Logaritmlagarna: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(25 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
{{malruta | Logaritmlagarna
{{malruta | Logaritmlagarna


Rad 4: Rad 8:
}}  
}}  


== Teori ==
=== Logaritmlagarna ===
 
Det finns ett antal logaritmlagar som är bra att använda när man ska lösa exponentialekvationer.
 
==== Sammanfattning av logaritmlagarna ====
 
{{defruta | '''Logaritmlagarna'''
 
'''Multiplikation'''
: lg(a b) {{=}} lg a + lg b


=== Repetition - Potenslagarna ===
'''Division'''
: lg (a/b) {{=}} lg a - lg b


Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.
'''Exponenter'''
:  lg a<sup>p</sup> {{=}} p lg a
}}
 
= Exempel =
 
<pdf>Fil:Logaritmlagar.pdf</pdf>
 
= Lektionsanteckningar =
 
<pdf>Fil:Logaritmer_och_logaritmlagar.pdf</pdf>
 
= Härledning =
 
==== Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation ====
 
{{harruta|
 
Börja med talet ab.
 
Definitionen av 10-logaritmer ger att
 
<math>ab = 10^{\log ab} \qquad  </math>
 
Det går även att skriva om ab genom att skriva om a till basen 10 och b till basen 10.
 
<math>ab = 10^{\log a}*10^{\log b} =  10^{\log a + \log b} \qquad  </math>
 
Det sista steget är via användning av första potenslagen ovan.


[[Fil:Potenslagar.png|600px|Potenslagarna]]
Nu har vi att:


=== Potenslagarna ===
<math>ab = 10^{\log ab} \qquad  </math>


==== Utförlig härledning av potenslagarna ====
men även att:


Sätt <math> n = \log a </math> och <math>m = \log b </math>
<math>ab = 10^{\log a + \log b}  \qquad  </math>


Potenslagen <math>10^{n+m} = 10^n \cdot 10^m</math>  
Med andra ord är <math>10^{\log ab} = 10^{\log a + \log b} \qquad </math>


ger att <math> 10^{\log a + \log b} = 10^{\log a} \cdot 10^{\log b} = a \cdot b \qquad (1)</math>
Detta ger då att <math> \log ab = \log a + \log b </math>
V S B
}}


<math>  </math>
== Samma härledning koncentrerad ==


<math>  </math>
I matematisk litteratur är det vanligt att härledningar skrivs utan alltför mycket förklarande text. Det lämnas då åt läsaren att klura ut hur man kommer till nästasteg. En fördel är att man får bättre översikt. Ovanstående härledning av första logaritmlagen ser då ut så här:


<math>  </math>
<math>
\log (x \cdot y) = \log(10^{\log x} \cdot 10^{\log y}) = lg(10^{\log x + \log y}) = \log x+\log y
</math>


==== Andra härlednigar finns i: ====
==== Andra härlednigar finns i: ====


* [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/0d5539c5-d4ae-4ace-9824-a2decc1ca9e2 Gleerups] (oöverskådlig)
* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/logaritmlagarna Matteboken.se.] (tydlig)
* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/logaritmlagarna Matteboken.se.] (tydlig)
* {{enwp|List_of_logarithmic_identities}} (tips)
* {{enwp|List_of_logarithmic_identities}} (tips)


==== Sammanfattning av potenslagarna ====
= Repetition - Potenslagarna =


{{defruta | '''Logaritmlagarna'''
Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.
 
[[Fil:Potenslagar.png|600px|Potenslagarna]]
 
= Uppgifter =


'''Sats:''' Multiplikation
{{uppgruta | '''Gör en egen härledning'''
: lg(a b) {{=}} lg a + lg b


'''Sats:''' Division
Visa att
: lg (a/b) {{=}} lg a - lg b


'''Sats:''' Potensräkning
<math> \log \frac{a}{b} = \log a - \log b  </math>
:  lg a<sup>p</sup> {{=}} p lg a
}}
}}


==== Bevis av första potenslagen ====
== Uppgifter ==
 
:: lg(4x) - lg(2) = 2


== Aktivitet ==
*Extrauppgifter
:: lg( x<sup>2</sup> + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
:: lg(x<sup>2</sup> - 9 ) - lg( x + 3) = lg( 2x -7)
 
