Ekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 18 september 2019 kl. 13.22

Mål för undervisningen Linjära ekvationer

Du kommer att lära dig lösa linjära ekvationer.

Först kommer du att förstå varför procedurerna för ekvationslösning är giltiga. Därefter ska du automatisera tillämpningen av procedurerna så att ekvationslösandet går på automatik.

Vi kommer dessutom att titta på hur digitala verktyg kan användas.

Det är med ekvationer vi beskriver att två matematiska uttryck är lika. Vi skriver ekvationer med hjälp av symboler på var sin sida om ett likhetstecken. Till vänster om likhetstecknet står det vi kallar vänster led, och till höger har vi höger led.

När vi pratar om att lösa en ekvation så är vårt syfte att finna de variabler för vilken likheten stämmer.

Vi kan lösa ekvationer på flera olika sätt.

Ett av de första sättet vi löser ekvationer när vi först stöter på dem i vardagen är oftast identifiering eller prövning. Vid identifiering så försöker vi skriva om ekvationen med enbart tal och ser vilken del som motsvarar vårt x. Och vid prövning så testar vi olika värden för x till dess att vi når en lösning.

Det vanligaste algebraiska lösningssättet är balansering. Den här metoden är den som de flesta har sett någon gång.

Vi vill hålla balansen i ekvationen och allt som görs på den ena sidan likhetstecknet måste även göras på den andra. Så subtraherar vi något från vänster led måste vi även göra det från höger led.

En annan metod vi kan använda oss av är att flytta över hela högerledet så att vårt vänsterled blir lika med 0 (noll) och skriva om vårt uttryck i vänsterled till att endast bestå av produkter och använda oss av något som kallas nollproduktsmetoden. För om en av våra faktorer är noll, så blir produkten noll. På det sättet kan vi få enklare uttryck som är lättare att direkt identifiera. Den här metoden fungerar bra när vi känner oss trygga med faktorisering och att använda oss av kvadrering och konjugering baklänges. Nollproduktsmetoden kommer vi att komma tillbaka till i Ma2c.

Förstå proceduren

Balansering

Ekvationer: lösa ut variabel.

Genom att behandla båda sidor av ekvationen på samma sätt, balansera ekvationen, kan man skapa nya, enklare ekvationer. Man kan alltid addera, subtrahera, multiplicera eller dividera tal eller uttryck på båda sidor, med bibehållen lösningmängd, undantaget är multiplikation och division med 0.

Genom att multiplicera båda sidor med 1/2 fås:

[math]\displaystyle{ 1/2 \cdot 2 \cdot x = 1/2 \cdot 3 }[/math] eller

[math]\displaystyle{ 1 \cdot x = x = 3/2 }[/math].

Det gör att vi nu skrivit om ekvationen på ett sådant sätt att [math]\displaystyle{ x }[/math] måste vara lika med 3/2.

Mer kortfattat kan ovanstående ekvation lösas genom balansering på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 2x+1=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + \underbrace{1+(-1)}_{=0}= 4 + (-1) \quad \Leftrightarrow \quad 2x = 3 \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 2}_{=1} \cdot x \cdot = \frac{1}{2} \cdot 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{3}{2}. }[/math]

Texten ovan från Wikipedia.se

Ekvationer med x i båda leden - effektiv redovisning av lösningen

Ekvationer med variabler i båda led.

Så småningom kan vi utföra balanseringen av ekvationer i sammanbakade steg utan att ange precis hur vi går tillväga eftersom vi har förstått hur det fungerar och eftersom en proper lösning kommunicerar tillräckligt bra

Ett exempel på en ekvation med x i båda leden kan vara:

[math]\displaystyle{ 6 x = 3 x + 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3 x = 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \frac{2}{3} }[/math]

Ekvationer med nämnare

Ekvationer med variabler i nämnaren

Ekvationslösning med MGN

På samma sätt som vi kan balansera ekvationer kan vi multiplicera hela ekvationer så att vi får bort oönskade nämnare.

Om ekvationerna innehåller variabler i nämnaren (bråk) måste de förlängas. Dessa ekvationer är inte linjära.

Exempel

Variabel i nämnaren

[math]\displaystyle{ 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad x \neq 0, vi~får~inte~dela~med~0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad ~förläng ~med ~x }[/math]

[math]\displaystyle{ 3 \cdot x + 2 = 7 \cdot x }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 = 4 x }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} }[/math]

Problemlösning med ekvationer

Ställa upp ekvationer.

Sammanfattning - Tillämpa proceduren

Det finns fyra procedurer som tillämpas vid ekvationslösning:

Flytta över termer och byt tecken.
Flytta upp eller ner till andra sidan.
Multiplicera allt med minus ett
Skifta plats på variabel och lösning.

[redigera]

[redigera]

Gungbrädan

De gula och blå vikterna i figuren väger 10 gram vardera. Kan du formulera och lösa ekvationen som representerar bilden.

