Primtal: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(14 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
{{malruta | Primtal
{{malruta | Primtal


Rad 4: Rad 7:
}}
}}


== Teori ==
=== Definitioner mm ===
 
=== Pythonprogrammet hittar primtal ===
 
{{python|[[Är det ett primtal]] eller [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler övningar]}}
{{clear}}
 
=== Intro - helklass ===
 
[[File:Prime rectangles.png|400px | right |Prime rectangles]]


Primtalsorm (3-5 min)
Alla positiva tal är uppbyggda av primtal (minst ett). Man kan dela upp dem i faktorer som är primtal. Primtal är bara delbara med ett och sig själva. (positiva tal)


Alla står upp
{{defruta| '''Primtal'''
Läraren säger ett tal till första eleven som svarar ja eller nej på frågan om det är ett primtal. Fel svar betyder man får sätta sig ner.


'''Diskussion''': Hur vet man om det är ett primtal?
Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt.


=== Fortsatta diskussioner - EPA m===
}}<br>
 
: Exempel: Är 23 ett primtal?
: Exempel: Är 2310 ett primtal?
: Pröva själv på talen: 36, 114, 4007
: Demonstrera Wolfram Alpha
: Skapa uppgifter åt varandra
: Dela in tavlan i olika delar och låta dem komma fram och primtalsfaktorisera samtidigt.
{{clear}}


=== Eratosthenes såll ===
=== Eratosthenes såll ===
Rad 63: Rad 48:
{{clear}}
{{clear}}


=== Primatalsfaktorisering ===
= Aktivitet =
[[Fil:Primtalsfaktorisering.png|400px|höger|Så går det till!]]
 
=== Intro - helklass ===
 
[[File:Prime rectangles.png|400px | right |Prime rectangles]]
 
Primtalsorm (3-5 min)
 
Alla står upp
Läraren säger ett tal till första eleven som svarar ja eller nej på frågan om det är ett primtal. Fel svar betyder man får sätta sig ner.
 
'''Diskussion''': Hur vet man om det är ett primtal?
 
=== Fortsatta diskussioner - EPA m===
 
: Exempel: Är 23 ett primtal?
: Exempel: Är 2301 ett primtal?
: Pröva själv på talen: 39, 114, 4007
 
Demonstrera Wolfram Alpha
: Skapa uppgifter åt varandra
: Dela in tavlan i olika delar och låta dem komma fram och primtalsfaktorisera samtidigt.
{{clear}}
 
= Exempel =


Vi vill nu primtalsfaktorisera talet 1092. Vi vill alltså skriva om talet i faktorer, tills dess att vi endast har primtal kvar.
<pdf>Fil:Uppgift_primtalsfaktorer.pdf</pdf>
Stega genom våra primtal och kontrollera om det ingår i vårt tal, 1092. För att ta reda på det, måste vi kontrollera om 1092 är delbart med primtalet.
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
Delbart med 2? Ja, talet är jämnt.
1092 / 2 = 546
Vi kan alltså utföra faktoriseringen 1092 = 2 ⋅ 542


Kan vi faktorisera 546?
= Uppgifter =
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
Delbart med 2? Ja, talet är jämnt.
546 / 2 = 273
546 = 2 ⋅ 273
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 273


Kan vi faktorisera 273?
{{uppgfacit|
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt.
Går vidare till nästa primtal, 3.
Delbart med 3? Ja, siffersumman är delbar med 3 (siffersumman för 273 är 2+7+3 = 12, och 12 är delbart med 3)
273 / 3 = 91
273 = 3 ⋅ 91
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 91