== Uppgifter med logaritmer==
 
:<math> lg(4x)^2 + lg(2)^2= 4 </math>
{{Lista|
[[File:Log10.png|thumb|Log10]]
: <math> lg (16x^2 * 4) = 4 </math>
: <math> lg(64x^2)=4</math>
: <math> 64x^2=10000</math>
: <math> x^2= \frac{10000}{64}</math>
 
Men x kan inte vara negativt för logaritmfunktionen kan inte behandla negativa tal.
: <math> x= 12.5 </math>
}}
 
= Aktivitet =


Öva i Kunskapsmatrisen.
Öva i Kunskapsmatrisen.


== Lär mer ==
=== Diskutera lösningar ===
 
Hur skulle du som lärare bedöma dessa lösningar? Tänk på att uppgifterna ni få ofta är konstruerade för att ni ska visa upp era senaste kunskaper.
 
[[Media:Logaritmer_diskussion_1.PNG|Logaritmer_diskussion_1.PNG]]
 
[[Media:Logaritmer_diskussion_2.PNG|Logaritmer_diskussion_2.PNG]]
 
= Lär mer =


{| class="wikitable", align="right"
{| class="wikitable", align="right"
Rad 85: Rad 160:


Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.
Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.
<headertabs />

Nuvarande version från 22 januari 2020 kl. 14.34


[redigera]
Mål för undervisningen Logaritmlagarna

Vi härleder logaritmlagarna och övar oss på att tillämpa dem.


Logaritmlagarna

Det finns ett antal logaritmlagar som är bra att använda när man ska lösa exponentialekvationer.

Sammanfattning av logaritmlagarna

Definition
Logaritmlagarna

Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Exponenter

lg ap = p lg a


[redigera]

Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation

Härledning

Börja med talet ab.

Definitionen av 10-logaritmer ger att

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math]

Det går även att skriva om ab genom att skriva om a till basen 10 och b till basen 10.

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a}*10^{\log b} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Det sista steget är via användning av första potenslagen ovan.

Nu har vi att:

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math]

men även att:

[math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Med andra ord är [math]\displaystyle{ 10^{\log ab} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math]

Detta ger då att [math]\displaystyle{ \log ab = \log a + \log b }[/math]

V S B


Samma härledning koncentrerad

I matematisk litteratur är det vanligt att härledningar skrivs utan alltför mycket förklarande text. Det lämnas då åt läsaren att klura ut hur man kommer till nästasteg. En fördel är att man får bättre översikt. Ovanstående härledning av första logaritmlagen ser då ut så här:

[math]\displaystyle{ \log (x \cdot y) = \log(10^{\log x} \cdot 10^{\log y}) = lg(10^{\log x + \log y}) = \log x+\log y }[/math]

Andra härlednigar finns i:

[redigera]

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

Potenslagarna

[redigera]
Uppgift
Gör en egen härledning

Visa att

[math]\displaystyle{ \log \frac{a}{b} = \log a - \log b }[/math]


Uppgifter

lg(4x) - lg(2) = 2
  • Extrauppgifter
lg( x2 + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
lg(x2 - 9 ) - lg( x + 3) = lg( 2x -7)

Uppgifter med logaritmer

[math]\displaystyle{ lg(4x)^2 + lg(2)^2= 4 }[/math]

Lista: (klicka expandera till höger)

Log10
[math]\displaystyle{ lg (16x^2 * 4) = 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ lg(64x^2)=4 }[/math]
[math]\displaystyle{ 64x^2=10000 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2= \frac{10000}{64} }[/math]

Men x kan inte vara negativt för logaritmfunktionen kan inte behandla negativa tal.

[math]\displaystyle{ x= 12.5 }[/math]



[redigera]

Öva i Kunskapsmatrisen.

Diskutera lösningar

Hur skulle du som lärare bedöma dessa lösningar? Tänk på att uppgifterna ni få ofta är konstruerade för att ni ska visa upp era senaste kunskaper.

Logaritmer_diskussion_1.PNG

Logaritmer_diskussion_2.PNG

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Logaritmlagarna


läromedel: De logaritmiska lagarna


Läs om Logaritmlagarna


Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

Om stora tal

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

Exit ticket

Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Logaritmlagarna&oldid=54070”