Mer om integraler: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(14 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{{lm3c| Integraler | ss }}
{{lm3c| Integraler | 221-226 }}
{{#ev:youtube| IDYoutube | 340 | right |FilmTirtelf}}
{{#ev:youtube| 91sZkwBK7ps | 340 | right |Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler}}
{{malruta|
{{malruta|
Denna lektion kommer du att lära dig hur xxxxxxxxxxx.
Denna lektion kommer du att lära dig tre regler för integraler.
}}
}}


{{defruta |  
{{defruta |  
:defdefdefdef
: <math>\int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx</math>
<br />
 
:  <math> \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx  =  \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx </math>
<br />
 
:  <math> \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx  =  \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx </math>
}}
}}


== Mer om integraler ==
== Fler användbara räknelagar ==


{{#ev:youtube|OAN8qa-pnIo|340|left}} {{#ev:youtube|i8JPiQ3Ujyc|340|right}}
Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:
:<math>\int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx</math>
::förutsatt att konstanten ''a'' inte är lika med noll;
:<math>\int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx</math>
::där ''f(x)'' och ''g(x)'' är oberoende funktioner.


{{clear}}
Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:
:<math>\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx</math>
:<math>\int_a^a f(x)dx = 0</math>
:<math>\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx</math>


[http://www.proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus ProofWiki]
Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:
:<math>\int f(x)dx = \int f(t)dt</math>


== Mekaniken ==
Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:
:<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C</math>;
:<math>\int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C</math>.


Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.
Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.


== Tillämpningar - exempel på cirkelns area ==
Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.


Det finns många praktiska tillämpningar av integraler och nedanstående exempel är snarare ett sätt att visa att formeln stämmer. Men tillvägagångssättet är lätt att kopiera till andra områden därför passar det här.
== Mer om integraler ==


{{#ev:youtube|OAN8qa-pnIo|340|left}} {{#ev:youtube|i8JPiQ3Ujyc|340|right}}


=== Beräkning av cirkelskivans area med koncentriska skal ===
{{clear}}


[[File:Circle-calc-area.svg|left|200px]]{{clear|left}}
[http://www.proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus ProofWiki]
Om cirkelskivan delas upp i koncentriska ringar med omkretsen <math>2\pi t</math> kan arean beräknas med integralen
:<math>A = \int_0^{r} 2 \pi t \, dt = \left[ 2\pi \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{r} = \pi r^2</math>
 
{{svwp | cirkel}}




{{clear}}
{{clear}}
{{flipped | Lös uppgifterna yyyy - zzzz. Läs på om [[Tillämpningar av integraler]].
{{flipped | Lös uppgifterna 4317 - 4332. Läs på om [[Tillämpningar av integraler]].
}}
}}

Nuvarande version från 28 april 2016 kl. 09.03

Ma3C: Integraler , sidan 221-226
Load video
YouTube
Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig tre regler för integraler.


Definition
[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]


[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]


[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]


Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]
förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;
[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]
där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];
[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.

Mer om integraler

Load video
YouTube
Load video
YouTube

ProofWiki


Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna 4317 - 4332. Läs på om Tillämpningar av integraler.
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Mer_om_integraler&oldid=35795”