Index, lån, amortering

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
[redigera]
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Index, lån och amortering

Du lär dig hur man skapar och läser av en indextabell.

Du lär dig hur man beräknar kostnaden för lån över flera år eller vad ett ackumulerat sparande kan ge.

Du ska lära dig att skriva in funktioner i GeoGebra samt att utföra beräkningar med formler i Excel.


Index

När vi vill jämföra hur värden har förändrats över tid används ofta något som kallas för index. När man räknar med index beskriver man en värdeutveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår.

Om vi exempelvis vet att en godispåse kostade 4 kronor år 1990, 5 kronor år 1991, och 6 kronor år 1992, då kan vi beskriva prisförändringen med hjälp av index. Om vi sätter år 1990 till vårt basår, kan vi sedan jämföra de senare årens värden med värdet som gällde år 1990. Vi får då en förändringsfaktor där basårsvärdet alltid är vårt gamla värde.

Vi kan ställa upp värdena i en tabell:

År Pris (kr) Förändringsfaktor Index
1990 4 4/4 = 1 100
1991 5 5/4 = 1,25 125
1992 6 6/4 = 1,50 150

Man kan, när man har gjort alla beräkningarna, göra om tabellen, så att den enbart innehåller år och index, eftersom det är just den information vi är intresserad av i det här sammanhanget.

År Index
1990 100
1991 125
1992 150

I tabellen kan vi se att priset på godispåsen har ökat med 50 % från år 1990 till 1992, eftersom index för år 1992 ligger på 150 jämfört med basåret 1990:s index på 100.

Om vi vill få reda på förändringen mellan åren 1991 och 1992, då delar vi indexvärdena för dessa år och får förändringsfaktorn:

150 / 125 = 1,20

vilket innebär en ökning på 20 % vad gäller priset från år 1991 till år 1992.

Texten ovan kommer från mattteboken.se

Konsumentprisindex

Definition
Index

Ett index är förändringsfaktorn multiplicerat med 100 %. Vid indexuppräkning behöver man en starttidpunkt, basåret, det år då index börjar vid 100 %.


Konsumentprisindex

Mikael Bondestam om lån, ränta och amortering.

Ränteberäkning med förändringsfaktor

Vad händer om ränta läggs på ränta? Det kan vara dina pengar på ett sparkonto eller i ett värre fall någon som lånat pengar utan kunna betala tillbaka. Det händer till exempel när människor tar så kallade SMS-lån. I båda fallen kommer det utlånade beloppet att öka exponentiellt.

Om lånebeloppet till exempel är [math]15 000 \: kr[/math] och räntan är [math]12 [/math]% per år kan vi skriva hur lånet ökar med hjälp av förändringsfaktorn:

Efter ett år är det nya beloppet [math]15 000 \cdot 1.12 = 16 800.[/math]
Beloppet har alltså ökat (om man inte betalat räntan) så efter två år är det nya beloppet [math]16 800 \cdot 1.12 = 18 816.[/math]
Men detta kan ju skrivas som [math]15 000 \cdot 1.12 \cdot 1.12 = 18 816[/math]
eller [math] 15000 \cdot 1.12^2 = 18 816 [/math]
Beloppet ökar alltså mer och mer och efter [math]x[/math] år är beloppet uppe i [math]15 000 \cdot 1.12^x[/math]
Definition
Exponentialfunktioner

Exponentialfunktionerär en klass av funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math] slutbeloppet = r^x \cdot startbeloppet[/math]

där [math]r^x[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,12 för 12 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på formen:

[math]f(x) = C \cdot a^x[/math]


Amortering

När man lånar pengar behöver man betala tillbaks lånet. Återbetalningen delas ofta upp i mindre delar. Man kan till exempel betala en del varje månad. Om lånet löper på fem år betalar man en sextiondel varje månad i fem år (60 månader).

Index

Exempel

År 1992 kostade en viss vara 199 kronor i Sverige. Vad borde den ha kostat 2005 om priset följt index?

KPI i Sverige för 1992 var 232,4 och för 2005 var det 280,4 enligt SCB.

Resonemang: Multiplicera då varans ursprungliga pris med kvoten av det nyare och äldre indextalet:

[math]199 \cdot \frac {280,\!4} {232,\!4} = 240,\!10 [/math]

Svar: Varan borde ha kostat 240,10 kronor.


