Primitiva funktioner: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 20 april 2016 kl. 21.07

Ma3C: Integraler , sidan 200-205

Sid 200-205 - Primitiv funktion

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur xxxxxxxxxxx.

Intro - Primitiva funktionen

Här ska det stå något om att hastigheten är derivatan av läget osv.

Uppgift

Gissa och öva på primitiva funktioner.

Fundera över det inversa sambandet, d v s hur man går från funktion till primitiv funktion och vice versa.

Öva på OlleH

Definition

Primitiva funktioner

[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] är en primitiv funtion till [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] om [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math]

Primitiva funktioner

Läs vad Wikipedia skriver om Primitiv_funktion:

Några primitiva funktioner
[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion	[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion
[math]\displaystyle{ k }[/math]	[math]\displaystyle{ kx + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln{\|x\|} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]	[math]\displaystyle{ e^x + C }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\left\|x+\sqrt{x^2+a}\right\| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
k och C är Reella konstanter.

Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).

Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.

Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.

Exempel: Alla primitiva funktioner till

[math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

kan skrivas

[math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]

där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.

Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.

Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.

I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.

Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna 4201 - 4220. Läs på om Beräkna integraler.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{{lm3c| Integraler | ss }}
+{{lm3c| Integraler | 200-205}}
 {{#ev:youtube| PSUewdBy23A | 340 | right |Sid 200-205 - Primitiv funktion}}
 {{malruta|
@@ Rad 7: / Rad 7: @@
 == Intro - Primitiva funktionen  ==
-Gissa och öva.
+Här ska det stå något om att hastigheten är derivatan av läget osv.
-Fundera över det inversa sambandet
+{{uppgruta |Gissa och öva på primitiva funktioner.
+Fundera över det inversa sambandet, d v s hur man går från funktion till primitiv funktion och vice versa.
 Öva på [http://olleh.se/start/frageprogramMa3.php OlleH]
+}}
+{{defruta | '''Primitiva funktioner'''
+<br />
+:  <math>F(x)  </math> är en primitiv funtion till  <math>f(x) </math> om <math> F'(x) = f(x) </math>
+}}
+{{clear}}
-{{flipped|'''Till nästa gång:''' se filmen om Riemannsumma}}
+== Primitiva funktioner ==
+Läs vad {{svwp | Primitiv_funktion}}:
-{{defruta |
+{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"
-:defdefdefdef
+|+ Några primitiva funktioner
-}}
+|-
+! width="100" | <math>f(x)</math> <br><small>funktion</small>
+! width="100" | <math>F(x)</math> <br><small>primitiv funktion</small>
+|-
+|<math>k</math>
+|<math>kx + C</math>
+|-
+|<math>x^n ~~~ (n \ne -1)</math>
+|<math>\frac{x^{n+1}}{n+1} + C </math>
+|-
+|<math> x^{-1} = \frac{1}{x}</math>
+|<math> \ln{|x|} + C</math>
+|-
+|<math> e^x </math>
+|<math> e^x + C </math>
+|-
+|<math> a^x ~~~ (a > 0, a \ne 1) </math>
+|<math> \frac{a^x}{\ln a} + C </math>
+|-
+|<math> \sin (x) </math>
+|<math> - \cos (x) + C </math>
+|-
+|<math> \cos (x) </math>
+|<math> \sin (x) + C </math>
+|-
+|<math> \frac{1}{a^2+x^2}</math>
+|<math> \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C </math> om <math>a\neq 0</math>
+|-
+|<math> \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
+|<math> \arcsin\frac{x}{a} + C </math> om <math>a>0</math>
+|-
+|<math> \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}</math>
+|<math> \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C </math> om <math>a\neq 0</math>
+|-
+| colspan="2" | ''k'' och ''C'' är Reella konstanter.
+|-
+|}
+Inom matematisk analys är en funktion ''F''(''x'') en '''primitiv funktion''' till ''f''(''x'') om funktionen ''f'' är dess derivata, det vill säga om ''F''&nbsp;'(''x'')=''f''(''x'').
+Andra benämningar av primitiv funktion är '''antiderivata''' eller '''obestämd integral'''. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.
+Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion ''f''. Om en primitiv funktion är ''F''(''x''), så kan alla primitiva funktioner skrivas ''F''(''x'') + ''C''.
+Exempel: Alla primitiva funktioner till
+:<math>f(x)=x^2</math>
+kan skrivas
+:<math>F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C</math>
+där ''dx'' betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.
+Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen ''f''.
+Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.
+I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.
 {{clear}}
-{{flipped | Lös uppgifterna yyyy - zzzz. Läs på om [[Beräkna integraler]].
+{{flipped | Lös uppgifterna 4201 - 4220. Läs på om [[Beräkna integraler]].
 }}

Primitiva funktioner: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 20 april 2016 kl. 21.07

Intro - Primitiva funktionen

Primitiva funktioner

Navigeringsmeny

Sök