Kan vi faktorisera 91?
Vilka två primtal har summan 99?
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
|
Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt.
Om summan av två tal är udda måste ett av talen vara udda och det andra jämnt.
Går vidare till nästa primtal, 3.
Delbart med 3? Nej, siffersumman måste vara delbar med 3 (9+1 = 10,  10 / 3 = 3,3333...). 
Går vidare till nästa primtal, 5.
Delbart med 5? Nej, talet måste sluta med en 0:a eller 5:a.
Går vidare till nästa primtal, 7.
Delbart med 7? Här har vi ingen snabb regel, utan får testa med kortdivision eller liggande stolen (eller miniräknare).  
91 / 7 = 13 
(Med kortdivision: 7 går i 9 en gång, 2 i rest, 7 går i 21 tre gånger, ingen rest)
91= 7 ⋅ 13
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13


Kan vi faktorisera 13? Nej, 13 är ett primtal.
Det finns bara ett jämnt primtal, nämligen 2.


Vi väljer alltså att skriva om vårt stora tal, 1092, i dess primtalsfaktorer
99 - 2 = 97. Är 97 ett primtal? Ja.
1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13
}}
Nu kan vi mycket lättare hantera talet när vi behöver jämföra det med andra tal.


=== Delbarhet ===
= Python =


{{exruta| '''Det kan vara bra att känna till att:'''
=== Pythonprogrammet hittar primtal ===


Ett helt tal är delbart med
[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]]  [[Kategori:Aritmetik]]  [[Kategori:Årskurs 7-9]]
: 2, om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
{{python|[[Python|Python-hjälp]]}}
: 3, om talets siffersumma är delbar med 3.
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''
: 4, om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
: 5, när sista siffran är 0 eller 5.
: 6, när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
: 7, när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
::            Ex.:392 är delbart med 7 (39-4 {{=}} 35)
: 8, när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
: 9, när talets siffersumma är delbar med 9.
: 10, när talets sista siffra är en nolla.


''Denna lista kommer från [http://matmin.kevius.com/delbar.php denna sida]''
Målet är att du ska köra enkla färdiga program för att utföra matematiska beräkningar.  
Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
 
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.  
}}
}}


== Aktivitet ==
== Uppgift ==
 
Man kan antingen använda programmet som intro till en lektion om primtal i Ma1c. Det tar inte många minuter men vänjer eleverna vid att köra program.
 
Eller så arbetar man med att undersöka och förbättra algoritmen vilket tar betydligt mer tid.
 
== Koden ==
 
Vi använder en funktion som testar om tal är ett primtal. Resten av koden är för inmatning och utmatning av resultatet.
 
<pre>
def prime(input):
    for n in range(2, input):
        if input % n == 0:
            return False
    return True
 
tal = int(input("Ange ett tal "))
if (prime(tal) == True):
  print(tal, " är ett primtal")
else:
  print(tal, " är inte ett primtal")
</pre>
 
För att förbättra algoritmen, se diskussionssidan.
 
= GeoGebra , mm=


=== Öva själv ===
=== Öva själv ===
Rad 142: Rad 143:
'''Datorövninga från matteva'''. [http://www.skolresurs.fi/matteva/huvudrakning/delbarhet.html Delbarhetsreglerna]
'''Datorövninga från matteva'''. [http://www.skolresurs.fi/matteva/huvudrakning/delbarhet.html Delbarhetsreglerna]


== Lär mer ==
= WikiMaster-quiz =
 
<html>
<iframe width="800" height="800" src="https://wok.uno/en/Prime_number" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</html>
 
= Lär mer =


{| align=right
{| align=right
Rad 171: Rad 178:


Exit ticket: Primtal
Exit ticket: Primtal
<headertabs />

Nuvarande version från 13 april 2020 kl. 20.45

[redigera]
Mål för undervisningen Primtal

Du kommer att lära dig om primtal, sammansatta tal och primtalsfaktorer. Du kommer att kunna primtalsfaktorisera.


Definitioner mm

Alla positiva tal är uppbyggda av primtal (minst ett). Man kan dela upp dem i faktorer som är primtal. Primtal är bara delbara med ett och sig själva. (positiva tal)

Definition
Primtal

Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt.



