Algebraiska uttryck: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(20 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{|
__NOTOC__
|-
= Teori  =
| {{malruta | Algebraiska uttryck
 
{{malruta | Algebraiska uttryck


Du kommer att lära dig om algebraiska uttryck.
Du kommer att lära dig om algebraiska uttryck.
}} |
}}
| {{sway | [https://sway.com/kdTIMKujOt7CaERX?ref{{=}}Link Algebraiska uttryck]}}<br />
 
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/de68640d-bb20-4d37-a1c2-65a77f7c78f0 Algebraiska uttryck] }}<br />
== Algebra==
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler] }}<br />
 
|}
Algebra (från arabiska الجبر,"al-djebr", vilket betyder "återförening" eller "koppling") är en gren inom matematiken. Den kan definieras som en generalisering och utökning av aritmetiken (den gren inom matematiken som handlar om rent räknande). Algebra kan också beskrivas som förhållanden vilka uppkommer när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal.
 
Algebra följer alla lagar som gäller inom aritmetiken och använder sig av samma operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division).
 
=== Algebraiska uttryck ===
 
Ett uttryck är i matematik en kombination av tal, operatorer, grupperande symboler (som klammer och parentes) och/eller variabler ordnade på ett meningsfullt sätt så att uttrycket kan bli utvärderat.
 
Uttrycket kan endast bli utvärderat för en bestämd kombination av variabler. Ett uttryck representerar därför en matematisk funktion vars ingående värden är givna i dess variabler och vars utgående värde/värden är resultatet av uttrycket.
 
Till exempel ger uttrycket
 
<math>\frac{x}{y}</math>
 
utvärderat med x = 10 och y = 5 resultatet 2. Men uttrycket kan inte beräknas för y = 0.
 
Utvärderingen av uttrycket beror på definitionen av de matematiska operatorerna och de värden som ingår.
 
== Historik ==
[[File:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg |200px | right |Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala]]
 
Redan tidigt fanns retorisk algebra, som innebär att matematiska operationer beskrivs i löptext, helt utan användning av symboler. Ofta användes geometri i texten; istället för att skriva x² kunde man skriva om en kvadrat med sidan x. Därefter skedde en stegvis utveckling mot modern symbolisk algebra. Den algebraiska notation som används idag har utvecklats sedan 1500-talet.
 
Som den förste algebraikern anges ibland Diofantos från Alexandria, vilken levde i fjärde århundradet e. Kr. Hos Diofantos hade beskrivande text delvis ersatts av olika matematiska symboler.
 
Den persiske matematikern al-Khwarizmi, som gett sitt namn till ordet "algoritm", skrev omkring 825 i Bagdad verket Hisab al-jabr w'al-muqabalah, (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) "vetenskapen om återförening och opposition". Här beskrivs al-jabr, hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra, samt al-muqabalah, att olika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. I al-Khwarizmis arbeten används dock endast en retorisk algebra och den matematik som han behandlade var mindre avancerad än hos Diofantos. Hur betydelsefull al-Khwarizmi varit för algebrans utveckling är därför föremål för diskussion.
 
Läs mer på [https://sv.wikipedia.org/wiki/Algebra Wikipedias sida om algebra]
 
{{clear}}


== Aktivitet ==
= Aktivitet =


{{uppgruta | '''Klossens volym'''
{{uppgruta | '''Klossens volym'''
Rad 23: Rad 53:
=== Diskutera ===
=== Diskutera ===


Hur kan vi använda algebra för att lösa denna uppgift?
Hur kan vi använda algebra för att lösa denna uppgift? '''Lös uppgiften algebraiskt.'''


Vilka verktyg kan användas för att lösa uppgiften utan att använda algebra?
Vilka verktyg kan användas för att lösa uppgiften utan att använda algebra?


== Teori om algebra ==
=== Demonstration Excel ===
Algebra (från arabiska الجبر,"al-djebr", vilket betyder "återförening" eller "koppling") är en gren inom matematiken. Den kan definieras som en generalisering och utökning av aritmetiken (den gren inom matematiken som handlar om rent räknande). Algebra kan också beskrivas som förhållanden vilka uppkommer när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal.
 
Lös uppgiften genom prövning i Excel.
{{clear}}


Algebra följer alla lagar som gäller inom aritmetiken och använder sig av samma operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division).
= Python =


=== Algebra kan grovt indelas i ===
[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]]  [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''


* Elementär algebra, där de reella talens egenskaper behandlas, symboler används för att beteckna konstanter och variabler, och reglerna som gäller för matematiska uttryck och ekvationer involverande dessa symboler studeras, speciellt polynom. Differentialekvationer och liknande hör däremot hemma inom matematisk analys.
Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar.  
* Abstrakt algebra, där algebraiska strukturer såsom kroppar, grupper, och ringar definieras och studeras axiomatiskt. Vektorrummens specifika egenskaper studeras inom den linjära algebran.
Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
* Universell algebra, där egenskaper gemensamma för alla algebraiska strukturer studeras.
* Datoralgebra, där algoritmer för symbolisk behandling av matematiska objekt samlas.


