Kleindagarna 2012: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
(209 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
[[Fil:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|höger|200px|miniatyr|Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides ''Elementa'', 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på [http://runeberg.org/elementa/ Projekt Runeberg]]] | |||
== Syfte == | == Syfte == | ||
Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från [http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/SKM/kleinprojektet.html Kleindagarna] 2012 som arrangerades av [http://skm.kva.se/ Svenska kommittén för matematikutbildning] på [http://www.mittag-leffler.se/ Institut Mittag-Leffler]. Kleindagarna stöds även av [http://www2.math.su.se/nk/ Nationalkommittén för matematik] och [http://mattebron.ncm.gu.se/ Mattebron] | |||
Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. | Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: [http://wikiskola.se/index.php?title=Kleindagarna_2012&oldid=13918 (länk till tidigare version)]. | ||
Lektionerna från förra året finns [http://skm.kva.se/ här på SKM]. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva [http://wikis.zum.de/dmuw/The_Klein_Project/Klein_Vignettes vinjetter]. | |||
=== De fem E:na === | |||
Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar. | |||
* | * Engage | ||
* | * Explore | ||
* | * Explain | ||
* | * Elaborate | ||
* | * Evaluate | ||
== | == Lektion abstrakt algebra - Grupper == | ||
=== Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin === | |||
'''Begrepp''' | |||
* Kommutativ | |||
* Associativ | |||
Läs mer om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_%28matematik%29 grupper] | |||
Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor | |||
Garfaen för '''y<sup>2</sup>=x<sup>3</sup>-x+1''' visas nedan: | |||
<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |||
{{clear}} | |||
Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0 | |||
=== Lektionens genomförande === | |||
Kurs 3C | |||
Facebook – gemensamma vänner | |||
- Operation – Symbol – träd (engage) | |||
- 2 objekt | |||
- Andra operationer | |||
- De fyra räknesätten | |||
- Kanske förslag på sinus, roten ur | |||
- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten | |||
- Undersök kommutativitet | |||
Tal Allmännt | |||
3+4=4+3 a+b =b+a | |||
= | 3-14 inte = 4-3 | ||
Sen undersöka Associativitet | |||
(3/4)/5 = 3/(4/5) ? | |||
Utvecklade binära operationer | |||
(a+b)^2 | |||
Rot(ab) | |||
Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, … | |||
Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ. | |||
Tal allmänt | |||
Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika. | |||
Avsluta med att visa lösningarna på tavlan. | |||
Sedan åter till gemensamm fb-vänner | |||
Konstatera att de är både komm och ass | |||
Hemläxa att eleverna hittar på egen operation | |||
=== Lektionstips 1 - Abstrakt algebra === | |||
Tolka definitioner | |||
Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion | |||
Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen | |||
Obs olika representationer. | |||
Konkreta exempel behövs. | |||
Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt. | |||
=== Lektionstips 2 - Abstrakt algebra === | |||
Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner | |||
Nollan, ettan och oändligheten. | |||
:1/<math>\infty</math> | |||
: 1/0 | |||
: <math>\infty-\infty</math> | |||
logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel | |||
inversa funktioner | |||
Sjöfarten, logaritmtabeller | |||
=== | === Lektionstips 3 - Abstrakt algebra === | ||
Kurs 1 | Kurs 1 | ||
Rad 154: | Rad 149: | ||
Kurs 2 Repetition i samband med algebra. | Kurs 2 Repetition i samband med algebra. | ||
==== Explore ==== | ==== Explore ==== | ||
Finn fem fel | '''Finn fem fel''' | ||
Första kvadreringsfelet: (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> | :Första kvadreringsfelet: (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> | ||
Andra kvadreringsfelet (2a)<sup>2</sup> = 2a<sup>2</sup> | :Andra kvadreringsfelet (2a)<sup>2</sup> = 2a<sup>2</sup> | ||
Vilka räkneregler finns det som är användbara? | Vilka räkneregler finns det som är användbara? | ||
Rad 170: | Rad 163: | ||
Skriv sanning på formelblad | Skriv sanning på formelblad | ||
== | == Lektion med laborativa delar - [[Mäta solhöjden]] == | ||
== Lektion i statistik - Strecket == | |||
=== Statistikteori === | |||
==== pi och e ==== | |||
Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel. | Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel. | ||
Rad 187: | Rad 186: | ||
:4 1 0.005 | :4 1 0.005 | ||
=== Användbart på gymn === | ==== Användbart på gymn ? ==== | ||
Sannolikhetsträd för kasta krona | Sannolikhetsträd för kasta krona | ||
p<sup>2</sup> | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)<sup>2</sup> | |||
Hur kommer det sig att <math>\pi</math> och <math>e</math> dyker upp hela tiden? | |||
==== Possionfördelning ==== | |||
[[Fil:Poisson distribution PMF.png | thumb | P som funktion av heltalen ''x'' för ''λ=m''=1, 4 och 10.]] | |||
'''Poissonfördelning''' är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om <math>n</math> är stort och <math>p</math> är litet (tumregel: om <math>p < 0.1</math> kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där <math>m=np</math>), där ''n'' = antalet försök och ''p'' = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är | |||
