Visa källa för Deriveringsregler för potensfunktioner

__NOTOC__
= Teori =

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans h-definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans h-definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Lyckligtvis finns det "snabbregler" som kan härledas utifrån derivatans h-definitionen och sedan användas för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

''Källa [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/deriveringsregler Matteboken.se]''

== Derivatan av första ordningens polynom ==

{{harruta|

Låt <math> a</math>  och <math> b</math>  vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av <math> f(x) = a x + b </math> med hjälp av derivatans definition.

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} </math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a x+ a h + b - a x - b}{h} </math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0} \dfrac{a h }{h} </math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}a </math>

: <math>  f'(x) =  a </math>
}}

== Derivatan av andra ordningens polynom ==

{{harruta|

Låt <math> a</math> vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för <math> f(x) = a x^2 </math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{ 2a xh + a h^2 }{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}    2a x + a h </math>

: <math>  f'(x) =   2a x </math>
}}

== Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal ==
{{#ev:youtube| mNbklsmoH4g | 250| right |Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders }}

{{defruta |

Om <math> f(x) = \sqrt{x} </math> så är  <math> f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} </math> 

Om <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så är <math> f'(x) = - \frac{1}{x^2} </math> 
}}

{{clear}}

=== Deriveringsregler för summor av funktioner ===

{{#ev:youtube| xZL-fv8ik10 |250|right|Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.}}

Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.

{{defruta| Deriveringsregler polynom
<br />

: Om <math>f(x) = x^n </math> skrivs <math>f'(x) = n \cdot x^{n-1}</math>''.
: Om  <math>f(x) = k \cdot g(x) </math> så är <math>f'(x) = k \cdot g'(x) </math>
: Om  <math>f(x) = C </math> där C är en konstant så är <math>f'(x) = 0 </math>
: Om  <math>f(x) = g(x) + h(x) </math> så är   <math>f'(x) = g'(x) + h'(x) </math>
}}

= Exempel =

== Derivatan av ett andra ordningens polynom ==

{{exruta|

Vi ska beräkna derivatan för <math> f(x) = 7 x^2 </math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}   \dfrac{ 14 xh + 7 h^2 }{h}</math>

: <math>  f'(x) =   \lim_{h \to 0}    14 x + 7 h </math>

: <math>  f'(x) =   14 x </math>
}}

== Om exponenten inte är ett heltal ==

{{exruta| '''Härled deriveringsreglerna ovan'''

Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera <math> f(x) = \sqrt{x} </math> vilket vi skriver om som <math> f(x) = x^{\frac{1}{2}} </math> Derivatan blir då:

: <math> f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} </math> 

: <math> f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} =  \frac{1}{2 \sqrt{x}} </math> 

Om vi sedan ska derivera <math> f(x) = \frac{1}{x} </math> så skriver vi om det på potensform som:

: <math> f(x) = x^{-1} </math>

: <math> f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} </math>
}}

= Uppgifter =

=== Procedur ===

{{uppgfacit|

Derivera funktionerna:

# <math> f(x) = 3 x^2 </math>
#:<br>
# <math> f(x) = \frac{2}{x} </math>
#:<br>
# <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math>
#:<br>
# <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math>
#:<br>
|
# Om <math> f(x) = 3 x^2 </math> är <math> f'(x) = 6 x </math>
#:<br>
# Ifall <math> f(x) = \frac{2}{x} </math> är <math> f'(x) = - \frac{2}{x^2} </math>
#:<br>
# När <math> f(x) = \frac{6}{x^2} </math> är <math> f'(x) = - \frac{12}{x^3} </math>
#:<br>
# Då <math> f(x) = 4 \sqrt{x} </math> är <math> f'(x) =  \frac{2}{\sqrt{x}} </math> 
#:<br>
}}

=== Resonemang ===

# Använd derivatans definition för att härleda derivatan av <math> f(x) = x^2 </math>

=== Repetera ===

# Papper med repetitionsuppgifter på derivatans definition.

= Lär mer =

{| align="right"
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/deriveringsregler Deriveringsregler] }}<br />
|-
| {{wplink | [https://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element%C3%A4ra_funktionernas_derivator Deriveringsregler]}}<br />
|}

<headertabs />