Funktions graf och dess första- och andraderivata

Mål för undervisningen Idag ska du lära dig:

att bestämma vilken typ av extrempunkt det är med hjälp av andraderivatan.
Skolverket: Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.

Sid 151-155 - Derivatans graf

Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter

Andraderivatan

Vi vet sedan tidigare att derivatan i en punkt ger oss riktningskoefficienten för tangenten. Om derivatans värde är positivt är funktionen alltså växande. Omvänt svarar en negativ derivata mot en avtagande funktion.

Definition
Om derivatans graf ligger över x-axeln så är funktionen växande. Om derivatans graf ligger under x-axeln så är funktionen avtagande.

Att få fram en funktions derivata kan gå till på följande sätt, utifrån de kända deriveringsreglerna, som tillämpas på en exempelfunktion:

[math]\displaystyle{ f(x)=x^3−3x^2 }[/math]

Derivatan för denna tredjegradsfunktion är känd:

[math]\displaystyle{ f′(x)=3x^2−6x }[/math]

Vi identifierar x-värdena för möjliga extrempunkter genom att sätta derivatan lika med noll och sedan lösa ekvationen som uppkommer:

[math]\displaystyle{ 0=3x^2−6x⇒x_1=0,x_2=2 }[/math]

Eftersom vi hittade två x-värden, finns det två möjliga extrempunkter att undersöka.

Har vi funnit två punkter som är maximi-, minimi- eller terrasspunkter? Vi kan även i fortsättningen använda oss av teckenstudium, men den här gången ska vi testa en bättre metod:

Om vi deriverar uttrycket för funktionens derivata ytterligare en gång, då kommer vi fram till ett nytt uttryck som vi kallas funktionens andraderivata (därför att vi deriverat funktionen två gånger - funktionens derivata, alltså när man bara har deriverat en gång, kallas även funktionens förstaderivata). Att derivera uttrycket för funktionens derivata följer samma deriveringsregler som vi tidigare använt:

[math]\displaystyle{ f′(x)=3x^2−6x }[/math]

[math]\displaystyle{ f′′(x)=6x−6 }[/math]

Uttrycket för funktionens andraderivata

[math]\displaystyle{ f′′(x) }[/math]

uttalas "f bis x".

När vi nu har ett uttryck för denna funktions andraderivata kan vi sätta in våra tidigare funna x-värden i andraderivatan. Beroende på vilket värde vi får ut av andraderivatan för var och ett av dessa x-värden, kan vi dra olika slutsatser om huruvida punkterna är maximi-, minimi- eller terrasspunkter:

Är förstaderivatan lika med noll i en punkt, då är punkten en maximi-, minimi- eller terrasspunkt - vilken av dessa beror på värdet på andraderivatan enligt följande:

Definition

Om förstaderivatan är noll i en punkt och andraderivatan

är negativ är det ett lokalt maximum

är positiv är det ett lokalt minimum

Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium.

Texten ovan kommer från Matteboken.se

Så, för vår funktion ovan har vi att:

[math]\displaystyle{ f′′(x)=6x−6 }[/math]

[math]\displaystyle{ f′′(0)=6 \cdot 0 −6 = -6 }[/math] är negativt ==> maximum

[math]\displaystyle{ f′′(2)=6 \cdot 2 − 6 = 6 }[/math] är positivt ==> minimum

Att detta stämmer ser vi i grafen till höger.

Inflexionspunkt och derivata

Även derivator kan ha extemvärden. Derivatan är ju en funktion som kan deriveras och den nya derivatan, andraderivatan kan sättas lika med noll. Här hittar vi en ny typ av punkt, inflexionspunkten.

Definition

Inflexionspunkt

När andraderivatan är noll och byter tecken har vi en inflexionspunkt.

Funktionen [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] har en inflexionspunkt om [math]\displaystyle{ f''(x) = 0 }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] byter tecken.

[redigera]

Algebraiskt genom att bestämma derivatornas värden

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.

[math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math]

Eftersom andraderivatan är

[math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math]

så är

[math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math].

Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math].

Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).