Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(48 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{{lm3c| Integraler | ss }}
__NOTOC__
=Teori=
{{#ev:youtube| 2Eo3WbhHS3M | 340 | right |Sid 207-213 - Beräkna integraler}}
{{#ev:youtube| 2Eo3WbhHS3M | 340 | right |Sid 207-213 - Beräkna integraler}}
{{malruta|
{{malruta|
Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar integraler.
Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar areor med hjälp av integraler. Dessutom kommer vi att visa et antal räkneregler för integraler.
}}
}}
==Arean under en kurva==
{{#ev:youtube| 91sZkwBK7ps | 340 | right |Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler}}
Nu ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner. Vi möter begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.
När man beräknar '''integralen av en funktion''' så motsvarar det att man beräknar '''arean mellan grafen och x-axeln'''.
GeoGebran visar hur arean under kurvan mellan x = 0 och x = 2 beräknats med hjälp av en integral.
<html>
<iframe scrolling="no" title="Enkel integral" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hnzdhzrp/width/560/height/427/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="560px" height="427px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
==Integralberäkningar==
{{#ev:youtube|OAN8qa-pnIo|340|right}}


{{defruta |  
{{defruta |  
Rad 14: Rad 32:
}}
}}


== Exempel från fysiken ==
I det vänstra ledet har vi först integraltecknet
 
 
Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.
 
I det högra ledet anges differensen F(b)−F(a)
 
Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).
 
=Exempel=
 
== Lösta exempel ==
 
<pdf>File:Anteckningar_intergral_CB.pdf</pdf>
 
=Uppgifter=
 
==Uppgift från NP ht 2012 - A-nivå==
 
En kunskapskontroll lämplig för diskussion innan lektionens avslutning.
 
{{uppgfacit |
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_uppgift_15.png | 600px |vänster]]
|
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_Uppgift_15_-_facit.png | 600px |vänster]]
}}
 
=Räkneregler=
 
{{defruta |
:  <math>\int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx</math>
<br />
 
:  <math> \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx  =  \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx </math>
<br />
 
:  <math> \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx  =  \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx </math>
}}
 
==Fler användbara räknelagar==
 
Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:
 
:<math>\int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx</math>
::förutsatt att konstanten ''a'' inte är lika med noll;
:<math>\int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx</math>
::där ''f(x)'' och ''g(x)'' är oberoende funktioner.
 
Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:
 
:<math>\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx</math>
:<math>\int_a^a f(x)dx = 0</math>
:<math>\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx</math>
 
Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:
 
:<math>\int f(x)dx = \int f(t)dt</math>
 
Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:
 
:<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C</math>;
:<math>\int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C</math>.
 
Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.
 
Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.
 
=Exempel från fysiken=
[[Fil:Trapez_vt.png|thumb|Sträckan = arean under en vt-graf. CC By Tharbad]]
[[Fil:Trapez_vt.png|thumb|Sträckan = arean under en vt-graf. CC By Tharbad]]


Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.
Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.


=== Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten ===
===Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten===


Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration ''a'', gäller då att:
Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration ''a'', gäller då att:


: v = v<sub>0</sub> + at
:v = v<sub>0</sub> + at


''v<sub>0</sub>'' är hastigheten vid start och ''t'' är så klart tiden från start.
''v<sub>0</sub>'' är hastigheten vid start och ''t'' är så klart tiden från start.
Rad 29: Rad 115:
Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?
Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?


: t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s<sup>2</sup>.  
:t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s<sup>2</sup>.
: v = at = 9,82 m/s<sup>2</sup> * 1,5 s = 14,7 m/s
:v = at = 9,82 m/s<sup>2</sup> * 1,5 s = 14,7 m/s


=== Arean ===
===Arean===


Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.
Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.


: v<sub>m</sub> = (v<sub>efter</sub> - v<sub>före</sub>) / 2  
:v<sub>m</sub> = (v<sub>efter</sub> - v<sub>före</sub>) / 2


Men sträckan är ju v<sub>m</sub> * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.
Men sträckan är ju v<sub>m</sub> * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.
Rad 42: Rad 128:
[http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=87&Itemid=94 naturvetenskap.org ger en beskrivning.]
[http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=87&Itemid=94 naturvetenskap.org ger en beskrivning.]


=== Animering av sträcka under vt-kurva ===
===Animering av sträcka under vt-kurva===
 
<swf width="600" height="400">/images/FysikA_s_e_area_u_vt_kurva_2.swf</swf>


[[Fil:S_area-vt-graf.jpg|thumb]]
[[Fil:S_area-vt-graf.jpg|thumb]]
Rad 50: Rad 134:
[http://www.khanacademy.org/video/why-distance-is-area-under-velocity-time-line?playlist=Physics Khan om sträcka = area under  vt-kurva]
[http://www.khanacademy.org/video/why-distance-is-area-under-velocity-time-line?playlist=Physics Khan om sträcka = area under  vt-kurva]


=== Sträckan ===
===Sträckan===


: s = v<sub>0</sub>t + at<sup>2</sup>/2
:s = v<sub>0</sub>t + at<sup>2</sup>/2


{{clear}}
{{clear}}


== Geometriskt bevis ==
= GGB: Riemannsummor =
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="Integraler trapets och rektangelsumma" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/MQdHJz9F/width/1504/height/834/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1504px" height="834px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
= Geometriskt bevis =


