Beräkna integraler: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
(16 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 4: | Rad 4: | ||
Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar integraler. | Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar integraler. | ||
}} | }} | ||
{{defruta | | {{defruta | | ||
Rad 17: | Rad 13: | ||
där ''F'' är en primitiv funktion till ''f''. | där ''F'' är en primitiv funktion till ''f''. | ||
}} | }} | ||
== Exempel från fysiken == | |||
[[Fil:Trapez_vt.png|thumb|Sträckan = arean under en vt-graf. CC By Tharbad]] | |||
Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf. | |||
=== Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten === | |||
Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration ''a'', gäller då att: | |||
: v = v<sub>0</sub> + at | |||
''v<sub>0</sub>'' är hastigheten vid start och ''t'' är så klart tiden från start. | |||
Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare? | |||
: t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s<sup>2</sup>. | |||
: v = at = 9,82 m/s<sup>2</sup> * 1,5 s = 14,7 m/s | |||
=== Arean === | |||
Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan. | |||
: v<sub>m</sub> = (v<sub>efter</sub> - v<sub>före</sub>) / 2 | |||
Men sträckan är ju v<sub>m</sub> * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet. | |||
[http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=87&Itemid=94 naturvetenskap.org ger en beskrivning.] | |||
=== Animering av sträcka under vt-kurva === | |||
<swf width="600" height="400">/images/FysikA_s_e_area_u_vt_kurva_2.swf</swf> | |||
[[Fil:S_area-vt-graf.jpg|thumb]] | |||
[http://www.khanacademy.org/video/why-distance-is-area-under-velocity-time-line?playlist=Physics Khan om sträcka = area under vt-kurva] | |||
=== Sträckan === | |||
: s = v<sub>0</sub>t + at<sup>2</sup>/2 | |||
{{clear}} | |||
== Geometriskt bevis == | |||
{{enwp | Fundamental_theorem_of_calculus}} | |||
[[File:FTC_geometric.svg|500px|thumb|right|The area shaded in red stripes can be estimated as ''h'' times ''f''(''x''). Alternatively, if the function ''A''(''x'') were known, it could be computed exactly as {{nowrap|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'').}} These two values are approximately equal, particularly for small ''h''.]] | |||
For a continuous function {{nowrap|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} whose graph is plotted as a curve, each value of ''x'' has a corresponding area function ''A''(''x''), representing the area beneath the curve between 0 and ''x''. The function ''A''(''x'') may not be known, but it is given that it represents the area under the curve. | |||
The area under the curve between ''x'' and {{nowrap|''x'' + ''h''}} could be computed by finding the area between 0 and {{nowrap|''x'' + ''h'',}} then subtracting the area between 0 and ''x''. In other words, the area of this “sliver” would be {{nowrap|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'')}}. | |||
There is another way to ''estimate'' the area of this same sliver. As shown in the accompanying figure, ''h'' is multiplied by ''f''(''x'') to find the area of a rectangle that is approximately the same size as this sliver. So: | |||
:<math>A(x+h)-A(x) \approx f(x)h</math> | |||
In fact, this estimate becomes a perfect equality if we add the red portion of the "excess" area shown in the diagram. So: | |||
:<math>A(x+h)-A(x)=f(x)h+(\text{Red Excess})</math> | |||
Rearranging terms: | |||
:<math>f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Red Excess}}{h}</math>. | |||
As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero, which implies | |||
:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math> | |||
This implies {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''A''′(''x'')}}. That is, the derivative of the area function ''A''(''x'') exists and is the original function ''f''(''x''); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus. | |||
Läs gärna vad {{svwp | Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt. | |||
== Förklaring med hjälp av Riemannsumman == | == Förklaring med hjälp av Riemannsumman == | ||
Rad 57: | Rad 125: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
{{flipped | Lös uppgifterna 4221 - 4240. Läs på om [[Arean av ett område mellan två kurvor]]. | {{flipped | Lös uppgifterna 4221 - 4240. Läs på om [[Arean av ett område mellan två kurvor]]. | ||
}} | |||
== Exit card == | |||
En kunskapskontroll lämplig för lektionesns avslutning. | |||
{{uppgfacit | | |||
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_uppgift_15.png | 600px |vänster]] | |||
| | |||
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_Uppgift_15_-_facit.png | 600px |vänster]] | |||
}} | }} |
Nuvarande version från 21 april 2016 kl. 10.43
Definition |
---|
För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis:
där F är en primitiv funktion till f. |
Exempel från fysiken
![](/images/thumb/Trapez_vt.png/300px-Trapez_vt.png)
Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.
Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten
Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration a, gäller då att:
- v = v0 + at
v0 är hastigheten vid start och t är så klart tiden från start.
Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?
- t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s2.
- v = at = 9,82 m/s2 * 1,5 s = 14,7 m/s
Arean
Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.
- vm = (vefter - vföre) / 2
Men sträckan är ju vm * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.
naturvetenskap.org ger en beskrivning.
Animering av sträcka under vt-kurva
<swf width="600" height="400">/images/FysikA_s_e_area_u_vt_kurva_2.swf</swf>
![](/images/thumb/S_area-vt-graf.jpg/300px-S_area-vt-graf.jpg)
Khan om sträcka = area under vt-kurva
Sträckan
- s = v0t + at2/2
Geometriskt bevis
Wikipedia: Fundamental_theorem_of_calculus
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/FTC_geometric.svg/langsv-500px-FTC_geometric.svg.png)
For a continuous function y = f(x) whose graph is plotted as a curve, each value of x has a corresponding area function A(x), representing the area beneath the curve between 0 and x. The function A(x) may not be known, but it is given that it represents the area under the curve.
The area under the curve between x and x + h could be computed by finding the area between 0 and x + h, then subtracting the area between 0 and x. In other words, the area of this “sliver” would be A(x + h) − A(x).
There is another way to estimate the area of this same sliver. As shown in the accompanying figure, h is multiplied by f(x) to find the area of a rectangle that is approximately the same size as this sliver. So:
- [math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x) \approx f(x)h }[/math]
In fact, this estimate becomes a perfect equality if we add the red portion of the "excess" area shown in the diagram. So:
- [math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x)=f(x)h+(\text{Red Excess}) }[/math]
Rearranging terms:
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Red Excess}}{h} }[/math].
As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero, which implies
- [math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]
This implies f(x) = A′(x). That is, the derivative of the area function A(x) exists and is the original function f(x); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.
Läs gärna vad Wikipedia skriver om Analysens_fundamentalsats även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.
Förklaring med hjälp av Riemannsumman
Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?
Börja med att visa Riemannsumman för att ta reda på arean under en graf.
GeoGebra om Riemannsumma in här
Övning Riemannsumma i GGb
Uppgift |
---|
laborera själv i Geogebra
Denna GGB ger dig möjlighet att flytta stapeln och att testa olika funktioner. Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen. Vad lärde du dig av denna övning? |
uppg 2
Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330
Hur hanteras negativa areor?
Uppg 3
Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:
Exit card
En kunskapskontroll lämplig för lektionesns avslutning.