] med hjälp av derivatans definition.

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a x+ a h + b - a x - b}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a h }{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0}a }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = a }[/math]

Derivatan av andra ordningens polynom

Härledning

Låt [math]\displaystyle{ a }[/math] vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = a x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h)^2 - a x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 2a xh + a h^2 }{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} 2a x + a h }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = 2a x }[/math]

Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal

Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders

Definition

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{1}{x^2} }[/math]

Deriveringsregler för summor av funktioner

Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.

Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.

Definition

Deriveringsregler polynom

Om [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].

Om [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot g(x) }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k \cdot g'(x) }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = C }[/math] där C är en konstant så är [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = g'(x) + h'(x) }[/math]

[redigera]

Derivatan av ett andra ordningens polynom

Exempel

Vi ska beräkna derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = 7 x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ 14 xh + 7 h^2 }{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} 14 x + 7 h }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = 14 x }[/math]

Om exponenten inte är ett heltal

Exempel

Härled deriveringsreglerna ovan

Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} }[/math] vilket vi skriver om som [math]\displaystyle{ f(x) = x^{\frac{1}{2}} }[/math] Derivatan blir då:

[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} }[/math]

Om vi sedan ska derivera [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math] så skriver vi om det på potensform som:

[math]\displaystyle{ f(x) = x^{-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} }[/math]

[redigera]

En rät linje tangerar funktionen f(x) i en punkt. Tangentens lutning beskriver funktionens förändring i den punkten.

Vad har tangenten lutning, k-värde?

Vad har derivatan för värde för punktens x-värde?

[redigera]

Procedur

Uppgift:

Derivera funktionerna med hjälp av derivatans definition:

[math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{6}{x^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = 4 \sqrt{x} }[/math]

Facit: (klicka expandera till höger)

Om [math]\displaystyle{ f(x) = 3 x^2 }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = 6 x }[/math]
Ifall [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{2}{x^2} }[/math]
När [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{6}{x^2} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = - \frac{12}{x^3} }[/math]
Då [math]\displaystyle{ f(x) = 4 \sqrt{x} }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} }[/math]

Resonemang

Använd derivatans definition för att härleda derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]

Repetera

Papper med repetitionsuppgifter på derivatans definition.

[redigera]

Läs om Deriveringsregler

Wikipedia Deriveringsregler

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 = Teori =
@@ Rad 10: / Rad 11: @@
 == Derivatan av första ordningens polynom ==
+{{harruta|
 Låt <math> a</math>  och <math> b</math>  vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av <math> f(x) = a x + b </math> med hjälp av derivatans definition.
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \frac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} </math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} </math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \frac{a x+ a h + b - a x - b}{h} </math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a x+ a h + b - a x - b}{h} </math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \frac{a h }{h} </math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a h }{h} </math>
 : <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}a </math>
 : <math>  f'(x) =  a </math>
+}}
 == Derivatan av andra ordningens polynom ==
+{{harruta|
 Låt <math> a</math> vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för <math> f(x) = a x^2 </math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \frac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}</math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \frac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}</math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \frac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}</math>
-: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \frac{ 2a xh + a h^2 }{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{ 2a xh + a h^2 }{h}</math>
 : <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}    2a x + a h </math>
 : <math>  f'(x) =   2a x </math>
+}}
 == Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal ==
-{{#ev:youtube| mNbklsmoH4g | 340 | right |Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders }}
+{{#ev:youtube| mNbklsmoH4g | 250| right |Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders }}
 {{defruta |
@@ Rad 48: / Rad 55: @@
 Om <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så är <math> f'(x) = - \frac{1}{x^2} </math>
 }}
+{{clear}}
+=== Deriveringsregler för summor av funktioner ===
+{{#ev:youtube| xZL-fv8ik10 |250|right|Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.}}
+Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.
+{{defruta| Deriveringsregler polynom
+<br />
+: Om <math>f(x) = x^n </math> skrivs <math>f'(x) = n \cdot x^{n-1}</math>''.
+: Om  <math>f(x) = k \cdot g(x) </math> så är <math>f'(x) = k \cdot g'(x) </math>
+: Om  <math>f(x) = C </math> där C är en konstant så är <math>f'(x) = 0 </math>
+: Om  <math>f(x) = g(x) + h(x) </math> så är   <math>f'(x) = g'(x) + h'(x) </math>
+}}
+= Exempel =
+== Derivatan av ett andra ordningens polynom ==
+{{exruta|
+Vi ska beräkna derivatan för <math> f(x) = 7 x^2 </math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{ 14 xh + 7 h^2 }{h}</math>
+: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}    14 x + 7 h </math>
+: <math>  f'(x) =   14 x </math>
+}}
+== Om exponenten inte är ett heltal ==
 {{exruta| '''Härled deriveringsreglerna ovan'''
-Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera <math> f(x) = \sqrt{x} </math> vilket vi sktiver om som <math> f(x) = x^{\frac{1}{2}} </math> Derivatan blir då:
+Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera <math> f(x) = \sqrt{x} </math> vilket vi skriver om som <math> f(x) = x^{\frac{1}{2}} </math> Derivatan blir då:
 : <math> f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} </math>
 : <math> f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} =  \frac{1}{2 \sqrt{x}} </math>
+Om vi sedan ska derivera <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så skriver vi om det på potensform som:
+: <math> f(x) = x^{-1} </math>
+: <math> f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} </math>
 }}
-{{clear}}
+= Relationen derivata och tangent =
+<html>
+<iframe scrolling="no" title="Relationen derivata och tangent" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pynywtwb/width/600/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="600px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
-= Exempel =
+En rät linje tangerar funktionen f(x) i en punkt. Tangentens lutning beskriver funktionens förändring i den punkten.
+: Vad har tangenten lutning, k-värde?
+: Vad har derivatan för värde för punktens x-värde?
 = Uppgifter =
@@ Rad 67: / Rad 126: @@
 === Procedur ===
-Derivera funktionerna:
+{{uppgfacit|
+Derivera funktionerna med hjälp av derivatans definition:
 # <math> f(x) = 3 x^2 </math>
+#:<br>
 # <math> f(x) = \frac{2}{x} </math>
+#:<br>
 # <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math>
+#:<br>
 # <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math>
+#:<br>
+|
+# Om <math> f(x) = 3 x^2 </math> är <math> f'(x) = 6 x </math>
+#:<br>
+# Ifall <math> f(x) = \frac{2}{x} </math> är <math> f'(x) = - \frac{2}{x^2} </math>
+#:<br>
+# När <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math> är <math> f'(x) = - \frac{12}{x^3} </math>
+#:<br>
+# Då <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math> är <math> f'(x) =  \frac{2}{\sqrt{x}} </math>
+#:<br>
+}}
 === Resonemang ===
@@ Rad 83: / Rad 158: @@
 = Lär mer =
+{| align="right"
+|-
+| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/deriveringsregler Deriveringsregler] }}<br />
+|-
+| {{wplink | [https://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element%C3%A4ra_funktionernas_derivator Deriveringsregler]}}<br />
+|}
 <headertabs />

Deriveringsregler för potensfunktioner: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 24 november 2020 kl. 11.37

Derivatan av första ordningens polynom

Derivatan av andra ordningens polynom

Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal

Deriveringsregler för summor av funktioner

Derivatan av ett andra ordningens polynom

Om exponenten inte är ett heltal

Procedur

Resonemang

Repetera

Navigeringsmeny

Sök