Hållfasthet teori

Om hållfasthet hos material och konstruktioner

Ett materials eller en byggdels hållfasthet är ett mått på hur stora påkänningar materialet tål innan det går sönder och ett ”brott” uppstår – eller permanent deformeras (så att byggdelar inte kan återta sin ursprungliga form och hållfasthet).

• Hållfasthet är grundläggande för byggande medan beständighet hos olika material är avgörande för materialens lämplighet i olika konstruktioner!
• Beständigheten, är ett mått på (eller en bedömning av) hur länge ett material vid påverkan av laster, fukt, väder och vind mm kan upprätthålla sin hållfasthet, stabilitet och funktion.

Genom laboratorietester av skiljer man mellan byggmaterialens drag-, tryck och böjhållfasthet. Hållfasthet mäts liksom påkänningar i enheten Pascal/MPa och varierar med byggmaterialens sammansättning och densitet.

Materialtillverkare och -leverantörer kan redovisa sina produkters hållfasthet som fastställts genom provningar och beräkningar. De allra flesta materialleverantörer har uppgifter om sina olika produkter på sin hemsida på internet. För att hitta rätt produktinformation är det bra om man har produktens namn och eventuella beteckning tillgänglig.

Texten från Byggpedia, CC

Elasticitetsmodulen – en viktig materialegenskap

Elasticitetsmodulen för byggmaterial är en ur hållfasthets och beständightessynvinkel viktig egenskap. Denna s k E-modul anges i Pascal (MPa) och är ett mått på hur mycket ett material töjs eller defomeras i förhållande till den påkänning/spänning materialet utsätts för samt hur väl materialet återgår till sin ursprungliga form och hållfasthet efter det att belastningen upphört.

Texten från Byggpedia, CC

Formler

En strukturs förmåga att bära last då den belastas med enaxligt tryck eller drag bestäms av dess tvärsnittsarea, A. En tjock pelare kan exempelvis bära en större last än en smal, om båda är tillverkade av samma material. Normalspänning är en av de viktigaste storheterna inom hållfasthetsläran; den betecknas σ (sigma) och beräknas genom

[math]\displaystyle{ \sigma = \frac{F}{A} \qquad (1) }[/math]

där F (Newton) är belastningen och A (m²) är tvärsnittsarean. Normalt brukar positiv riktning för kraften vara utåt, det vill säga dragspänning är positiv och tryckspänning negativ. Spänning har enheten N/m² som betecknas Pascal (Pa). Dessa formler gäller endast om strukturen inte knäcker samt att sträckgränsen för materialet inte överstigs.

Då en struktur belastas kommer den även att få en viss formändring, betecknat ε (epsilon). För att beräkna denna krävs att man känner till materialets elasticitetsmodul (betecknas E och kallas vanligen E-modulen). E-modulen har enheten Pa och har storleken 200 GPa för stål. Tömningen (deformationen) beräknas genom

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \frac{\sigma}{E} \qquad (2) }[/math]

Detta värde anger hur mycket längre strukturen blir per längdenhet.

Wikipedia skriver om Hållfasthetslära

Jämför med en fjäder som dras ut - Hookes lag

Hookes-law-springs

Skriv om (2) för att lösa ut spänningen:

[math]\displaystyle{ \sigma = E \cdot \varepsilon \qquad (3) }[/math]

där [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] är normalspänningen, [math]\displaystyle{ E }[/math] är elasticitetsmodulen och [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] är deformationen.

Hookes lag för en fjäder lyder ju:

[math]\displaystyle{ F = k \cdot x \qquad (4) }[/math]

där F är kraften, k är fjäderkonstanten och x är fjäderns förlängning.

En bjälkes böjning

I boken Konstruktion (Yngve Nyberg, Lennart Kördel, Liber) hittar vi på sidan 97 en formel för spänningen:

[math]\displaystyle{ \sigma = \frac{M}W_B{} \qquad (5) }[/math]

där [math]\displaystyle{ M }[/math] är momentet (kraftmoment eller vridmoment) och [math]\displaystyle{ W_B }[/math] är böjmotståndet. Böjmotståndet för balkar med olika former finns på denna Wikipediasida.

