Logaritmlagarna: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 22 januari 2020 kl. 14.34

[redigera]

Mål för undervisningen Logaritmlagarna

Vi härleder logaritmlagarna och övar oss på att tillämpa dem.

Logaritmlagarna

Det finns ett antal logaritmlagar som är bra att använda när man ska lösa exponentialekvationer.

Sammanfattning av logaritmlagarna

Definition

Logaritmlagarna

Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Exponenter

lg a^p = p lg a

[redigera]

Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation

Härledning

Börja med talet ab.

Definitionen av 10-logaritmer ger att

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math]

Det går även att skriva om ab genom att skriva om a till basen 10 och b till basen 10.

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a}*10^{\log b} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Det sista steget är via användning av första potenslagen ovan.

Nu har vi att:

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math]

men även att:

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Med andra ord är [math]\displaystyle{ 10^{\log ab} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Detta ger då att [math]\displaystyle{ \log ab = \log a + \log b }[/math]

V S B

Samma härledning koncentrerad

I matematisk litteratur är det vanligt att härledningar skrivs utan alltför mycket förklarande text. Det lämnas då åt läsaren att klura ut hur man kommer till nästasteg. En fördel är att man får bättre översikt. Ovanstående härledning av första logaritmlagen ser då ut så här:

[math]\displaystyle{ \log (x \cdot y) = \log(10^{\log x} \cdot 10^{\log y}) = lg(10^{\log x + \log y}) = \log x+\log y }[/math]

Andra härlednigar finns i:

Matteboken.se. (tydlig)
Wikipedia:List_of_logarithmic_identities (tips)

[redigera]

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

[redigera]

Uppgift

Gör en egen härledning

Visa att

[math]\displaystyle{ \log \frac{a}{b} = \log a - \log b }[/math]

Uppgifter

lg(4x) - lg(2) = 2

Extrauppgifter

lg( x² + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2

lg(x² - 9 ) - lg( x + 3) = lg( 2x -7)

Uppgifter med logaritmer

[math]\displaystyle{ lg(4x)^2 + lg(2)^2= 4 }[/math]

Lista: (klicka expandera till höger)

[math]\displaystyle{ lg (16x^2 * 4) = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ lg(64x^2)=4 }[/math]

[math]\displaystyle{ 64x^2=10000 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2= \frac{10000}{64} }[/math]

Men x kan inte vara negativt för logaritmfunktionen kan inte behandla negativa tal.

[math]\displaystyle{ x= 12.5 }[/math]

[redigera]

Öva i Kunskapsmatrisen.

Diskutera lösningar

Hur skulle du som lärare bedöma dessa lösningar? Tänk på att uppgifterna ni få ofta är konstruerade för att ni ska visa upp era senaste kunskaper.

Logaritmer_diskussion_1.PNG

Logaritmer_diskussion_2.PNG

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Logaritmlagarna
läromedel: De logaritmiska lagarna
Läs om Logaritmlagarna

Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Vad är sjätteroten av en centiljon 10⁶⁰⁰ och hur många miljoner är det ?

Om stora tal

Hur många siffror har primtalet 2^57885161-1 ?

Tips: log₁₀(1234)=3,09..