Det är framförallt elementär algebra och datoralgebra vi kommer hålla på med under gymnasietiden.
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.  
}}


== Historik ==
== Låt datorn göra jobbet om du inte klarar algebran ==
[[File:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg |200px | right |Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala]]


Redan tidigt fanns retorisk algebra, som innebär att matematiska operationer beskrivs i löptext, helt utan användning av symboler. Ofta användes geometri i texten; istället för att skriva x² kunde man skriva om en kvadrat med sidan x. Därefter skedde en stegvis utveckling mot modern symbolisk algebra. Den algebraiska notation som används idag har utvecklats sedan 1500-talet.
{{uppgruta|'''Hitta sidlängden genom prövning'''


Som den förste algebraikern anges ibland Diofantos från Alexandria, vilken levde i fjärde århundradet e. Kr. Hos Diofantos hade beskrivande text delvis ersatts av olika matematiska symboler.
Testa programmet som prövar vilka sidlängder som ger rätt volym till uppgiften med rätblocket
}}


Den persiske matematikern al-Khwarizmi, som gett sitt namn till ordet "algoritm", skrev omkring 825 i Bagdad verket Hisab al-jabr w'al-muqabalah, (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) "vetenskapen om återförening och opposition". Här beskrivs al-jabr, hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra, samt al-muqabalah, att olika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. I al-Khwarizmis arbeten används dock endast en retorisk algebra och den matematik som han behandlade var mindre avancerad än hos Diofantos. Hur betydelsefull al-Khwarizmi varit för algebrans utveckling är därför föremål för diskussion.
== Koden ==


Från högmedeltiden kom Europas matematiska kunskapsnivå att utvecklas kraftigt, delvis tack vare kontakt med araber och det bysantinska väldet. Det indisk-arabiska siffersystemet förmedlades via araberna. Under 1500-talet var algebran föremål för stort intresse och upplevde en hög blomstring särskilt i Italien. Där löstes problemen att genom rotutdragningar upplösa tredje- och fjärdegrads-likheterna.
<pre>
# Testa vilken sidlängd som ger volymen 13182 m3 i Algebraiska uttryck Ma1c


På 1600-talet skapade René Descartes den så kallade analytiska geometrin, eller algebrans användning på geometrin. Vid samma tid gjorde Fermat sina upptäckter inom talteori, eller algebrans användning på studiet av de hela talens egenskaper.
iterationer = int(input("Hur många heltal vill du prova med? "))


Från slutet av 1600-talet härstammar Newtons och Eulers arbeten. 1799 offentliggjorde Carl Friedrich Gauss sitt berömda bevis för att en algebraisk likhet av n:te graden har n rötter, och 1801 utkom hans Disquisitiones arithmeticæ.
# ett program för den som kan sätta upp ettuttryck för volymen men inte kan lösa ut x genom att ta tredjeroten ur.
for x in range(iterationer):
    volymen = 6*x**3
    if (volymen <= 13182):
        print("x = ", x," m ", "Volymen = ", volymen," m^3 " )
</pre>


År 1824 offentliggjorde norrmannen Niels Henrik Abel det första av sina banbrytande algebraiska arbeten, beviset för omöjligheten att genom rotutdragningar lösa polynomekvationer av högre grad än fyra (Abels sats). Under resterande delen av 1800-talet växte det som idag kallas gruppteori fram, en gren av matematiken som tog sin inspiration från Lagranges Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Gauss verk omnämnt ovan och Felix Kleins Erlangenprogram. Speciellt växte Galoisteorin, uppkallad efter Évariste Galois, fram.
Uppgiften är skapad av Håkan.


Gruppteori gav i sin tur upphov till abstrakt algebra och dess olika delar som ringteori. Linjär algebra började utvecklas från mitten av 1800-talet. Idag används algebraiska strukturer inom många matematiska discipliner. Inom matematisk analys studeras exempelvis vektorrum (Banach- och Hilbertrum), och inom algebraisk geometri och algebraisk topologi används verktyg från algebra.
= Lär mer =


{{clear}}
{| Wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/kdTIMKujOt7CaERX?ref{{=}}Link Algebraiska uttryck]}}<br />
{{wikilink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematiskt_uttryck Matematisska uttryck] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler] }}<br />
|}


== YouTube-länkar ==
=== Vad är algebra ===
=== Vad är algebra ===


: [https://www.youtube.com/watch?v=NybHckSEQBI Algebra Basics: What Is Algebra? - Math Antics]
{{#ev:youtube|NybHckSEQBI|340 |right}}
{{#ev:youtube|NybHckSEQBI|340 |right}}
{{clear}}


=== Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===
=== Problemlösning med programmering ===


{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |right}}
: [https://projecteuler.net/ Project Euler] har mängder med utmaningar där det är tillåtet och ibland nödvändigt att använda kalkylblad eller programmering för att finna lösningen. Problemen är ordnade efter svårighetsnivå.
{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |right}}
{{clear}}
{{clear}}


=== Förenkla avancerat exempel. ===
<headertabs />
{{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}
 
<br>

Nuvarande version från 11 september 2019 kl. 13.01

[redigera]
Mål för undervisningen Algebraiska uttryck

Du kommer att lära dig om algebraiska uttryck.


