Tal och talmängder: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (17 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | =Teori= | ||
{{malruta | Talmängder | {{malruta | Talmängder | ||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}} | Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}} | ||
=== Tal === | ===Tal=== | ||
[[Fil:Number.svg|höger|50px]] | [[Fil:Number.svg|höger|50px]] | ||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?'' | Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?'' | ||
=== Talmängder === | ===Talmängder=== | ||
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper: | Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper: | ||
{|class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;" | {| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;" | ||
|+ Grundläggande | |+Grundläggande | ||
|- | |- | ||
!<center><math>\mathbb{N}</math></center> | !<center><math>\mathbb{N}</math></center> | ||
| Rad 42: | Rad 42: | ||
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0 | |<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0 | ||
|- | |- | ||
!<center><math>\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math></center> | |||
! Irrationella tal | |||
|Tal som inte kan uttryckas som bråk. Dess motsats är rationella tal. | |||
|- | |||
!<center><math>\mathbb{R}</math></center> | !<center><math>\mathbb{R}</math></center> | ||
! Reella tal | ! Reella tal | ||
| | |De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje | ||
|- | |- | ||
!<center><math>\mathbb{C}</math></center> | !<center><math>\mathbb{C}</math></center> | ||
| Rad 50: | Rad 54: | ||
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten | |''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten | ||
|} | |} | ||
De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen. | De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen. | ||
==== Naturliga tal ==== | ====Naturliga tal==== | ||
[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]] | [[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]] | ||
Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. | Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. | ||
| Rad 65: | Rad 67: | ||
Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. | Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. | ||
{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}} | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
==== Heltal ==== | ====Heltal==== | ||
Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. | Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. | ||
| Rad 78: | Rad 81: | ||
<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center> | <center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center> | ||
==== Rationella tal ==== | ====Rationella tal==== | ||
Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal: | Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal: | ||
| Rad 88: | Rad 91: | ||
Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används). | Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används). | ||
==== Irrationella tal ==== | ====Irrationella tal==== | ||
Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella | Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella. Exepel på irrationella tal: <math>\pi , e , \sqrt{7} </math> | ||
==== Reella tal ==== | ====Reella tal==== | ||
Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. | Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. | ||
| Rad 98: | Rad 101: | ||
Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas). | Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas). | ||
= Aktivitet = | =Aktivitet= | ||
=== Inledning === | |||
===Inledning=== | |||
Namnrunda + bästa matematikområdet. | Namnrunda + bästa matematikområdet. | ||
Tänk på ett tal mellan 1 och 10. | Tänk på ett tal mellan 1 och 10. | ||
Rationell betyder | Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary] | ||
Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal. | Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal. | ||
=== Laborativ/fysisk matematik === | ===Laborativ/fysisk matematik=== | ||
Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet. | Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet. | ||
# Tallinje: | #Tallinje: | ||
## Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31). | ##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31). | ||
## Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet. | ##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet. | ||
## Hur långa ni är. | ##Hur långa ni är. | ||
# 4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga). | #4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga). | ||
# Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100). | #Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100). | ||
# Stå upp - sitt ner. | #Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal. | ||
=== Tänkbara frågor och diskussioner === | ===Tänkbara frågor och diskussioner=== | ||
'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal? | '''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal? | ||
'''4-corners''': Vad är | '''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal? | ||
'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ... | '''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ... | ||
=== EPA === | ===EPA=== | ||
Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors? | Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors? | ||
= Uppgifter = | =Uppgifter= | ||
{{uppgruta| '''Talmängder''' | |||
Vilken talmängd tillhör respektive tal? | |||
: | |||
<math> | |||
\\ 1 | |||
\\ -5 | |||
\\ \frac{2}{35} | |||
\\ 3,000789 | |||
\\ \pi | |||
</math> | |||
}} | |||
=Öva själv i en GeoGebra= | |||
= Öva själv i en GeoGebra = | |||
<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html> | <html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html> | ||
= Lär mer = | =Lär mer= | ||
{| | {| align="right" wikitable | ||
|- | |- | ||
| {{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br /> | |{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br /> | ||
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br /> | |||
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }} | {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }} | ||
|} | |} | ||
| Rad 226: | Rad 168: | ||
{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}} | {{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}} | ||
=== Öva mer === | ===Öva mer=== | ||
{{Khanruta | | {{Khanruta | | ||
| Rad 233: | Rad 175: | ||
}} | }} | ||
=== Läs mer === | ===Läs mer=== | ||
* Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}} | |||
* [[Avrundning]] | *Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}} | ||
* {{svwp|Irrationella_tal}} | *[[Avrundning]] | ||
* [http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal] | *{{svwp|Irrationella_tal}} | ||
*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal] | |||
*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks] | |||
'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?] | '''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?] | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
=== Kluring === | ===Kluring=== | ||
Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till? | Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till? | ||
| Rad 250: | Rad 195: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Exit ticket == | ==Exit ticket== | ||
Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning | Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning | ||
<headertabs /> | <headertabs /> | ||
Nuvarande version från 26 augusti 2019 kl. 08.00