:<math>{P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}.</math> | |||
Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är <math>\lambda</math>. | |||
{{wp}} | |||
==== Gränsvärdessatsen ==== | |||
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Centrala_gr%C3%A4nsv%C3%A4rdessatsen Centrala gränsvärdessatsen på sv WP]. Sidan behöver utökas... | |||
==== Normalförelningen ==== | |||
Normalfördelningen har täthetsfunktionen | |||
[[Fil:Normal distribution pdf.png|miniatyr|300px|Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²]] | |||
:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>, | |||
där ''μ'' och ''σ'' är normalfördelningens karakteristiska konstanter: ''μ'' är väntevärdet och ''σ'' är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med <math>N(\mu,\sigma)\,</math>. | |||
{{wp}} | |||
''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Normalf%C3%B6rdelning Läs mer]'' | |||
{{clear}} | |||
==== Qlucore ==== | |||
[http://www.r-project.org/ Programmet R] | |||
Företaget Qlucore | |||
NCBI har fria data som man kan använda | |||
Läs Nature och testa. | |||
Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser. | |||
'''Stora datamängder:''' Helgenomundersökningar (3 10<sup>9</sup> baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik. | |||
=== Lektionens genomförande - Strecket - gruppens redovisning === | |||
# Inledning, dra streck | |||
# Excel, lärare | |||
# Median, medelv, Typvärde | |||
# Visualisera | |||
## osorterat | |||
## sorterat. platå innebär kanske norm fördeln | |||
## Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant | |||
# Slutrsats att måste ha mer data | |||
## dels på egna skolan | |||
## dels från andra skolor som finns på nätet | |||
# Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den? | |||
=== Lektionsförslag - Strecket - grupparbetet=== | |||
[[File:Pen stroke with gel refill.jpg|thumb|Pen stroke with gel refill]] | |||
==== Engage ==== | |||
Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik. | |||
Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper. | |||
'''Kommentar''': Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till. | |||
==== Explore - Explain ==== | |||
Det kommer att växla mellan Explore - Explain. | |||
Dra ett rakt streck på ett papper. | |||
# A4-papper. | |||
# Varje elev drar ett streck | |||
# Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna | |||
# Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur. | |||
# Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar | |||
## Kön (det enda eleverna behöver skriva | |||
## Längden | |||
# Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde | |||
# Hitogram. för att åskådliggöra. | |||
# Sortera efter längd | |||
# Histogram. Indelat i klasser. | |||
## GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser. | |||
## Länkar, boken. | |||
## [http://www.malinc.se/math/statistics/normal_distrsv.php MalinC om normalfördelningen] | |||
# Titta om det är någon skillnad på kön | |||
# Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer. | |||
# Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass. | |||
# Tror vi att det är normalfördelat. | |||
# Vilket är det normalaste strecket? | |||
# | |||
==== Explain ==== | |||
Att diskutera utifrån materialet | |||
* Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse. | |||
* Vad innebär normalfördelning? | |||
==== Elaborate ==== | |||
Titta i nationella data. | |||
T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser. | |||
'''Tävling''': Närmast väntevärdet vinner. | |||
==== Evaluate ==== | |||
==== Rapportera in till SKM ==== | |||
* Program | |||
* Län (skolans) | |||
=== Lösa tankar och tips statistik=== | |||
Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden. | |||
börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar) | |||
Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd. | |||
Samla in data med sensorer | |||
'''Boktips''': [http://books.google.se/books/about/Euler.html?id=uKOVNvGOkhQC&redir_esc=y Euler, The Master of us all] | |||
== Lektion Geometri - Linjen och cirkeln == | |||
Kurs Ma1C, Ma2B | |||
Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter. | |||
Dubbelt onödigt enligt elever. | |||
Men nödvändigt öva att argumentera. | |||
Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker? | |||
Finns det något som är enklare och mer relevant. | |||
Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje. | |||
Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje. | |||
'''Explore''': På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel? | |||
Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter. | |||
Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter. | |||
Arbete i grupper. Utan passare och linjal. | |||
Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter. | |||
Sedan fästa blicken på att man använder '''basvinkelsatsen'''. | |||
[[Fil:Triangel-liksidig-likbent.svg|right|350px]] | |||
Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan. | |||
Dataspelskoppling: hur ritar man en cirkel i GGb? Hur kan man cva säker på att det alltid blir en cirkel utifrån tre punkter? Å i så fall kan det inte vara en rät linje som går igenom punkterna på cirkeln. Sedan dessutom titta på hur en cirkel skapas i javascript. | |||