Algebra

Algebra (från arabiska الجبر,"al-djebr", vilket betyder "återförening" eller "koppling") är en gren inom matematiken. Den kan definieras som en generalisering och utökning av aritmetiken (den gren inom matematiken som handlar om rent räknande). Algebra kan också beskrivas som förhållanden vilka uppkommer när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal.

Algebra följer alla lagar som gäller inom aritmetiken och använder sig av samma operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division).

Algebraiska uttryck

Ett uttryck är i matematik en kombination av tal, operatorer, grupperande symboler (som klammer och parentes) och/eller variabler ordnade på ett meningsfullt sätt så att uttrycket kan bli utvärderat.

Uttrycket kan endast bli utvärderat för en bestämd kombination av variabler. Ett uttryck representerar därför en matematisk funktion vars ingående värden är givna i dess variabler och vars utgående värde/värden är resultatet av uttrycket.

Till exempel ger uttrycket

[math]\displaystyle{ \frac{x}{y} }[/math]

utvärderat med x = 10 och y = 5 resultatet 2. Men uttrycket kan inte beräknas för y = 0.

Utvärderingen av uttrycket beror på definitionen av de matematiska operatorerna och de värden som ingår.

Historik

Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala
Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

Redan tidigt fanns retorisk algebra, som innebär att matematiska operationer beskrivs i löptext, helt utan användning av symboler. Ofta användes geometri i texten; istället för att skriva x² kunde man skriva om en kvadrat med sidan x. Därefter skedde en stegvis utveckling mot modern symbolisk algebra. Den algebraiska notation som används idag har utvecklats sedan 1500-talet.

Som den förste algebraikern anges ibland Diofantos från Alexandria, vilken levde i fjärde århundradet e. Kr. Hos Diofantos hade beskrivande text delvis ersatts av olika matematiska symboler.

Den persiske matematikern al-Khwarizmi, som gett sitt namn till ordet "algoritm", skrev omkring 825 i Bagdad verket Hisab al-jabr w'al-muqabalah, (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) "vetenskapen om återförening och opposition". Här beskrivs al-jabr, hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra, samt al-muqabalah, att olika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. I al-Khwarizmis arbeten används dock endast en retorisk algebra och den matematik som han behandlade var mindre avancerad än hos Diofantos. Hur betydelsefull al-Khwarizmi varit för algebrans utveckling är därför föremål för diskussion.

Läs mer på Wikipedias sida om algebra

[redigera]
Uppgift
Klossens volym
Geometri rätblock
Geometri rätblock

Pröva dig fram genom att använda någon kalkylator.

En kloss har volymen 13 182 m3. Andra sidan är dubbelt så lång som den den första och tredje är tre gånger så lång. Vilka mått har klossen?


Diskutera

Hur kan vi använda algebra för att lösa denna uppgift? Lös uppgiften algebraiskt.

Vilka verktyg kan användas för att lösa uppgiften utan att använda algebra?

Demonstration Excel

Lös uppgiften genom prövning i Excel.

[redigera]
Programmeringsuppgift

Python-hjälp och Fler uppgifter

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.


Låt datorn göra jobbet om du inte klarar algebran

Uppgift
Hitta sidlängden genom prövning

Testa programmet som prövar vilka sidlängder som ger rätt volym till uppgiften med rätblocket


Koden

# Testa vilken sidlängd som ger volymen 13182 m3 i Algebraiska uttryck Ma1c

iterationer = int(input("Hur många heltal vill du prova med? "))

# ett program för den som kan sätta upp ettuttryck för volymen men inte kan lösa ut x genom att ta tredjeroten ur.
for x in range(iterationer):
    volymen = 6*x**3
    if (volymen <= 13182):
        print("x = ", x," m ", "Volymen = ", volymen," m^3 " )

Uppgiften är skapad av Håkan.

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Algebraiska uttryck


Mall:Wikilink

Läs om Uttryck och variabler


Vad är algebra

Algebra Basics: What Is Algebra? - Math Antics
Load video
YouTube

Problemlösning med programmering

Project Euler har mängder med utmaningar där det är tillåtet och ibland nödvändigt att använda kalkylblad eller programmering för att finna lösningen. Problemen är ordnade efter svårighetsnivå.
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Algebraiska_uttryck&oldid=51921”