[redigera]

Med Graspable Math kan du manipulera ekvationer direkt på skärmen.

Lämplig övning: Literal Equations

Testa!

Se om du kan skapa en riktigt snygg redovisning av någon uppgift rån Kunskapsmatrisen.

[redigera]

Aktiviteten denna lektion är en tydlig genomgång av hur man löser ekvationer och redovisar sin lösning på ett tydligt kommunicerande sätt.

Digitala verktyg

WolframAlpha Alpha.

GeoGebra CAS

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Ekvationer

läromedel: Linjära ekvationer

Läs om Ekvationslösning

Öva på Khan: linear equations

Ekvationer med x i båda leden

Öva på Khan: Equations with x on both sides

Två-stegs-ekvationer

Öva på Khan: Two-step equations

Testa här om du förstår processen för att lösa två-stegs-ekvationer:

Öva på Khan: Understanding the process for solving linear equations

En övning i GeoGebra

En mycket bra övning: Linear Equation Generator, av Tim Brzezinski.

Läs mer

Wikipedia skriver om Ekvationslösning#Att_l.C3.B6sa_en_ekvation

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-= Test =
+__NOTOC__
 = Teori =
@@ Rad 30: / Rad 29: @@
 ====  Balansering ====
-{{#ev:youtube | L2IzmTn0io0 | 400 | right | Ekvationer: lösa ut variabel.}}
+{{#ev:youtube | L2IzmTn0io0 | 400 | right | Ekvationer: lösa ut variabel.|frame}}
 Genom att behandla båda sidor av ekvationen på samma sätt, balansera ekvationen, kan man skapa nya, enklare ekvationer. Man kan alltid addera, subtrahera, multiplicera eller dividera tal eller uttryck på båda sidor, med bibehållen lösningmängd, undantaget är multiplikation och division med 0.
@@ Rad 69: / Rad 68: @@
 På samma sätt som vi kan balansera ekvationer kan vi multiplicera hela ekvationer så att vi får bort oönskade nämnare.
-Om ekvationerna innehåller variabler i nämnaren (bråk) måste de förlängas.
+Om ekvationerna innehåller variabler i nämnaren (bråk) måste de förlängas. Dessa ekvationer är inte linjära.
+{{exruta| '''Variabel i nämnaren'''
+: <math> 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad x \neq 0, vi~får~inte~dela~med~0 </math>
+: <math> 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad ~förläng  ~med ~x </math>
+: <math> 3 \cdot x + 2 = 7 \cdot x </math>
+: <math>  2 = 4 x </math>
+: <math>  x = \frac{1}{2} </math>
+}}
 {{clear}}
 ==== Problemlösning med  ekvationer ====
-{{#ev:youtube | BpDBmZou1jA | 400 | left| Ställa upp ekvationer. }}
+{{#ev:youtube | BpDBmZou1jA | 400 | right| Ställa upp ekvationer. }}
 {{clear}}
@@ Rad 92: / Rad 104: @@
 [[Fil:Ekvationslösning_nollproduktsmetoden.png|400px|miniatyr|höger| Överkurs: Ekvationslösning med nollproduktsmetoden]]
+{{clear}}
+= Uppgifter =
+=== Gungbrädan ===
+[[Fil:Gungbrädan som ekvation.jpg|400px|miniatyr|höger |Gungbrädan som ekvation. Kan du se vilken ekvation som representerar gungbrädan och dess vikter?]]
+De gula och blå vikterna i figuren väger 10 gram vardera. Kan du formulera och lösa ekvationen som representerar bilden.
+{{clear}}
+= Aktivitet - Peka och dra =
+Med [https://graspablemath.com/ Graspable Math] kan du manipulera ekvationer direkt på skärmen.
+Lämplig övning: [https://graspablemath.com/materials/materials-saves.html?save_id=_ce093940af1a20e9 Literal Equations]
+Testa!
+Se om du kan skapa en riktigt snygg redovisning av någon uppgift rån Kunskapsmatrisen.
 = Aktivitet =
@@ Rad 107: / Rad 141: @@
 {{clear}}
-= Uppgifter =
-=== Gungbrädan ===
-[[Fil:Gungbrädan som ekvation.jpg|400px|miniatyr|höger |Gungbrädan som ekvation. Kan du se vilken ekvation som representerar gungbrädan och dess vikter?]]
 = Lär mer =
@@ Rad 121: / Rad 150: @@
 {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
 |}
+{{khanruta| [https://www.khanacademy.org/math/algebra/one-variable-linear-equations linear equations]}}
 === Ekvationer med x i båda leden ===
 {{khanruta| [https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-linear-equations-inequalities/solving-fancier-linear-equations/e/linear_equations_3 Equations with x on both sides]}}
 {{clear}}

Ekvationer: Skillnad mellan sidversioner