Momentet M ges av formeln:

[math]\displaystyle{ M = F \cdot l \qquad (6) }[/math],

där F är kraften vinkelrätt mot balken och l är avståndet mellan änden på balken och den punkt där kraften verkar.

Böjmotståndet är olika för olika typer av balkar. och det beror på balkens form (tvärsnitsyta). För en rektangulär balk gäller exempelvis att:

[math]\displaystyle{ W_B= \frac{B H^2}{6} \qquad (7) }[/math]

där B är bredden och H höjden.

Använder vi (2) och (5) får vi formändringen:

[math]\displaystyle{ \varepsilon= \frac{\sigma}{E} = \frac{M}{W_B \cdot E} \qquad (8) }[/math]

Beräkning på balk från ett tidigare experiment

Vi tog en 1.2 m lång 45 mm * 45 mm balk och pallade upp i ändarna och en person ställde sig på den. E-modulen för trä är (enligt konstruktionsboken eller Träguiden) 12 GPa.

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \frac{0.6m \cdot 800 N \cdot 6}{(45 \cdot 10^{-3} m)^3 \cdot 12 \cdot 10^9 Pa } = 2.6 mm }[/math].

WolframAlpha

Jämförelse med experimentellt uppmätta värden på deformationen

Experimentella data för nedböjningen av en balk vid olika längd och en belastning av 81 kg på mitten.

Med längden 1.2 m som i beräkningarna ovan fick vi en nedböjning på cirka 7 mm. Det är ett värde i samma härad som uträkningarna ovan. Deet skiljer en faktor två men det kan bero på dålig virkeskvalitet vilket ger en lägre E-modul.

I konstruktionsboken finns en snarlik formel för

[math]\displaystyle{ \varepsilon = konst \cdot \frac{f l^3}{E \cdot l} \qquad (9) }[/math]

Variabeln l är i kvadrat vilket stämmer väl med den kurvanpassning vi gjorde i GeoGebra:

Avancerade beräkningar

Det är nyttigt att se hur beräkningarna görs på ett verkligt seriöst sätt.

En oerhört noggrann hållfasthetsberäkning

Träguiden från Svenskt trä.

En Formelsamling för konstruktörer med tabeller, etc:

Ingenjörshandbok från Lunds Tekniska högskola

WikiBooks: Strength of Materials visar i alla fall på nyttan med integraler och derivator.

Formler och tumregler

Det finns ett rekommenderat krav på relativ deformation av en bjälke på mindre än L/300

En dimensioneringsguide

Ett alternativ till egna beräkningar är att använda en applikation på en hemsida som gör jobbet åt en. Det är bara att mata in måtten på regeln och så får man värden på deformationen.

Svenskt trä har en sådan dimensioneringsguide där du anger vad du vill bygga, dimensioner och mått, mm. Du måste ange lite information om dig själv för att komma igenom guiden. Slutligen får du reda på hur mycket bjälken deformeras.

Detta är en lämplig fördjupningsuppgift.

ChatGPT

Hur beräknar man nedböjningen av en 0.6 m lång balk som belastas i änden med 80 kg. balken sitter fast i ena änden och belastas i andra änden. Balken är av trä. Den har en kvadratisk form. Tjockleken är 45 mm.

För att beräkna nedböjningen av en balk som beskrivs ovan kan du använda den följande formeln:

Nedböjning = (Belastning * Längd^3) / (48 * Modul för rörlighet * Tjocklek^4)

I det här fallet blir formeln:

Nedböjning = (80 kg * 0.6 m^3) / (48 * Modul för rörlighet * 0.045 m^4)

Modul för rörlighet är en materialparameter som beskriver hur lätt ett material böjs under belastning. För trä kan modulen för rörlighet variera beroende på träslaget, men för gran är den ungefär 12 000 MPa.

Så med den här informationen blir formeln:

Nedböjning = (80 kg * 0.6 m^3) / (48 * 12 000 MPa * 0.045 m^4)

= 0.000034 m

Så nedböjningen av balken blir ungefär 0,000034 meter.