|
|
| (9 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Primitiva funktioner ==
| | [[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Samband och förändring]] [[Category:Differentialekvationer]] |
|
| |
|
| === Öva === | | == [[Primitiva funktioner - Ma4]] == |
|
| |
|
| {{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/indefinite_integrals/e/antiderivatives Antiderivator] }}
| | == [[Primitiva funktioner med villkor]] == |
|
| |
|
| === Några vanliga primitiva funktioner === | | == [[Enkla differnetialekvationer]] == |
|
| |
|
| {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"
| | == Öva på gamla nationella prov Ma E == |
| |+ Några primitiva funktioner
| |
| |-
| |
| ! width="100" | <math>f(x)</math> <br><small>funktion</small>
| |
| ! width="100" | <math>F(x)</math> <br><small>primitiv funktion</small>
| |
| |-
| |
| |<math>k</math>
| |
| |<math>kx + C</math>
| |
| |-
| |
| |<math>x^n ~~~ (n \ne -1)</math>
| |
| |<math>\frac{x^{n+1}}{n+1} + C </math>
| |
| |-
| |
| |<math> x^{-1} = \frac{1}{x}</math>
| |
| |<math> \ln{|x|} + C</math>
| |
| |-
| |
| |<math> e^x </math>
| |
| |<math> e^x + C </math>
| |
| |-
| |
| |<math> a^x ~~~ (a > 0, a \ne 1) </math>
| |
| |<math> \frac{a^x}{\ln a} + C </math>
| |
| |-
| |
| |<math> \sin (x) </math>
| |
| |<math> - \cos (x) + C </math>
| |
| |-
| |
| |<math> \cos (x) </math>
| |
| |<math> \sin (x) + C </math>
| |
| |-
| |
| |<math> \frac{1}{a^2+x^2}</math>
| |
| |<math> \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C </math> om <math>a\neq 0</math>
| |
| |-
| |
| |<math> \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
| |
| |<math> \arcsin\frac{x}{a} + C </math> om <math>a>0</math>
| |
| |-
| |
| |<math> \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}</math>
| |
| |<math> \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C </math> om <math>a\neq 0</math>
| |
| |-
| |
| | colspan="2" | ''k'' och ''C'' är reella konstanter.
| |
| |-
| |
| |}
| |
|
| |
|
| Inom matematisk analys är en funktion ''F''(''x'') en '''primitiv funktion''' till ''f''(''x'') om funktionen ''f'' är dess derivata, det vill säga om ''F'' '(''x'')=''f''(''x'').
| | : [[Media:Diffwrentialekvationer_från_NP_Ma_E_vt_2005.pdf | Uppgifter från NP Ma E vt 2005 ]] |
| | | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=http://pb-ma.edmeas.napb.se/information/tidigare_prov.asp NP Ma E vt 2002] |
| Andra benämningar av primitiv funktion är '''antiderivata''' eller '''obestämd integral'''. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.
| | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt00.pdf NP Ma E vt 2000] |
| | | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht99.pdf NP Ma E ht 1999] |
| Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion ''f''. Om en primitiv funktion är ''F''(''x''), så kan alla primitiva funktioner skrivas ''F''(''x'') + ''C''.
| | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht98.pdf NP Ma E ht 1998] |
| | | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt98.pdf NP Ma E vt 1998] |
| Exempel: Alla primitiva funktioner till
| | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht97.pdf NP Ma E ht 1997] |
| :<math>f(x)=x^2</math> | | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt97.pdf NP Ma E vt 1997] |
| kan skrivas
| | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht96.pdf NP Ma E ht 1996] |
| :<math>F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C</math>
| | : [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt96.pdf NP Ma E vt 1996] |
| där ''dx'' betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.
| | : [http://www.edusci.umu.se/np/np-b-d/tidigare-prov/ Alla kursprov i Matematik B-E] |
| | |
| Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen ''f''.
| |
| | |
| Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.
| |
| | |
| I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.
| |
| | |
| Från {{svwp | Primitiv_funktion}}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Primitiva funktioner med villkor ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube | qBVuWAIT1nk | 340 | right |Mattias Danielsson, CC}}
| |
| | |
| {{uppgruta | '''WolframAlpha och GGB'''
| |
| | |
| Pröva att hitta primitiva funktioner med Wolfram Alpha och GeoGebra.
