Tal och talmängder: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 26 augusti 2019 kl. 08.00

[redigera]

Mål för undervisningen Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.

Tal

Tal är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som Löste du talet?

Talmängder

Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

Grundläggande
[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]	Naturliga tal	0, 1, 2, 3, 4, … eller 1, 2, 3, 4, …
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]	Heltal	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]	Rationella tal	[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] där a och b är heltal och b inte är 0
[math]\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} }[/math]	Irrationella tal	Tal som inte kan uttryckas som bråk. Dess motsats är rationella tal.
[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]	Reella tal	De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje
[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]	Komplexa tal	a + bi eller a + ib där a och b är reella tal och i är imaginära enheten

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

Naturliga tal

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt N i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

Prioriteringsregler

Heltal

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt Z i fetstil användas), från det tyska ordet Zahlen (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

Rationella tal

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

[math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math]

där heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt Q i fetstil används).

Irrationella tal

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella. Exepel på irrationella tal: [math]\displaystyle{ \pi , e , \sqrt{7} }[/math]

Reella tal

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt R i fetstil användas).

[redigera]

Inledning

Namnrunda + bästa matematikområdet. Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se Wiktionary

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

Laborativ/fysisk matematik

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

Tallinje:
1. Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
2. Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
3. Hur långa ni är.
4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.

Tänkbara frågor och diskussioner

Tallinjen: om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

4-corners: Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

Graderingslinje Andra exempel på frågor kan vara ...

EPA

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

[redigera]

Uppgift

Talmängder

Vilken talmängd tillhör respektive tal?

[math]\displaystyle{ \\ 1 \\ -5 \\ \frac{2}{35} \\ 3,000789 \\ \pi }[/math]

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Talmängder

Wikipedia Reella tal

Läs om Tal

Problems with Zero - Numberphile

Öva mer

Öva på Khan:

Missing Number

Classify numbers

Läs mer

Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: Wikipedia skriver om Tal
Avrundning
Wikipedia skriver om Irrationella_tal
Wolfram Alpha om irrationella tal
Tal och räkning i Wikibooks

Lång lista med väldigt många tal: What's special about this number?