Dataspelsingång: Du har tre motståndare som står på en cirkel. Du står utanför cirkeln. Kan du skjuta alla tre motståndare med ett skott. | |||
'''Explain''': Basvinkelsatsen. | |||
'''Expand''': Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller? | |||
===== Explain ===== | |||
Bevisa det som går och prata om det som inte går. | |||
Använd papper och penna och linjal eller GGB. | |||
== Lektionstips från Kina == | |||
=== Inspirationsföreläsning: Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika === | |||
'''MKT-koceptet:''' [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball, | |||
Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403 | |||
=== Genomförande === | |||
Antag att 4/x + 1/y = 1 | |||
Eleverna får som läxa att fundera över möjliga lösningar | |||
Under lektionen får eleverna arbeta två och två. | |||
Läraren väljer en tre fyra lösningar och skickar fram eleverna att redovisa på en del av tavlan, alternativt med projektor | |||
Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker. | |||
'''Förutsättning''': Matematisk vigör hos läraren. Läraren bra på många olika lösningar. Kinesiska lärare bra på att planera lektioner. | |||
<ggb_applet width="397" height="446" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |||
== Lektioner med - Myror == | |||
=== Tivolifysik === | |||
Telefon-app: AccelGraph. | |||
[http://tivoli.fysik.org/groena_lund/ Tivoli-fysik] | |||
Centrepital a<sub>c</sub> = v<sup>2</sup>/r | |||
Whiplash, [http://sv.wikipedia.org/wiki/Klotoid klotoider], Euler | |||
Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor) | |||
Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström. | |||
=== Program === | |||
* NeoOfficeCalc = Officepaket för Mac. | |||
* [http://freemat.sourceforge.net/ FreeMat] | |||
* [http://www.mathworks.se/programs/nrd/matlab-trial-request.html?s_cid=adw_se_search_matlab_trial4 Matlab] | |||
=== Lektion med myror och rörelser 1 === | |||
1 a Gissa vägen, skissa | |||
b Gissa längden | |||
2 Myror på roterande skiva | |||
Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum. | |||
3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan | |||
4 Explain/explore | |||
Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1. | |||
Matlab eller liknande program | |||
Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu? | |||
=== Myror och rörelse 2 === | |||
1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater | |||
Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna. | |||
2 Cykloiden. | |||
== Lektion om cykloider == | |||
Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider. | |||
'''Engage''': ? | |||
'''Explore''': Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel. | |||
Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök. | |||
Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn. | |||
'''Explain''' | |||
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid | |||
* http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html | |||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid | |||
* [ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D2%28t-sint%29%2C+y%3D2%281-cost%29 WolframAlpha] | |||
* Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem | |||
Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5 | |||
'''Explore''': tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden. | |||
'''Expand''': Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare. | |||
Exempel: Pear-shaped Quartic | |||
<ggb_applet width="421" height="435" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |||
== Lektion i geometri - Randvinkelsatsen == | |||
'''Teori:''' Jana Madjarovas geometriföreläsning fanns på papper. | |||
Geometri | |||
2b/2C | |||
Randvinkelsatsen | |||
1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd. | |||
2 | |||
''Se vidare anteckningar på papper'' | |||
=== Lektionstips och idéer - Geometri === | |||
* Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel? | |||
* Läxförhör på definitioner | |||
* Formulera satser | |||
* Bevisa Pythagoras omvändelse | |||
* Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem. | |||
* Genomgång: Komplettering. Strukturera. | |||
* Återkoppla i senare undervisning. | |||
* Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift. | |||
* Rita gissa spring? | |||
* Etymologi. | |||
=== Lektionstips geometri - knyt ekvivalens mm till geometriska objekt === | |||
Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning. | |||
Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat. | |||
Spel som parar ihop olika egenskaper. | |||
Koppla ihop ekvivalens och implikationen med | |||
Koppla ihop påståenden med figur. | |||
==== Ex ==== | |||
Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar. | |||
Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta. |
Nuvarande version från 12 januari 2018 kl. 13.37
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg/200px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg)
Syfte
Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 som arrangerades av Svenska kommittén för matematikutbildning på Institut Mittag-Leffler. Kleindagarna stöds även av Nationalkommittén för matematik och Mattebron
Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: (länk till tidigare version).