Exit ticket

Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
+= Teori =
 {{malruta | Logaritmlagarna
@@ Rad 4: / Rad 8: @@
 }}
-== Teori ==
+=== Logaritmlagarna ===
+Det finns ett antal logaritmlagar som är bra att använda när man ska lösa exponentialekvationer.
+==== Sammanfattning av logaritmlagarna ====
+{{defruta | '''Logaritmlagarna'''
+'''Multiplikation'''
+: lg(a b) {{=}} lg a + lg b
-=== Repetition - Potenslagarna ===
+'''Division'''
+: lg (a/b) {{=}} lg a - lg b
-Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.
+'''Exponenter'''
+:  lg a<sup>p</sup> {{=}} p lg a
+}}
+= Exempel =
+<pdf>Fil:Logaritmlagar.pdf</pdf>
+= Lektionsanteckningar =
-[[Fil:Potenslagar.png|600px|Potenslagarna]]
+<pdf>Fil:Logaritmer_och_logaritmlagar.pdf</pdf>
-=== Potenslagarna ===
+= Härledning =
-==== Utförlig härledning av potenslagarna ====
+==== Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation ====
 {{harruta|
-Sätt <math> n = \log a </math> och <math>m = \log b </math>
+Börja med talet ab.
-Potenslagen <math>10^{n+m} = 10^n \cdot 10^m</math>
+Definitionen av 10-logaritmer ger att
-ger att <math> 10^{\log a + \log b} = 10^{\log a} \cdot 10^{\log b} = a \cdot b \qquad (1)</math>
+<math>ab = 10^{\log ab} \qquad  </math>
-Definitionen av logaritmen för (ab) ger att
+Det går även att skriva om ab genom att skriva om a till basen 10 och b till basen 10.
-<math>ab = 10^{\log ab} \qquad (2) </math>
+<math>ab = 10^{\log a}*10^{\log b} =  10^{\log a + \log b} \qquad  </math>
-Sätt <math>(1) = (2)  </math> ger att
+Det sista steget är via användning av första potenslagen ovan.
-<math>10^{\log a + \log b} =  10^{\log a \cdot b}  </math>
+Nu har vi att:
-Eftersom basen (10) är lika i VL och HL måste exponenterna vara lika och
+<math>ab = 10^{\log ab} \qquad  </math>
-<math> \log{a \, b} = \log a + \log b =  </math>
+men även att:
+<math>ab = 10^{\log a + \log b}  \qquad  </math>
+Med andra ord är <math>10^{\log ab} = 10^{\log a + \log b} \qquad </math>
+Detta ger då att <math> \log ab = \log a + \log b </math>
 V S B
 }}
-{{uppgruta | '''Gör en egen härledning'''
+== Samma härledning koncentrerad ==
-Visa att
+I matematisk litteratur är det vanligt att härledningar skrivs utan alltför mycket förklarande text. Det lämnas då åt läsaren att klura ut hur man kommer till nästasteg. En fördel är att man får bättre översikt. Ovanstående härledning av första logaritmlagen ser då ut så här:
-<math> \log \frac{a}{b} = \log a - \log b =  </math>
+<math>
-}}
+\log (x \cdot y) = \log(10^{\log x}  \cdot 10^{\log y}) = lg(10^{\log x + \log y}) = \log x+\log y
+</math>
 ==== Andra härlednigar finns i: ====
-* [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/0d5539c5-d4ae-4ace-9824-a2decc1ca9e2 Gleerups] Scrolla en bit ner och klicka på teori: ...(oöverskådlig)
 * [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/logaritmlagarna Matteboken.se.] (tydlig)
 * {{enwp|List_of_logarithmic_identities}} (tips)
-==== Sammanfattning av potenslagarna ====
+= Repetition - Potenslagarna =
+Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.
-{{defruta | '''Logaritmlagarna'''
+[[Fil:Potenslagar.png|600px|Potenslagarna]]
+= Uppgifter =
-'''Sats:''' Multiplikation
+{{uppgruta | '''Gör en egen härledning'''
-: lg(a b) {{=}} lg a + lg b
-'''Sats:''' Division
+Visa att
-: lg (a/b) {{=}} lg a - lg b
-'''Sats:''' Potensräkning
+<math> \log \frac{a}{b} = \log a - \log b   </math>
-:  lg a<sup>p</sup> {{=}} p lg a
 }}
-==== Bevis av första potenslagen ====
+== Uppgifter ==
-== Aktivitet ==
+:: lg(4x) - lg(2) = 2
+*Extrauppgifter
+:: lg( x<sup>2</sup> + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
+:: lg(x<sup>2</sup> - 9 ) - lg( x + 3) = lg( 2x -7)
+== Uppgifter med logaritmer==
+:<math> lg(4x)^2 + lg(2)^2= 4 </math>
+{{Lista|
+[[File:Log10.png|thumb|Log10]]
+: <math> lg (16x^2 * 4) = 4 </math>
+: <math> lg(64x^2)=4</math>
+: <math> 64x^2=10000</math>
+: <math> x^2= \frac{10000}{64}</math>
+Men x kan inte vara negativt för logaritmfunktionen kan inte behandla negativa tal.
+: <math> x= 12.5 </math>
+}}
+= Aktivitet =
 Öva i Kunskapsmatrisen.
@@ Rad 83: / Rad 132: @@
 [[Media:Logaritmer_diskussion_2.PNG|Logaritmer_diskussion_2.PNG]]
-== Lär mer ==
+= Lär mer =
 {| class="wikitable", align="right"
@@ Rad 111: / Rad 160: @@
 Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.
+<headertabs />

Logaritmlagarna: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 22 januari 2020 kl. 14.34

Logaritmlagarna

Sammanfattning av logaritmlagarna

Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation

Samma härledning koncentrerad

Andra härlednigar finns i:

Uppgifter

Uppgifter med logaritmer

Diskutera lösningar

Något att klura på:

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök