Linjära funktioner: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (65 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
= Räta linjens ekvation = | __NOTOC__ | ||
= Teori = | |||
== Räta linjens ekvation == | |||
{{malruta | Linjära funktioner {{=}} räta linjens ekvation | |||
Vi definierar och exemplifierar | Vi definierar och exemplifierar räta linjens ekvation och linjära funktioner. | ||
Du lär dig hur man ritar grafer av funktioner och hur du beräknar k-värden och m-värden. | Du lär dig hur man ritar grafer av funktioner och hur du beräknar k-värden och m-värden. | ||
}} | }} | ||
=== Beskrivning === | |||
{{ | |||
|} | {{#ev:youtube| UrvVcHsSmbw |400|right|En film om linjära funktioner - Räta linjens ekvation från Matematikvideo.se}} | ||
En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är ''k-formen'': | |||
:<math>y = k x + m \,</math> | |||
där ''k'' kallas riktningskoefficient och ''m'' kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör ''k'' linjens lutning och <math>m</math> hur många enheter som linjen är förskjuten från[origo. | |||
Om <math>k > 0</math> har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om <math>k < 0</math>. | |||
Om <math>k = 0</math> är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln. | |||
Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra. | |||
För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som <math>x</math> och <math>y</math> i ekvationen och se om vi får likhet. | |||
''Den här texten fanns där {{svwp|Linjär_ekvation}}''<br /> | |||
=== K- och m-värden === | |||
[[Fil:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|Riktningskoefficienten <math>k=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]] | |||
Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på värdet på x, så förändrats värdet på y (funktionsvärdet). Vad innebär då konstanterna k och m? | |||
k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. | |||
Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln. | |||
Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln. | |||
Om k = 0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0, så kommer inte funktionsvärdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln - funktionsvärdet kommer i det här fallet att vara detsamma, konstant, oavsett den oberoende variabelns värde.) | |||
m kallas konstantterm eller även intercept och bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x = 0, alltså där linjen skär y-axeln. | |||
Om m-värdet är positivt, så kommer linjen att skära y-axeln ovanför origo, och om m-värdet är negativt, så kommer skärningen att gå under origo. Om m = 0, så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer linjen att gå genom origo (alltså punkten (0, 0)). | |||
''Texten från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/linjara-funktioner matteboken.se]'' | |||
=== Beräkna k-värdet === | |||
Som vi skrev ovan betecknas lutningen på en rät linje som k, vilket även kallas för riktningskoefficient. Vi kommer nu gå igenom hur lutningen kan räknas ut. | |||
Om vi vet två punkter på linjen, (x1,y1) och (x2,y2) kan vi med följande formel få fram lutningen: | |||
: <math>k= \frac{Förändring~i~ y-led}{Förändring ~i ~x-led} = \frac{Δy}{Δx} = \frac{y2−y1}{x2−x1} </math> | |||
=== Beräkna m-värdet === | |||
Sätt in x = 0 i funktionen | |||
:<math>y = k x + m \,</math> | |||
så får du m-värdet. | |||
== Matematisk definition av Linjär funktion == | |||
De "räta-linjen"-funktioner som behandlas här är i strikt mening inte linjära funktioner. | |||
[[Fil:Linjär - icke linjär.png|miniatyr|128px|En linjär (blå) och en icke-linjär (röd) funktionsgraf. Se [[:Fil:Linjär - icke linjär.png|Bild:Linjär - icke linjär.png]] för mer information.]] | |||
En '''linjär funktion''' är en funktion ''f''(''x'') som uppfyller följande två krav: | |||
* <math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math> för alla x och y, och | |||
* <math>f(\alpha x) = \alpha f(x)</math> för alla skalärer <math>\alpha</math>. | |||
Där ''x'' och ''y'' är reella tal (eller element i ett godtyckligt vektorrum, funktioner eller operatorer). | |||
Om en funktion ''inte'' uppfyller ovanstående krav kallas den en ''olinjär'' funktion, eller en ''icke-linjär'' funktion. | |||