Lektionerna från förra året finns här på SKM. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva vinjetter.
De fem E:na
Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.
- Engage
- Explore
- Explain
- Elaborate
- Evaluate
Lektion abstrakt algebra - Grupper
Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin
Begrepp
- Kommutativ
- Associativ
Läs mer om grupper
Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor
Garfaen för y2=x3-x+1 visas nedan:
<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0
Lektionens genomförande
Kurs 3C
Facebook – gemensamma vänner
- Operation – Symbol – träd (engage)
- 2 objekt
- Andra operationer
- De fyra räknesätten
- Kanske förslag på sinus, roten ur
- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten
- Undersök kommutativitet
Tal Allmännt
3+4=4+3 a+b =b+a
3-14 inte = 4-3
Sen undersöka Associativitet
(3/4)/5 = 3/(4/5) ?
Utvecklade binära operationer
(a+b)^2
Rot(ab)
Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …
Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.
Tal allmänt
Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.
Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.
Sedan åter till gemensamm fb-vänner
Konstatera att de är både komm och ass
Hemläxa att eleverna hittar på egen operation
Lektionstips 1 - Abstrakt algebra
Tolka definitioner
Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion
Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen
Obs olika representationer.
Konkreta exempel behövs.
Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.
Lektionstips 2 - Abstrakt algebra
Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner
Nollan, ettan och oändligheten.
- 1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
- 1/0
- [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]
logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel
inversa funktioner
Sjöfarten, logaritmtabeller
Lektionstips 3 - Abstrakt algebra
Kurs 1
Undersöka. Vilka är sanna?
Alla stämmer någon gång men inte alltid.
- a+b = b+a
- a-b = b-a
- ab = ba
- a/b = b/a
Hitta geometriska förklaringar
På samma sätt: distributiva, associoiativa
a/(b+c) = a/b + a/c
Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?
Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.
Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?
Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.
Kurs 2 Repetition i samband med algebra.
Explore
Finn fem fel
- Första kvadreringsfelet: (a+b)2 = a2 + b2
- Andra kvadreringsfelet (2a)2 = 2a2
Vilka räkneregler finns det som är användbara?
Evaluate
Skriv sanning på formelblad
Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden
Lektion i statistik - Strecket
Statistikteori
pi och e
Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.
Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.
Ladislaus von Bortkiewicz
Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.
Antal dödsfall, antal pro
- 0 109 0.545
- 1 65 0.325
- 2 22 0.11
- 3 3 0.015
- 4 1 0.005
Användbart på gymn ?
Sannolikhetsträd för kasta krona
p2 | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)2
Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?
Possionfördelning
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Poisson_distribution_PMF.png/300px-Poisson_distribution_PMF.png)
Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om [math]\displaystyle{ n }[/math] är stort och [math]\displaystyle{ p }[/math] är litet (tumregel: om [math]\displaystyle{ p \lt 0.1 }[/math] kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där [math]\displaystyle{ m=np }[/math]), där n = antalet försök och p = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är
- [math]\displaystyle{ {P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}. }[/math]
Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Gränsvärdessatsen
Centrala gränsvärdessatsen på sv WP. Sidan behöver utökas...
Normalförelningen
Normalfördelningen har täthetsfunktionen
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/300px-Normal_distribution_pdf.png)
- [math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],
där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer
Qlucore
Företaget Qlucore
NCBI har fria data som man kan använda
Läs Nature och testa.
Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.
Stora datamängder: Helgenomundersökningar (3 109 baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.
Lektionens genomförande - Strecket - gruppens redovisning
- Inledning, dra streck
- Excel, lärare
- Median, medelv, Typvärde
- Visualisera
- osorterat
- sorterat. platå innebär kanske norm fördeln
- Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant
- Slutrsats att måste ha mer data
- dels på egna skolan
- dels från andra skolor som finns på nätet
- Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den?