Eratosthenes såll

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif

Historik mm

Load video
YouTube
Primtal.
Load video
YouTube
Erathostenes, primtal och faktorisering.

När vi tittar på våra naturliga tal (alla heltal från 1, dvs. n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) så kan vi dela in dem i två grupper; Primtal, och sammansatta tal.

Våra sammansatta tal är alla tal vi kan skriva som en produkt av flera primtal. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 Primtalen kan vi dock endast skriva med hjälp av primtalet självt och med 1. 3 = 1 ⋅ 3 7 = 1 ⋅ 7

1 är varken ett sammansatt tal eller ett primtal, utan är något som vi kallar för enhetselement (mer om det kommer inom den diskreta matematiken, framförallt på universitetet). Kort så är det ett tal som lämnar andra tal oförändrade under multiplikation.

De naturliga talen kan alltså delas in i: Enhetselementet: 1 Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Sammansatta tal: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

Ordet prim kommer från latinets primus och betyder 'först'. Primtalen kan alltså ses som våra första tal, talen vi bygger upp alla andra tal med hjälp utav. Det finns oändligt många primtal, något som den grekiske matematikerna Euklides visade redan 300-talet fvt (före vår tideräkning).

[redigera]

Intro - helklass

Prime rectangles
Prime rectangles

Primtalsorm (3-5 min)

Alla står upp Läraren säger ett tal till första eleven som svarar ja eller nej på frågan om det är ett primtal. Fel svar betyder man får sätta sig ner.

Diskussion: Hur vet man om det är ett primtal?

Fortsatta diskussioner - EPA m

Exempel: Är 23 ett primtal?
Exempel: Är 2301 ett primtal?
Pröva själv på talen: 39, 114, 4007

Demonstrera Wolfram Alpha

Skapa uppgifter åt varandra
Dela in tavlan i olika delar och låta dem komma fram och primtalsfaktorisera samtidigt.
[redigera]
Uppgift:

Vilka två primtal har summan 99?

Facit: (klicka expandera till höger)

{{{2}}}



[redigera]

Pythonprogrammet hittar primtal

Programmeringsuppgift

Python-hjälp

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra enkla färdiga program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.


Uppgift

Man kan antingen använda programmet som intro till en lektion om primtal i Ma1c. Det tar inte många minuter men vänjer eleverna vid att köra program.

Eller så arbetar man med att undersöka och förbättra algoritmen vilket tar betydligt mer tid.

Koden

Vi använder en funktion som testar om tal är ett primtal. Resten av koden är för inmatning och utmatning av resultatet. 

def prime(input):
    for n in range(2, input):
        if input % n == 0:
            return False
    return True
   
tal = int(input("Ange ett tal "))
if (prime(tal) == True):
  print(tal, " är ett primtal")
else:
  print(tal, " är inte ett primtal")

För att förbättra algoritmen, se diskussionssidan.

[redigera]

Öva själv

Kalkylprogram. Pröva gärna att använda Excel för att undersöka om ett tal är ett primtal.

Datorövning. Lär dig mer om ett tal genom WolframAlpha. Du ser bland annat hur talet delas upp i faktorer. Skriv bara talet på raden och klicka enter.

Datorövninga från matteva. Delbarhetsreglerna

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Primtal


Wikipedia Primal


Läs om Primtal


Läs

Wikipedia skriver om Lista_över_primtal
Här finns ett bra svar på engelska WP: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
Om du tittar på den svenska sidan får du bara formler till svar: https://sv.wikipedia.org/wiki/Primtalssatsen
Här ser du skönheten genom Ulam-spriralen: https://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral

Inspiration - En väl blandad kortlek är unik

TEDEd

Undersök och läs på

Blir det glesare mellan primtalen om man tittar på riktigt stora tal?

Exit ticket

Exit ticket: Primtal

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Primtal&oldid=54336”