Ränteberäkning med förändringsfaktor

Exempel
Vad kostar lånet?

Pelle ska låna 40 000 kr för att köpa en bil. Han får låna pengarna mot att han betalar en ränta på 4 % i tio år. Hur mycket ska han betala tillbaks?

Han ska betala:

[math] 40 000 \cdot 1.04^{10} = 59 200 [/math]


Beräkning av lånekostnad

Exempel

I detta exempel har amortering och ränta summerats år för år där återbetalningstiden är 40 år. Formler och data har kopierats rad för rad vilket gör det synnerligen enkelt och snabbt.

Exempel med amortering och räntekostnad i Excel


Begrepp kring lån ränta och amortering

Definition
Begrepp:
  • amortering = avbetalning
  • annuitestlån = ett lån där ränta och amortering kombinerats så att lånekostnaden är samma varje månad
  • betalningsanmärkning = hinder för kreditvärdighet som beror på obetalda räkningar etc
  • budgivning = flera intresserade köpare lägger högre bud om hur mycket de är villiga att betala tills en finns kvar med det högsta budet
  • Kontantinssats = man får inte låna till hela bostaden. En viss del av köpesumman måste man ha själv.
  • kredit = lån
  • kreditvärdig = om man får låna pengar
  • kvartal = ett fjärdedels år
  • köpesumma = priset på bostaden
  • lånebelopp = de pengar som lånats
  • lånelöfte = innan köparen börjar titta på hus eller lägenheter kan hen få ett besked från banken om hur mycket hen kan få låna och till vilka villkor
  • löptid = hur länge pengarna lånats ut
  • återbetalningstid = hur länge pengarna lånats ut


Undersök exponentialfunktionen genom att titta på grafen

Skriv in [math]y = 15 000 \cdot 1.12^x[/math] i GeoGebra. Vad kan du säga om grafen?

Genom att trycka in Shift och klicka och dra på axlarna kan du skala dem så du får tusental på y-axeln och ental på x-axeln.

Använd Excel

Nu ska vi backa tillbaka och undersöka år för år vad som händer när exempelvis ett lån ökar år för år genom att räntan läggs på lånet.

Det går bra med vilket kalkylprogram som helst.

Uppgift
Undersök ränta på ränta med Excel

Välj ett belopp (ex 8000 kr) som du ska sätta in på ett sparkonto och tänk dig att du får 7 % i ränta. Det är kanske inte rimligt i dagsläget men det kunde ju lika gärna vara en årlig prognos för avkastningen på en aktiefond.

  1. I cell B1 skriver du 8000, i B2 7 och i B3 beräknar du förändringsfaktorn genom att skriva = (klicka på B2) /100 + 1.
  2. I cell B4 multiplicerar du sparbeloppet med förändringsfaktorn
  3. I kolumn A skriver du rubriker till dina rader
  4. I C-kolumnen ska du klura ut hur mycket sparbeloppet ökat efter år två
  5. Upprepa för år tre och fyra.
  6. Högerklicka på ettan i rad ett och lägg till en rad där du kan skriva rubriker på kolumnerna.
  7. Markera kolumn C och kopiera ut på fler kolumner. Hur mycket pengar har du efter 30 år?
  8. Ändra belopp och ränta i kolumn B och se hur det påverkar resultatet.


Två helt olika elevlösning som ger poäng men har olika kvaliteter

Uppgift
Vilken lösning är bäst?

I nedanstående två lösningar finns det en som spar tid både för lärare och elev.

Diskutera: Vilken är bäst och varför?

Två elevlösningar på uppgift där priset först höjs och sedan sänks.


Ett Pythonproggram för ränta

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Python-hjälp och Fler uppgifter

Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.


Beräkna värdet efter ett antal år

Uppgift
Ränta
  1. Vilka variabler innehåller programmet och vad står de för?
  2. Vad står ** för i formeln?
  3. Förstår du hur programmet räknar?
  4. Jämför med miniräknar och se om det stämmer för några olika räntor och antal år.

Python-koden

amt = 10000
int = 3.5
years = 7

future_value  = amt*((1+(0.01*int)) ** years)
print(round(future_value,2))

Uppgiften är inspirerad av w3resource

Index

Statistiska Centralbyrån, SCB, publicerar en tabell som kallas konsumentprisindex.

