Mer om integraler: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 28 april 2016 kl. 09.03

Ma3C: Integraler , sidan 221-226

Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig tre regler för integraler.

Definition

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]

Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]

förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;

[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]

där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];

[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.