Kluring

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

Exit ticket

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
+=Teori=
-== Tal ==
+{{malruta | Talmängder
+Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.
+Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}
+===Tal===
 [[Fil:Number.svg|höger|50px]]
-[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|[[Delmängd]]er till komplexa tal.]]
+[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]
-'''Tal''' är ett [[Matematik|matematiskt]] grundbegrepp som används för att representera olika [[storhet]]er, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda [[måttenhet]]er, till exempel [[Mängdmått|antal]], [[längd]], [[vikt]], [[volym]], [[temperatur]] och [[tryck]].<ref name="Matematik minimum - Terminologi">{{Webbref|url=http://matmin.kevius.com/tal.php|titel=Tal - Talsystem|utgivare=Matematik minimum - Terminologi (http://matmin.kevius.com/)|hämtdatum=10 oktober 2013}}</ref>
+'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.
-Ett tal är en [[Abstraktion|abstrakt]] enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga&nbsp;tal, heltal, negativa&nbsp;tal, rationella&nbsp;tal, reella&nbsp;tal och komplexa&nbsp;tal med mera.<ref name="Matematik minimum - Terminologi"/>
+Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga&nbsp;tal, heltal, negativa&nbsp;tal, rationella&nbsp;tal, reella&nbsp;tal och komplexa&nbsp;tal med mera.
-[[Aritmetik]], "[[räknelära]]", behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken.<ref>{{Webbref|url=http://www.ne.se/aritmetik|titel=Aritmetik|utgivare=[[Nationalencyklopedin]]|hämtdatum=10 oktober 2013}}</ref> [[Algebra]] kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal.<ref>{{Webbref|titel=Algebra|url=http://matmin.kevius.com/algebra.php|hämtdatum=12 oktober 2013}}</ref>
+Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.
-[[Talteori]] rör främst heltalens egenskaper, men har utvecklas till att bli en vedertagen teknik för att angripa problem även inom andra grenar av matematiken. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och problemen som undersöks.<ref>{{Webbref|url=http://www.ne.se/talteori|titel=Talteori|utgivare=[[Nationalencyklopedin]]|hämtdatum=10 oktober 2013}}</ref>
+Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.
-Tal ska inte förväxlas med [[siffra]] eller [[nummer]] som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste&nbsp;du&nbsp;talet?''<ref>[[Svenska Akademiens ordlista över svenska språket|Svenska Akademiens ordlista]], ”tal”, sid. 952. [http://www.svenskaakademien.se/svenska_spraket/svenska_akademiens_ordlista/saol_pa_natet/ordlista Internetversion] {{Wayback|url=http://www.svenskaakademien.se/svenska_spraket/svenska_akademiens_ordlista/saol_pa_natet/ordlista |date=20120824045619 }}, skriv in själv i sökrutan.</ref>
+Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''
-== Typer av tal ==
+===Talmängder===
-Tal brukar delas in i fem grundläggande grupper ([[mängd]]er):
+Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:
-{|class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
+{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
-|+ Grundläggande
+|+Grundläggande
 |-
 !<center><math>\mathbb{N}</math></center>
@@ Rad 27: / Rad 35: @@
 |-
 !<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
-!&nbsp;[[Heltal]]&nbsp;
+!&nbsp;Heltal&nbsp;
 |..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
 |-
 !<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
-!&nbsp;[[Rationella&nbsp;tal]]&nbsp;
+!&nbsp;Rationella tal&nbsp;
-|{{frac|''a''|''b''}} där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
+|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
 |-
+!<center><math>\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math></center>
+!&nbsp;Irrationella tal&nbsp;
+|Tal som inte kan uttryckas som bråk. Dess motsats är rationella tal.
+|-
 !<center><math>\mathbb{R}</math></center>
-!&nbsp;[[Reella&nbsp;tal]]&nbsp;
+!&nbsp;Reella tal&nbsp;
-|Gränsen för en [[Konvergens (matematik)|konvergent]] följd av rationella tal
+|De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje
 |-
 !<center><math>\mathbb{C}</math></center>
-!&nbsp;[[Komplexa&nbsp;tal]]&nbsp;
+!&nbsp;Komplexa tal&nbsp;
-|''a''&nbsp;+&nbsp;''bi'' eller ''a''&nbsp;+&nbsp;''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är [[imaginära enheten]]
+|''a''&nbsp;+&nbsp;''bi'' eller ''a''&nbsp;+&nbsp;''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
 |}
+De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.
-De naturliga talen är en [[delmängd]] av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.
+====Naturliga tal====
-(För olika metoder att uttrycka tal med symboler, såsom de [[Romerska talsystemet|romerska siffrorna]], se [[talsystem]].)
-=== Naturliga tal ===
+[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]
-[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att [[Räknande|räkna]] föremål, till exempel [[äpple]]n, så länge de är hela.]]
-{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|250|right|Prioriteringsregler}}
 Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.
@@ Rad 56: / Rad 65: @@
 Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).
-Mängden av de naturliga talen är [[diskret]], [[uppräkneligt oändlig]] och har [[kardinalitet]] [[Alef-noll]] (ℵ₀).<ref name="Talområden och funktioner">{{Webbref|url=http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/gkanalys/GKAkapitel1.pdf|titel=Talområden och funktioner|hämtdatum=18 september 2013}} {{PDF}}</ref><ref name="math.se">{{Webbref|url=http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/1.1_Olika_typer_av_tal|titel=1.1 Olika typer av tal|hämtdatum=18 september 2013}}</ref>
+Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.
+{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
+{{clear}}
+====Heltal====
+Heltal innefattar talet noll (0)  samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
+Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").
+Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.
+När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.
+<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>
+====Rationella tal====
+Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:
+:<math>\frac{T}{N}</math>
+där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.
+Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).
+====Irrationella tal====
+Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella. Exepel på irrationella tal: <math>\pi , e , \sqrt{7} </math>
+====Reella tal====
+Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.
+Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).
