Visa källa för Deriveringsregler för exponentialfunktioner

= Teori =

== Naturliga logaritmen ==

{{#ev:youtube| _9cv1_hVuoI | 340 | right |Sid 189-192 - Funktionen f(x)=lnx samt begreppet "antifunktion"}}
{{malruta|
Denna lektion kommer du att lära dig om naturliga logaritmer.
: Definitionen av den naturliga logaritmen.
: Logaritmlagarna gäller även för naturliga logaritmer.

Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis <math>y = 2^x</math>.
}}

=== Naturliga logaritmer bygger på basen e ===

Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:

: <math> 3 = 10^{lg3}</math>

På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:

: <math> 3 = e^{ln3} </math>
Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:

: <math> a = e^{lna} </math>

=== Derivatan av f(x) = a<sup>x</sup> === 

{{#ev:youtube| jpNyQSXqOaA | 340 | right |Sid 193-195 - Derivatan av funktionen f(x)=a^x}}

För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för <math> f(x) = e^{kx} </math>.

Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:

: <math> f(x) = a^x = e^{lna^{x}} = e^{x~lna} </math>

Nu ser vi att vår funktion har formen <math>f(x)=e^{kx} </math>, vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för <math>f(x) = e^{kx} </math>:

: <math> f′(x) = lna \cdot e^{x~lna} </math>

På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:

: <math> f′(x) = ln~a \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x </math>

Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:

''Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se''

{{defruta | '''Om derivatan av <math> f(x) = a^x </math> så är <math> f'(x) = ln~a \cdot a^x \qquad a > 0 </math> '''
}}

= Exempel =

== Derivatan av 2<sup>x</sup> ==

Vi skriver om 2 till <math> e^{ln 2} </math> för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.

<math> y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} </math>

Nu är det en funktion på formen <math> e^{k x} </math> och vi kan derivera (med <math>k = ln 2</math>) som vanligt.

<math> y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} =  ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x =  ln 2 \cdot 2^x</math>

{{clear}}

== Exempel 2 ==

Derivera funktionen <math> f(x) = 3 \cdot 4^{3x} </math>

Vi använder oss av regeln vi precis lärde oss och får följande:

<math> f′(x)=3 \cdot 3 \cdot ln(4) \cdot 4^{3x}=9 \cdot ln(4) \cdot 4^{3x} </math> 

== Exempel 3 ==

'''Temperaturen (T) i en ugn ökar enligt funktionen nedan, där x är tiden i minuter. Med hur många grader per minut ökar temperaturen vid tiden 15 minuter?'''

: <math> T(x)=120 \cdot 1,09^x </math>

'''Lösningsförslag:'''

Vi ska beräkna hur många grader per minut temperaturen ökar vid tiden 15 minuter, vilket betyder att vi ska beräkna följande:

: <math> T′(15) </math>

Vad vi vill göra är alltså att beräkna funktionens derivata och sedan undersöka derivatans värde då variabeln x (tiden) har värdet 15.

Derivatan av funktionen beräknas med hjälp av deriveringsregeln för f(x)=ax:

: <math> T′(x)=120 \cdot ln(1,09) \cdot 1,09^x </math>

Vi stoppar in x=15 i derivatan och får:

: <math> T′(15)=120 \cdot ln(1,09) \cdot 1,09^15 ≈ 37,7 </math>

Svar: Antalet grader temperaturen ökar per minut vid 15 minuter är 37,7 grader/minut.

''Exeempel 2 och tre kommer från matteboken.se''

= Härledning med derivatans definition =

Vid derivering av funktionen <math>a^x </math> där <math>a </math> är en konstant:  

<math>a </math> kan skrivas som <math>e^{\ln a}  </math> (se naturliga logaritmen]]'') vilket innebär att <math>a^x</math> även kan substitueras med <math>e^{\ln a x}   </math>.  

<math>f(x)= e^{\ln a x}      </math>  

<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h}      </math>

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h}       </math>

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h}      </math> 

Om <math>\ln a  </math> nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :  

<math>f(x)= e^{6x}      </math>  

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h}      </math> 

<math>f'(x)=6\cdot e^{6x}        </math> 

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen <math>e^{kx}       </math>, där <math>k      </math> är en konstant lyder:  

<math>f(x)=e^{kx}      </math> 

<math>f'(x)=k \cdot e^{kx}      </math> 

Om <math>k       </math> substitueras med <math>\ln a       </math> blir derivatan av exponentialfunktionen <math>a^x      </math> följande, om  <math>a^x=e^{\ln a x}      </math>: 

<math>f(x)=a^x      </math> 

<math>f'(x)=\ln a \cdot a^x       </math>

= Uppgifter =

=== En samling uppgifter ===

En samling uppgifter finns som pdf på Canvas och heter Öva logaritmer och derivering av exponentialfunktioner.

= Lär mer =

{| align="right"
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/exponentialfunktioner Exponentialfunktioner] }}<br />
|-
| {{wplink | [https://sv.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion Exponentialfunktion]}}<br />
|}

Repetera gärna [[Logaritmer]] från Ma2c.

<headertabs />