  1. Vad betyder KPI?
  2. Vilket år är basår?
  3. Hur mycket var index i medeltal år 2000?
  4. Hur stor är ökningen?
  5. Hur högt ligger index i den senast publicerade siffran?
  6. Har KPI sjunkit något år? Vilka?
  7. Vad är det som gör att KPI ökar så gott som hela tiden?

Ränta på ränta

  1. Ett lån på 17 000 € kostar 12 % i ränta i fem år. Hur mycket behöver man betala tillbaka på ovanstående lån när de fem åren gått?
  2. Vad är totala räntekostnaden för lånet?
  3. Hur mycket ökar ett belopp på tio år med 10 % årsränta?
  4. Hur många år tar det innan ett kapital fördubblats med en årsränta på 4 %?
  5. Ett kapital ökar med 3 % ränta i fyra år men därefter är räntan 5 % i tre. Hur mycket har det då ökat?
  6. Ulrik har en fond i tio år och på den tiden har den först ökat från 12 600 kr till 23 300 kr men sista två åren sjönk den till 19 567 kr. Vilken var den genomsnittliga räntan?

Amortering

  1. Homeira tar ett lån på 80 000 till räntesatsen 7.4 %. Hon amorterar 6 000 kr per år. När har hon betalt av hela lånet?
Tips: testa vad som händer år efter år och använd Excel.

En större uppgift om lån, räntor och amorteringar

Resten av provtiden får du ägna åt en omfattande och djup uppgift. Frågorna blir svårare ju längre du kommer men du kommer samtidigt att lära dig mer och mer ju längre du arbetar med uppgiften.

Det kanske känns avlägset nu men m en fem tio år kanske du kommer att låna pengar till din första bostad så det här är matematik du kommer att ha nytta av i framtiden.

Hjälpmedel: Du får surfa så mycket du vill för att leta information och ta reda på det du vill veta. Det finns begrepp och exempel här på Wikiskola men Wikipedia, Gleerups, matteboken.se kan också vara till hjälp. GeoGebra, WolframAlpha är tillåtna men du har säkert större nytta av Excel. Använd vilka resurser du vill utom att be någon annan göra uppgiften åt dig.

Bedömning av förmågorna för relevans, begrepp, procedur, modell, problemlösning, resonemang och kommunikation.

Uppgift
Räkna på bostadslån
  1. Berätta vilket datum du är född.
  2. Titta i listan över Stadsdelar i Stockholm och välj den med samma nummer som ditt födelsedatum.
  3. Gå in på Hemnet och sök i din stadsdel efter en bostadsrätt. Klipp in adressen till annonsen som svar.
  4. Vad kostar den?
  5. Hur mycket måste du betala i ränta per månad om årsräntan är 1 %, 3% och 8 %. Antag att du belånar hela bostaden.
  6. Välj en bank och undersök vilka villkor du skulle få på ett lån. Anteckna hur många år lånet löper på och hur mycket man ska amortera varje månad.
  7. Gör en kalkyl i lämpligt program med ränta och amorteringar enligt bankens förslag ovan.
  8. Jämför din kalkyl med bankens siffror. Hur stämmer det? Resonera om skillnader och likheter.
  9. Gör ett algebraiskt uttryck för månadskostnaden för ett lån där variabler som belopp, ränta, återbetalningstid och amortering ingår. Behövs alla variabler?
  10. De flesta som lånar till en bostad lägger upp lånet så att det belopp som betalas varje månad blir lika högt (annuitetslån) men en annan modell är att amortera ett lika stort belopp varje månad samt betala ränta på lånets aktuella storlek. Vad är det för skillnad mellan de två modellerna? Resonera om för- och nackdelar med de två modellerna.

Lämna in en eller flera filer med alla dina svar i Canvas.


Exempellösning - Räkna på bostadslån

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Index, lån och amortering


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Konsumentprisindex


Matteboken.png
Läs om Index


Läs mer

Wikipedia skriver om Sammansatt_ränta

Utforska en modell

Det här är en omfattande GeoGebra med en modell av lån med amortering. Undersök hur den fungerar. Vilken formel ligger i grunden av konstruktionen?

Fler beräkningsverktyg

Testa även GeoGebras kalkylark och kombinationen med grafer.

Testa vad Wolfram kan göra.

Exit ticket

Exit ticket: Index och ränta