+=Aktivitet=
+===Inledning===
+Namnrunda + bästa matematikområdet.
+Tänk på ett tal mellan 1 och 10.
+Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]
+Vi kan representera tal genom att placera oss  på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.
+===Laborativ/fysisk matematik===
+Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.
-Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den [[tomma mängden]].
+#Tallinje:
+##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
+##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
+##Hur långa ni är.
+#4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
+#Graderingslinje.  Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
+#Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.
-En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en [[monoid]] under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med [[primtalsfaktorisering]], då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den [[tomma produkten]]).
+===Tänkbara frågor och diskussioner===
-För att undvika förvirring kan ℤ<sub>+</sub> användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ<sub>0</sub> för de icke-negativa.
+'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?
-{{clear}}
-'''Kul länk:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
+'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?
+'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...
+===EPA===
-=== Heltal ===
+Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?
-'''[[Heltal]]''' innefattar talet noll (0){{Fotnot|[[0 (tal)|Noll]] räknas varken som ett positivt eller negativt tal.}} samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, och är därav [[Union (matematik)|unionen]] av mängden av de naturliga talen.<ref name="Talområden och funktioner"/><ref name="math.se"/>
+=Uppgifter=
-Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").
+{{uppgruta| '''Talmängder'''
-Mängden av heltalen är [[uppräkneligt oändlig]] och har [[kardinaltal]]et [[Alef-noll]].
+Vilken talmängd tillhör respektive tal?
+:
+<math>
+\\ 1
+\\ -5
+\\ \frac{2}{35}
+\\ 3,000789
+\\ \pi
+</math>
+}}
-Ibland definierar man [[delmängd]]er av ℤ: ℤ<sup>+</sup>, ℤ<sup>*</sup> och ℤ<sup>–</sup>.<ref>{{Webbref |url = http://jeff560.tripod.com/nth.html |titel = Earliest Uses of Symbols of Number Theory |hämtdatum = 2010-09-20 |datum = 2010-08-29 |förnamn = Jeff |efternamn = Miller }}</ref><ref>{{Bokref |författare = Peter Jephson Cameron |titel = Introduction to Algebra |url = http://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |år = 1998 |utgivare = Oxford University Press |isbn = 978-0-19-850195-4 |sid = 4 }}</ref>
+=Öva själv i en GeoGebra=
-* ℤ<sup>+</sup> är {1, 2, 3, 4, 5, …}
+<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>
-* ℤ<sup>*</sup> är {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
-* ℤ<sup>–</sup> är {…, -5, -4, -3, -2, -1}
-Beroende på definition kan endera ℤ<sup>+</sup> eller ℤ<sup>*</sup> vara detsamma som mängden naturliga tal.
+=Lär mer=
-När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till [[flyttal]] (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.
+{| align="right" wikitable
+|-
+|{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
+{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
+{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
+|}
-<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>
+[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]
-=== Rationella tal ===
+{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q  | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}
+===Öva mer===
-'''[[Rationella tal]]''', "bråktal", är de tal som kan skrivas som en [[kvot]] (ett [[bråk]]) av två heltal:<ref name="math.se"/>
+{{Khanruta |
+: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
+: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
+ }}
-:<math>\frac{T}{N}</math>
+===Läs mer===
-där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.
+*Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
+*[[Avrundning]]
+*{{svwp|Irrationella_tal}}
+*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
+*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]
-Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).
-Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (''x'')
+'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
-till [[ekvation]]er {{nowrap|''bx'' - ''a'' {{=}} 0}}, där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är lika med noll.<ref name = "Rosen">{{Bokref |efternamn = Rosen |förnamn = Kenneth |år = 2007 |titel = Discrete Mathematics and its Applications |upplaga = 6th |utgivare = McGraw-Hill |utgivningsort = New York, NY |isbn = 978-0-07-288008-3 |sid = 105,158-160}}</ref><ref name="Talområden och funktioner"/>
+{{clear}}
-Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en [[tät mängd]]; Detta innebär att det alltid finns fler rationella tal mellan två olika rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.
+===Kluring===
-Mängden av de rationella talen är [[uppräknelig]], vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ℚ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: ''a''/1&nbsp;=&nbsp;''a'' där ''a'' är ett heltal.
+Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?
-Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att [[kardinaltal]]et för ℚ är lika med kardinaltalet för ℤ (mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en [[Bijektiv_funktion|bijektiv]] [[avbildning]] mellan mängderna ℚ och ℤ.<ref name="math.se"/>
+[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]
-=== Reella tal ===
+{{clear}}
-Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den '''[[Tallinjen|reella tallinjen]]'''.
+==Exit ticket==
-Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).<ref>{{Webbref|url=http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/tal/de-reella-talens-egenskaper|titel=De reella talens egenskaper|utgivare=Matteboken|hämtdatum=18 september 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130913032849/http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/tal/de-reella-talens-egenskaper|arkivdatum=13 september 2013}}</ref><ref>[http://ollevejde.se/matteord/reellatal.htm reella tal]</ref>
+Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning
-{{svwp|Tal}}
+<headertabs />

Tal och talmängder: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 26 augusti 2019 kl. 08.00

Tal

Talmängder

Naturliga tal

Heltal

Rationella tal

Irrationella tal

Reella tal

Inledning

Laborativ/fysisk matematik

Tänkbara frågor och diskussioner

EPA

Öva mer

Läs mer

Kluring

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök