Visa källa för Räta linjens ekvation

== Nu kommer en kort repetition ==

Första delen är en mall som inkluderats från Ma1C. Därefter kommer övningen med räta linjen i javascript.

=== Räta linjen Intro (från Ma1C) ===

{{:räta linjen - intro}}

=== Räta linjen som övning i javascript ===

{{:räta_linjen}}

''Nu är det slut på mallen med repetition från Ma1C.''

== Koordinatgeometri ==
 
s. 92- 101

=== RikardM - Avståndsformeln ===
<youtube>FY6G0-ByfrA</youtube>

===  Mittpunktsformeln ===
{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}

[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]

 '''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.
 Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i 
 ett  kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma 
 punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.


'''Definition 1:'''

 (X1,Y1) och (X2,Y2)
 (Xm,Ym)= (X1+X2/2),(Y1+Y2/2)
 [http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]
 
'''Definition 2:'''
 Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
 gå in på länken och se efter själv:[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Wikipedia, Mittpunktsformeln]
 O = Origo.
 M = Punkten mellan P1 och P2.
 P1 = Punkt1.
 P2 = Punkt2.

'''Exepel på problem'''
 Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
 av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].

'''Lösning'''
 y 1 = -2, x 2 = -3 och y 2 = 5.

==== Länkar - Mittpunktsformeln ====

* [http://translate.google.se/translate?hl=sv&langpair=en%7Csv&u=http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/midpoint/ Exempeluppgift]
* [http://ungdomar.se/forum.php?thread_id=223534&page=1 Svårare Exempeluppgift]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]

=== y=kx+m ===
[[Fil:FuncionLineal04.svg|right|340px]]

        K = lutningen. Man kan räkna ut K om man har två koordinater t ex x1-x2/y1-y2 = K
        M = Var linjen skär y-axeln
        Exempel uträkning med koordinater.
        (-1,1) (1,5)
        y= valfri Y-koordinat, vi väljer 5. Formeln blir då 5=kx+m
        vi räknar ut k
        k=(x1-x2)/(y1-y2)= 5-1/1-(-1) = 4/2 = 2, k=2. Formeln blir då 5 = 2x+m
        x = 1. Formeln blir: 5 = 2*1+m. Tar bort 2 på båda sidor. 
        M= 3

{{GGB | Räta linjens ekvation 

[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}
==== Länkar: ====

* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation

== Riktningskoefficienten ==
 
{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}

'''Håkan länkar'''
* [http://www.theducation.se/natstod/ma-nv/exempel/trana_pa_ekvation_till_rat_linje/ Theeducation]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/graphing_linear_equations Khan: Graphing linear Equations]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/line_graph_intuition Intuitiv Khan]

===  riktningskoefficienten ===
[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]

{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
}}


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png


''' Definition - räta linjens ekvation''' 
 
:<math> y = kx+m </math>
  
{{clear}}

'''Ett Exempel + uträkning till exemplet'''

'''Fråga 1'''

Erika anställer en städslav och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr'' 
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är avgiften Erika måste betala?

'''Uträkning till fråga 1'''

Tänk så här: 

Kostnaden ökar med 
990kr-450kr= 540kr 

Tiden ökar med 9-4= 5timmar
990-450/9-5=540/2= 225 

Avgiften per timme blir = 225 kr 

'''Länk''' 

[[http://www.youtube.com/watch?v=vzkUI5W2sZQ riktningskoefficienten ]]

== Ta fram räta linjens ekvation ==

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y 0 kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

=== Hitta k  ===

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>

=== Hitta m ===

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

: <math> y = kx + m </math>

Då är det ju bara m som är obekant.

{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>

Sätter man in värdena så får man:

: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>

Vilket ger:

: <math> m=  5 -2 * 3  </math>

: <math> m=  5 -6  </math>

: <math> m=  -1  </math>

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som 

: <math> y=  2 x - 1  </math>
}}

== Parallella och vinkelräta linjer ==

Onsdag 10.30-12

s. 110- 112

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

'''Parallella linjer'''
 
 k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

'''Vinkelräta linjer'''
 
 k<sub>1</sub> * k<sub>2</sub> = -1

<br>
<html>
<head>
<title>Vinkelr&#228;ta linjer - GeoGebra Dynamisk arbetsbok</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta name="generator" content="GeoGebra" />
<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style>
</head>
<body>
<table border="0" width="600">
<tr><td>

<p>
Vinkelr&#228;ta linjer</p>

<script type="text/javascript" language="javascript" src="
http://www.geogebra.org/web/4.2/web/web.nocache.js"></script><article class="geogebraweb" data-param-width="506" data-param-height="628" 
data-param-showResetIcon="false" data-param-enableLabelDrags="false" data-param-showMenuBar="false" data-param-showToolBar="false" data-param-showAlgebraInput="false" enableLabelDrags="true" data-param-ggbbase64="UEsDBBQACAAIAHizkkIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAB4s5JCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVZ23LcNhJ9dr4CxYc87Foc3Al6R07ZrkrFVXLiWnlTW/uyBZLQDD0ckiExo1HKn5M/yY9tAyDnLtlaO9m1rBkQRKMbffqg0ZCn322WFVqbri+b+jIiMY6QqfOmKOvZZbSyNxcq+u75N9OZaWYm6zS6abqltpcRj2m0mwe9mDI3uSwuo+TmRgmhby4yKtMLXqT8IiskvaBJlipqshQneYTQpi+f1c2Pemn6VufmOp+bpb5qcm29zrm17bPJ5Pb2Nh6tx003m8xmWbzpiwjByuv+MhoenoG6g0m3zItTjMnkn2+ugvqLsu6trnMTIefVqnz+zZPpbVkXzS26LQs7v4wElhGam3I2BzcTpiI0cUIt+Nqa3JZr08PUva732S7byIvp2o0/CU+o2roToaJcl4XpLiMckzSRVHGheKowZUmEmq40tR1kyWBzMmqbrktzG9S6J2+R4xTmrcu+zCpzGd3oqgevyvqmA0RhQd0Kur29q0ymu7G/Ww95Cv9AoPzVOF0QugADjGD81H0S+AiBw1r2DUfINk3ltWL04QOimGL01DUkNBQaKcMQDu8wCw0NDQ+NCDI8TOdBlAcZHmQ4e8DJob/zcnhx4OboJDnnpISP9/7ISbXnJHFOfEDErd43DLl1E79+1/ChK0M38Q3BoSHDoHJfqevIz/SIjR6xx3hE9qwGMtxv9IQso0W/OT7VIv0sP9mDcaPiHi8fAvd4T5xiu7Up9myCKf/rPycW2UNufnQXnjXIlDOYKH7WoOR/tosJ/uIunjE4nYxZbjpsPdTPnezAVmuWvcs4LEXC7yOCBGxMmUCeEIik0CRug1JEBOICukQh6doEMbcnOWJIISdHGPLpRSj44olXJpEAZe5tEnYuYhwJhojPShxBLkI+s0GWowwkhEACJjnzhDoVTCIuoccU4rBGl9QSlzgYTIQ+mKeIEcTcZJIgKpF0+gh3yVIqt3RQSZHESPqsAXkRcmLIhyCvEHPeAMPbpi+36M5N1Y4geRzLul3ZA+zyZTE+2qbdxtBLF02+eLnFehgxurf7YnAU7Q68cDQdnIdPppXOTAVVw7UjAkJrXbkt7C3cNLVFIwlkeDfrdDsv8/7aWAuzevRer/WVtmbzPUj3o20vmzd1/7Zr7KumWi3rHqG8qfDWtaYie890u2rosL0Bvj8g9gbk3nNy1m4DI2jVG7DfdP0orovitZPY5TIA8Ke6unvZGb1om/LQjenEVxtTs8qrsih1/TOQ3VlxuKCzxQfk1XEhTVdc3/WwA9DmX6ZrYEsmMUsl5YwJQRiVwIO7MCIIjZVMmUiFUCJ1Cvtcu53LVcwUlokUiVBJksIZd3fPEOHBsllvA6Q3Zuv7rCuL/efX/cumKrZIeOdf6dauOl9HQirvnEsv6lllPEE8caEiyxdZs7kOzGBB17u7FnqD59nMg44gr0ApAAJDm0ErRJBxC9tKYS+DvQQeqVYW23GSUi/h2yy0Xgq4G5Y2OEpGLwkezZS9z4Y4OthbnviuvlvVpb0aO7bMFztPnfyPq2VmtvQ5VEm+kMrp5Ihe04XpalMNbIZArppVHzbnHtGB22+1nb+oi7+bGaSVt9qldguqg+huxYXJyyVMDO8H6LQL6z9gqeFtYWadGT2sfOEegPWjB5Q+ee1Vfd81y9f1+h1w5mip08noz7TPu7J1zEQZnDULs2NfUfYaTqpif57bqOBF7pImAGkdiD+X9cJU3e+/WY0g+u9NB5t6ZedN56t1yEUAtEIv2q6sIPkDP/1loekW/dwY+85sLNJZs75HFUTNRdSbN5VZQnmPrOe23x7bKL/wal04UZO9h4x6xIId+DB8luduJyBdtXPt7hYDkpW+M90Btl7fm6Y4RhwC6mGB9NIGarXGBFKG9cJDC+r8Vj5IjxDCHm3ctREyEaQcihVVcC1RkHPuYF0xhguOq4sFTaFYhre/hjtmuFE5GNzePzgswtsjYgCvA4IfwfLl14+ljDFPUi6TBDOXvVPhsRQxloRhuC8KIWWK2RfBMm+WS10XqPaV3BWkwGhXQGjsyIk0cbgG0FZ2HNBB1aDgJCwum25R1x+Jyh4O94UF//dB2UF7QWO4d7OUp3BHTaQCkD22POaUUcGEpDgB/hKP7QWHI1EykVCJIRjuID06KCwUMAu4oPf+qmOHc8s//FAWhfHlWThGf6nDlD7kb7NpqzIv7WO4/err5zaNJZGKcsUVS4aixTFeppwoxXCqlOBc/QHU/qmDvD5ral2dIfmrQHJ9QvLsESTP/l9IfobNd/dwH2BmJOZpyimUfFRRQhT741l+GJrrqmmPI3IaisXDoahXS9OV+RbthVcICK1GnGKZUJUmBIrmQMJg4nP20368yCfG66Ta/FR4Hwdgdgrgv8kjIYQJRyBeAFmUJLsfnHzFKAI9O5jhUtqwWLjsFXD33UB6W6C/IIcAOi3fjoHys06Rwo90++GluWqTDGv79pdVY//mzK4WFlwLffRX5F5BE/rh+5wDcMneHStB8f8yd/k/D/QA6c3uKg3p/o0vIKPd3w3GtDJM663u7Ft3DCCX91iMEwJ3YSUwVKGUMp/2VKy4u9jCQQ5HDBzl+2fLPuKT/RuCv60P/+fw/D9QSwcIe6IWGKgHAAAjGQAAUEsBAhQAFAAIAAgAeLOSQkXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAB4s5JCe6IWGKgHAAAjGQAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAEAIAAAAAA=="></article>

<p>
</p>
<p><span style="font-size:small">18 April 2013, Skapat med <a href="http://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a></span></p>
Räta linjer finns på <a href="http://www.geogebratube.org/material/show/id/35902"" target="_blank" >GeoGebraTube</a>
</td></tr>
</table><script type="text/javascript">
var ggbApplet = document.ggbApplet;
function ggbOnInit() {}

</script>
</body>
</html>

<br>
<br>
=== Parallella och vinkelräta linjer ===
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]] 

http://www.youtube.com/watch?v=nZuko8vyVs4
<youtube>nZuko8vyVs4</youtube>

http://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner/linjara-funktioner-y-=-kx-plus-m

Ytterligare en sida för dej som fortfarande inte förstår vad det handlar om.

http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php 

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.  c:

== Allmän form (linjens ekvation) ==
{{svwp |injär_ekvation }}

{{lm2c|allmänn form|113- 115}}

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:

: <math> A x +By = C.\,</math>
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>

== Verklighetsbaserad uppgift på linjära samband ==

=== Hyr skidutrustning ===

{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme

'''1.''' Priset för en vuxen at hyra skidutrustning under en dag är 270 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 850 kr. Gör en modell för detta och beräkan priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] här.

[[Fil:Rommepriser.png|right]]
{{clear}}
}}