Differentialekvationer Ma4: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(17 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Primitiva funktioner ==
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]]  [[Category:Samband och förändring]]  [[Category:Differentialekvationer]]


=== Öva ===
== [[Primitiva funktioner - Ma4]] ==


{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/indefinite_integrals/e/antiderivatives Antiderivator] }}
== [[Primitiva funktioner med villkor]] ==


=== Några vanliga primitiva funktioner ===
== [[Enkla differnetialekvationer]] ==


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"
== Öva på gamla nationella prov Ma E ==
|+ Några primitiva funktioner
|-
! width="100" | <math>f(x)</math> <br><small>funktion</small>
! width="100" | <math>F(x)</math> <br><small>primitiv funktion</small>
|-
|<math>k</math>
|<math>kx + C</math>
|-
|<math>x^n ~~~ (n \ne -1)</math>
|<math>\frac{x^{n+1}}{n+1} + C </math>
|-
|<math> x^{-1} = \frac{1}{x}</math>
|<math> \ln{|x|} + C</math>
|-
|<math> e^x </math>
|<math> e^x + C </math>
|-
|<math> a^x ~~~ (a > 0, a \ne 1) </math>
|<math> \frac{a^x}{\ln a} + C </math>
|-
|<math> \sin (x) </math>
|<math> - \cos (x) + C </math>
|-
|<math> \cos (x) </math>
|<math> \sin (x) + C </math>
|-
|<math> \frac{1}{a^2+x^2}</math>
|<math> \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C </math> om <math>a\neq 0</math>
|-
|<math> \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|<math> \arcsin\frac{x}{a} + C </math> om <math>a>0</math>
|-
|<math> \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}</math>
|<math> \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C </math> om <math>a\neq 0</math>
|-
| colspan="2" | ''k'' och ''C'' är reella konstanter.
|-
|}


Inom matematisk analys är en funktion ''F''(''x'') en '''primitiv funktion''' till ''f''(''x'') om funktionen ''f'' är dess derivata, det vill säga om ''F''&nbsp;'(''x'')=''f''(''x'').  
: [[Media:Diffwrentialekvationer_från_NP_Ma_E_vt_2005.pdf | Uppgifter från NP Ma E vt 2005 ]]
 
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=http://pb-ma.edmeas.napb.se/information/tidigare_prov.asp NP Ma E vt 2002]
Andra benämningar av primitiv funktion är '''antiderivata''' eller '''obestämd integral'''. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt00.pdf NP Ma E vt 2000]
 
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht99.pdf NP Ma E ht 1999]
Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion ''f''. Om en primitiv funktion är ''F''(''x''), så kan alla primitiva funktioner skrivas ''F''(''x'') + ''C''.
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht98.pdf NP Ma E ht 1998]
 
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt98.pdf NP Ma E vt 1998]
Exempel: Alla primitiva funktioner till
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht97.pdf NP Ma E ht 1997]
:<math>f(x)=x^2</math>
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt97.pdf NP Ma E vt 1997]
kan skrivas
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-ht96.pdf NP Ma E ht 1996]
:<math>F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C</math>
: [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/vloggfile_prov.php?file=E-kursprov-vt96.pdf NP Ma E vt 1996]
där ''dx'' betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.
: [http://www.edusci.umu.se/np/np-b-d/tidigare-prov/ Alla kursprov i Matematik B-E]
 
Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen ''f''.
 
Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.
 
I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.
 
Från {{svwp | Primitiv_funktion}}
{{clear}}
 
== Primitiva funktioner med villkor ==
 
{{#ev:youtube | qBVuWAIT1nk | 340 | right |Mattias Danielsson, CC}}
 
{{clear}}
 
== Enkla differnetialekvationer ==
 
{{#ev:youtube | fHdIYDQ4vBQ | 340 | right |Differnetialekvationer - några allmänna lösningar. Mattias Danielsson, CC}}
{{#ev:youtube | vcDFkGr2M8Q | 340 | right |Tillämpningar av differnetialekvationer. Mattias Danielsson, CC}}


== Utmaningar - det kommer i Ma5 ==
== Utmaningar - det kommer i Ma5 ==

Nuvarande version från 7 november 2016 kl. 23.05


Primitiva funktioner - Ma4

Primitiva funktioner med villkor

Enkla differnetialekvationer

Öva på gamla nationella prov Ma E

Uppgifter från NP Ma E vt 2005
NP Ma E vt 2002
NP Ma E vt 2000
NP Ma E ht 1999
NP Ma E ht 1998
NP Ma E vt 1998
NP Ma E ht 1997
NP Ma E vt 1997
NP Ma E ht 1996
NP Ma E vt 1996
Alla kursprov i Matematik B-E

Utmaningar - det kommer i Ma5

Artikel i Nämnaren

En artikel i Nämnaren av Jonas Halll och Thomas Lingefjärd.

Differentialekvationer och komplexa tal med GeoGebra

Differentialekvation - Exempel

En GGB av Jonas Hall

Differentialekvation - Alternativ

En annan GGB för Nämnare av Hall och Lingefjärd.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Differentialekvationer_Ma4&oldid=37885”