Problem som ger upphov till linjära funktioner är oftare enklare att lösa än de som ger upphov till olinjära funktioner. Därför lineariseras i praktiken gärna icke-linjära system, det vill säga de approximeras med ett linjärt system, så att de blir lättare att lösa. | |||
Polynom av grad ett kallas också, något oegentligt, för linjära, trots att de inte behöver uppfylla ovan nämnda krav. Ett vanligt namn för de polynomen är ''affina funktioner''. Orsaken till förbistringen är att den grafiska bilden av en affin funktion alltid är en rät linje, medan bara de räta linjer som går genom origo representerar linjära funktioner enligt definitionen - "addition av x-värden ger adderat funktionsvärde". | |||
=== Exempel på skillnaden i definitionen === | |||
Funktionen <math> f(x) = x + 3 </math> är en räta-linjenfunktion och kallas ofta linjär funktion i Matematik 1-kurser. Den uppfyller dock inte kraven för att vara en linjär funktion, ovan. Exempelvis är <math> f(2x) = 2x + 3 </math> men det är inte lika med <math> 2 f(x) = 2x + 6 </math> | |||
= Exempel = | |||
=== Exempel på "räta linjen"-funktioner === | |||
Nedan ser du några exempel på polynomekvationer av grad ett. | |||
{{exruta | '''Några funktioner som är linjära''' | |||
: <math> y = x</math> | |||
: <math> y = 2x</math> | |||
: <math> y = -x</math> | |||
: <math> y = -x + 2</math> | |||
: <math> y = 0.5 x + 0.013</math> | |||
: <math> y = k x + m</math> | |||
}} | |||
=== Bestäm funktionen === | |||
{{exruta | '''Bestäm funktionen''' | |||
En glasskiosk säljer strutglass till följande priser: | |||
: 2 kulor 20 kr | |||
: 3 kulor 28 kr | |||
# Hur mycket kostar struten | |||
# Ställ upp en funktion för glasspriset. | |||
'''Lösning:''' ... TBD ... | |||
}} | }} | ||
== | === Vad utmärker linjära funktioner === | ||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kaaYrmaK/width/635/height/313/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="635px" height="313px" align="right" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
Till höger ser du tre grafiska representationer av linjära ekvationer. | |||
Diskutera hur man kan läsa av '''k'''- och '''m'''-värdena för linjerna. | |||
Filen finns på GeoGebraTube.org och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53570 Ma2C exempel sid 206 linjära funktioner] | |||
{{clear}} | |||
= Begrepp = | |||
=== Begrepp och definitioner === | === Begrepp och definitioner === | ||
{{ | {{defruta | | ||
* rät betyder rak | * rät betyder rak | ||
* linjär betyder också rak, en rak linje. | * linjär betyder också rak, en rak linje. | ||
* ordning. en funktions ordning beskriver exponentens högsta | * ordning. en funktions ordning beskriver exponentens högsta värde i ett uttryck eller en funktion. Linjära funktioner är av första ordningen. ju mer | ||
* lutning beskriver hur brant en graf är. Hög lutning betyder att den håller sig närmare y-axeln (alltså inte att den lutar mer den ligger ner mot x-axeln). | * lutning beskriver hur brant en graf är. Hög lutning betyder att den håller sig närmare y-axeln (alltså inte att den lutar mer den ligger ner mot x-axeln). | ||
* lutningskoefficient är ett värde på den linjära funktionens (grafs) lutning. | * lutningskoefficient är ett värde på den linjära funktionens (grafs) lutning. | ||
* graf (kurva) är den grafiska representationen av en funktion i ett koordinatsystem. | * graf (kurva) är den grafiska representationen av en funktion i ett koordinatsystem. | ||
* plotta är slang för att rita en kurva. | * plotta är slang för att rita en kurva. Jämför [https://sv.wikipedia.org/wiki/Plotter plotter]. | ||
* k-värdet är riktningskoefficienten. | * k-värdet är riktningskoefficienten. | ||
* m-värdet är den konstanta termen i den linjära funktionen | * m-värdet är den konstanta termen i den linjära funktionen | ||
| Rad 33: | Rad 146: | ||
* talpar kallas x- och y-värdet för en punkt i koordinatsystemet. | * talpar kallas x- och y-värdet för en punkt i koordinatsystemet. | ||
* koordinatsystemet är platsen där du ritar grafer i förhållande till x- och y-axeln | * koordinatsystemet är platsen där du ritar grafer i förhållande till x- och y-axeln | ||
* avtagande funktion betyder negativt k-värde om det är en linjär ekvation | |||