| |
| | |
| Kommandot integral kan vara värda att pröva
| |
| }}
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Enkla differnetialekvationer ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube | fHdIYDQ4vBQ | 340 | right |Differnetialekvationer - några allmänna lösningar. Mattias Danielsson, CC}}
| |
| {{#ev:youtube | vcDFkGr2M8Q | 340 | right |Tillämpningar av differnetialekvationer. Mattias Danielsson, CC}}
| |
| | |
| === Lösningar till ordinära differentialekvationer===
| |
| | |
| Att lösa en differentialekvation innebär att finna den funktion som uppfyller ekvationen. Till exempel har den homogena ekvationen av första ordningen
| |
| :<math>y'+ay=0</math>
| |
| där ''a'' är en konstant, lösningen
| |
| :<math>y = C e^{-ax}</math>
| |
| där ''C'' är en konstant, som bestäms av randvillkor eller begynnelsevärden.
| |
| | |
| En differentialekvation har oändligt många lösningar, men det finns satser som visar att det finns unika lösningar till vissa begynnelsevärdesproblem.
| |
| | |
| Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med numeriska metoder.
| |
| | |
| En ''explicit lösning'' till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen (av formen ''y''(''x'') = ...). En ''implicit lösning'' är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning (till exempel sin(''x'' + ''y'') = ''x''y'' + 2''x'').
| |
| | |
| {{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/differential-equations Filmer om differentialekvationer]}}
| |
| | |
| {{uppgruta | Prova att lösa diffekvaktioner med digitala verkty}}
| |
| | |
| === Bakterietillväxt ===
| |
| En differentialekvation kan användas till att beskriva bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet, är bakterietillväxten proportionell mot antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om <math>N</math> anger antalet bakterier vid tiden <math>t</math> gäller därför sambandet
| |
| :<math>N'(t) = k \cdot N(t)</math>
| |
| Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen är den enda funktion som har denna egenskap och lösningen måste således vara en exponentialfunktion.
| |
| | |
| Uppenbarligen är denna modell av bakterietillväxten bara approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.
| |
| | |
| === Fritt fall ===
| |
| | |
| Ett föremål släpps från en viss höjd <math>h</math> och faller på grund av [[gravitation]]skraften <math>F</math>. Här görs förenklingen att gravitationen är den enda kraft som verkar på föremålet och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd.
| |
| | |
| Enligt [[Isaac Newton|Newtons]] andra lag är ett föremåls [[massa]] <math>m</math> multiplicerat med dess [[acceleration]] <math>a</math> lika med den kraft<math>F</math> som verkar på föremålet:
| |
| :<math>m \cdot a = F</math> | |
| Accelerationen är derivatan av hastigheten <math>v</math> med avseende på tid <math>t</math>, eller:
| |
| :<math>a = {dv \over dt}</math>
| |
| Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden <math>h</math> med avseende på tid <math>t</math>:
| |
| :<math>v = {dh \over dt}</math>
| |
| Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden:
| |
| :<math>a = {d^{2}h \over dt^2}</math> | |
| | |
| Den kraft <math>F</math> som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen. Newtons andra lag kan då skrivas som:
| |
| :<math>m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg</math>
| |
| (Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva ''från'' jorden.)
| |
| | |
| Differentialekvationen går lätt att lösa med avseende på <math>h</math>. Först divideras med <math>m</math>, vilket ger
| |
| :<math>{d^{2}h \over dt^2} = -g</math> | |
| [[Integral|Integrering]] av båda leden ger | |
| :<math>{dh \over dt} = -gt + C_1</math> | |
| och ytterligare en integrering ger
| |
| :<math>h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2</math>
| |
| | |
| Integrationskonstanterna <math>C_1</math> och <math>C_2</math> kan bestämmas om föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet är kända.
| |
| | |
| Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden <math>t</math>.
| |
| | |
| | |
| Texten från {{svep | Differentialekvation }}
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Utmaningar - det kommer i Ma5 == | | == Utmaningar - det kommer i Ma5 == |