Lektionsförslag - Strecket - grupparbetet
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Pen_stroke_with_gel_refill.jpg/300px-Pen_stroke_with_gel_refill.jpg)
Engage
Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.
Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.
Kommentar: Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.
Explore - Explain
Det kommer att växla mellan Explore - Explain.
Dra ett rakt streck på ett papper.
- A4-papper.
- Varje elev drar ett streck
- Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
- Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
- Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
- Kön (det enda eleverna behöver skriva
- Längden
- Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
- Hitogram. för att åskådliggöra.
- Sortera efter längd
- Histogram. Indelat i klasser.
- GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
- Länkar, boken.
- MalinC om normalfördelningen
- Titta om det är någon skillnad på kön
- Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
- Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
- Tror vi att det är normalfördelat.
- Vilket är det normalaste strecket?
Explain
Att diskutera utifrån materialet
- Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.
- Vad innebär normalfördelning?
Elaborate
Titta i nationella data.
T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.
Tävling: Närmast väntevärdet vinner.
Evaluate
Rapportera in till SKM
- Program
- Län (skolans)
Lösa tankar och tips statistik
Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.
börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)
Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.
Samla in data med sensorer
Boktips: Euler, The Master of us all
Lektion Geometri - Linjen och cirkeln
Kurs Ma1C, Ma2B
Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter.
Dubbelt onödigt enligt elever.
Men nödvändigt öva att argumentera.
Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker?
Finns det något som är enklare och mer relevant.
Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje.
Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje.
Explore: På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel?
Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter.
Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter.
Arbete i grupper. Utan passare och linjal.
Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.
Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Triangel-liksidig-likbent.svg/langsv-350px-Triangel-liksidig-likbent.svg.png)
Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.
Dataspelskoppling: hur ritar man en cirkel i GGb? Hur kan man cva säker på att det alltid blir en cirkel utifrån tre punkter? Å i så fall kan det inte vara en rät linje som går igenom punkterna på cirkeln. Sedan dessutom titta på hur en cirkel skapas i javascript.
Dataspelsingång: Du har tre motståndare som står på en cirkel. Du står utanför cirkeln. Kan du skjuta alla tre motståndare med ett skott.
Explain: Basvinkelsatsen.
Expand: Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?
Explain
Bevisa det som går och prata om det som inte går.
Använd papper och penna och linjal eller GGB.
Lektionstips från Kina
Inspirationsföreläsning: Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika
MKT-koceptet: [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball, Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403
Genomförande
Antag att 4/x + 1/y = 1
Eleverna får som läxa att fundera över möjliga lösningar
Under lektionen får eleverna arbeta två och två.
Läraren väljer en tre fyra lösningar och skickar fram eleverna att redovisa på en del av tavlan, alternativt med projektor
Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.
Förutsättning: Matematisk vigör hos läraren. Läraren bra på många olika lösningar. Kinesiska lärare bra på att planera lektioner.
<ggb_applet width="397" height="446" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Lektioner med - Myror
Tivolifysik
Telefon-app: AccelGraph.
Centrepital ac = v2/r
Whiplash, klotoider, Euler
Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)
Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.
Program
Lektion med myror och rörelser 1
1 a Gissa vägen, skissa
b Gissa längden
2 Myror på roterande skiva
Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum.
3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan
4 Explain/explore
Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1.
Matlab eller liknande program
Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu?
Myror och rörelse 2
1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater
Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna.
2 Cykloiden.
Lektion om cykloider
Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider.
Engage: ?
Explore: Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel.
Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök.
Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn.
Explain
- http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid
- http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid
- [ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D2%28t-sint%29%2C+y%3D2%281-cost%29 WolframAlpha]
- Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem
Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5
Explore: tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.
Expand: Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.
Exempel: Pear-shaped Quartic
<ggb_applet width="421" height="435" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Lektion i geometri - Randvinkelsatsen
Teori: Jana Madjarovas geometriföreläsning fanns på papper.
Geometri
2b/2C
Randvinkelsatsen
1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd.
2
Se vidare anteckningar på papper
Lektionstips och idéer - Geometri
- Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
- Läxförhör på definitioner
- Formulera satser
- Bevisa Pythagoras omvändelse
- Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
- Genomgång: Komplettering. Strukturera.
- Återkoppla i senare undervisning.
- Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
- Rita gissa spring?
- Etymologi.
Lektionstips geometri - knyt ekvivalens mm till geometriska objekt
Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.
Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.
Spel som parar ihop olika egenskaper.
Koppla ihop ekvivalens och implikationen med Koppla ihop påståenden med figur.
Ex
Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar.
Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.