}} | }} | ||
=== | = GeoGebra = | ||
=== Bestäm k-värdet === | |||
En GeoGebra som förklarar det på ett (över)tydligt sätt:<br /> | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rjY3bYsQ/width/1035/height/515/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1035px" height="515px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
=== Bestäm m === | |||
När du hittat k-värdet till din linjära funktion behöver du bara sätta in koordinaterna till en punkt i din ekvation och lösa ut m.<br /> | |||
<html> | <html> | ||
<iframe scrolling="no" src=" | <iframe scrolling="no" title="find m" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/AU9zE59r/width/445/height/483/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="445px" height="483px" | ||
align="right" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | </html> | ||
{{clear}} | |||
= Aktiviteter = | |||
= | Räkna i [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/94b5304f-5177-4f6d-bd99-c11e6f554a1f?page=1 Gleerups] eller Kunskapsmatrisen. | ||
=== Öka din förståelse av räta linjen med Geogebra === | === Öka din förståelse av räta linjen med Geogebra === | ||
<html> | <html> | ||
<iframe scrolling="no" src=" | <iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wRPHk2DQ/width/482/height/375/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="482px" height="375px" align="right" style="border:0px;"> </iframe> | ||
</html> | </html> | ||
Filen är en översättning av en amerkiansk GGB. Min version finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53667 Räta linjen k och m-värden]. | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
{{uppgruta| '''Räta linjen med glidare''' | |||
Skriv in en egen funktion med glidare för k och m i GeoGebra. | |||
Leta rätt på knappen för att visa k-värdet som en triangel på grafen. | |||
}} | |||
=== Bra interaktiv övning === | === Bra interaktiv övning === | ||
{{GGB|[ | Du kan testa dig själv med denna GeoGebraövning. | ||
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg Interaktiv övning]}} | |||
= Skissa grafen = | |||
Skissa grafen på tavlan och förklara hur du tänker. Sedan visar vi grafen och du ser om du skissat rätt. | |||
Därefter kan vi slå på alla grafer och sex personer kommer fram och drar streck från sin graf till funktionen till vänster. | |||
=== | <html> | ||
<iframe scrolling="no" title="Skissa räta linjen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ttpk9ces/width/1327/height/705/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1327px" height="705px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= Uppgifter = | |||
Uppgiftsblad i canvas: '''Öva linjära funktioner''' | |||
= Lär mer = | |||
{| wikitable align=right | |||
|- | |||
| {{sway | [https://sway.com/7OK0zsz11XF6xpmR?ref{{=}}Link Linjära funktioner]}}<br /> | |||
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_funktion Linjär funktion] }}<br /> | |||
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/linjara-funktioner Linjära funktioner] }}<br /> | |||
|} | |||
[https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_funktion?wprov=sfti1 Linjär funktion] - formell beskrivning. | |||
=== ÖvningsGeoGebra === | |||
: [https://www.geogebra.org/m/PQCUvc3M Linear Equation Generator] | |||
: [https://www.geogebra.org/m/kJvkzNjs En movie]. Jobba gärna i par. Varför inte spela in ljud till filmen? | |||
: [https://www.geogebra.org/m/Hswgg3c7 Vinkelräta linjer] | |||
<br /> | |||
<html> | <html> | ||
<iframe src=" | <iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qx7e9aaw/width/859/height/456/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="859px" height="456px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
</html> | </html> | ||
=== | === Alternativa förklaringar === | ||
{{clear}} | |||
=== Hemmapyssel - Räta linjen i Javascript === | |||
Några elever programmerade denna övning i Javascript. Du kan säkert göra något ännu bättre. Visa oss i så fall. | |||
'''[http://wikiskola.se/javascript/ratalinjen_K_TE12A.html Räta linjen by TE12A]''' | |||
[[ | Instruktion till kodupgiften finns här: [[Räta_linjen#JavaScript_och_r.C3.A4ta_linjen|Räta linjen med Javascript]]. | ||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
<headertabs /> | |||