{{enwp | Fundamental_theorem_of_calculus}}
==Geometriskt bevis==


[[File:FTC_geometric.svg|500px|thumb|right|The area shaded in red stripes can be estimated as ''h'' times ''f''(''x''). Alternatively, if the function ''A''(''x'') were known, it could be computed exactly as {{nowrap|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'').}} These two values are approximately equal, particularly for small ''h''.]]
[[File:FTC_geometric.svg|500px|thumb|right|The area shaded in red stripes can be estimated as ''h'' times ''f''(''x''). Alternatively, if the function ''A''(''x'') were known, it could be computed exactly as {{nowrap|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'').}} These two values are approximately equal, particularly for small ''h''.]]
Rad 83: Rad 173:


This implies {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''A''′(''x'')}}. That is, the derivative of the area function ''A''(''x'') exists and is the original function ''f''(''x''); so, the area function is simply an antiderivative of the original function.  Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.
This implies {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''A''′(''x'')}}. That is, the derivative of the area function ''A''(''x'') exists and is the original function ''f''(''x''); so, the area function is simply an antiderivative of the original function.  Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.
''{{enwp | Fundamental_theorem_of_calculus}}''


Läs gärna vad {{svwp | Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.
Läs gärna vad {{svwp | Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.


== Förklaring med hjälp av Riemannsumman ==
=== Det röda överskottet ===
 
För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?
 
As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle.  More precisely,
:<math>\left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Red Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in  the interval <math>[x, x + h]</math>.
By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does.  Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies
:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>
 
=== Anteckningar från lektionen ===
 
<pdf>Fil:Bevis_integralerPP.pdf</pdf>
 
= Öva bevis =
 
==Förklaring med hjälp av Riemannsumman==


{{#ev:youtube|lPOUB0fLuUk|340|right|Integral - Riemannsumma}}
{{#ev:youtube|lPOUB0fLuUk|340|right|Integral - Riemannsumma}}
Rad 95: Rad 202:
{{clear}}
{{clear}}


GeoGebra om Riemannsumma in här
''GeoGebra om Riemannsumma in här''


=== Övning Riemannsumma i GGb===
===Övning Riemannsumma i GGb===


{{uppgruta|laborera själv i Geogebra
{{uppgruta|laborera själv i Geogebra
Rad 105: Rad 212:
Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.
Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.


[http://www.geogebratube.org/student/m14091 Här är GGB:n:]
[https://www.geogebra.org/m/RCVce5W4 Här är GGB:n:]


Vad lärde du dig av denna övning?}}
Vad lärde du dig av denna övning?}}


=== uppg 2 ===
===Uppg 2===


Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330
Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330
Rad 115: Rad 222:
Hur hanteras negativa areor?
Hur hanteras negativa areor?


=== Uppg 3 ===
===Uppg 3===


Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:
Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:


* http://www.geogebratube.org/student/m26214
*http://www.geogebratube.org/student/m26214
* http://www.geogebratube.org/student/m26213
*http://www.geogebratube.org/student/m26213


{{clear}}<br />


{{clear}}
=GeoGebra för facit=


== Newtons Integralbevis ==
[https://www.geogebra.org/m/rskGXUhH Primitiv funktion - integral - areafunktion], Åke Eriksson har gjort en omfattande applikation som ger dig ökad förståelse. Dessutom kan den användas som ett slags facit.


<html>
= Anteckningar =
<script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('NewtonsIntegrabilityProof', '', '549', '620');</script><div id='DEMO_NewtonsIntegrabilityProof'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/NewtonsIntegrabilityProof/' target='_blank'>Newton's Integrability Proof</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Michael Rogers</div>
</html>


== Exit card ==
<pdf>Fil:KonstigaIntegralerBeräkningar4.pdf</pdf>


En kunskapskontroll lämplig för lektionesns avslutning.
=Lär mer=


{{uppgfacit |
{| align="right" wikitable
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_uppgift_15.png | 600px |vänster]]
|-
|
|
[[Fil:NpMa3c_ht_2012_Uppgift_15_-_facit.png | 600px |vänster]]
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Integral Integral] }}<br />
}}
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/integraler/berakning-av-integraler Beräkning av integraler] }}<br />
|}
 
==Helhet och teori==
 
[http://matmin.kevius.com/integral.php#prim Bruno Kevius sida om Integraler]
 
==Mer om integraler==
 
:[http://www.proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus ProofWiki]
:[http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/lma515b/1011/integral.pdf Bok om Integraler, Chalmers]
 
==Exit card==
 
<headertabs />

Nuvarande version från 18 februari 2021 kl. 07.01

[redigera]
Sid 207-213 - Beräkna integraler
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar areor med hjälp av integraler. Dessutom kommer vi att visa et antal räkneregler för integraler.


Arean under en kurva

Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler

Nu ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner. Vi möter begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.

När man beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att man beräknar arean mellan grafen och x-axeln.

GeoGebran visar hur arean under kurvan mellan x = 0 och x = 2 beräknats med hjälp av en integral.

Integralberäkningar

Definition

För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) }[/math]

där F är en primitiv funktion till f.


I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen F(b)−F(a)

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

[redigera]

Lösta exempel

[redigera]

Uppgift från NP ht 2012 - A-nivå

En kunskapskontroll lämplig för diskussion innan lektionens avslutning.

Uppgift:

Facit: (klicka expandera till höger)



[redigera]
Definition
[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]


[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]


[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]


Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]
förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;
[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]
där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];
[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.

[redigera]
Sträckan = arean under en vt-graf. CC By Tharbad

Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.

Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten

Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration a, gäller då att:

v = v0 + at

v0 är hastigheten vid start och t är så klart tiden från start.

Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?

t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s2.
v = at = 9,82 m/s2 * 1,5 s = 14,7 m/s

Arean

Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.

vm = (vefter - vföre) / 2

Men sträckan är ju vm * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.

naturvetenskap.org ger en beskrivning.

Animering av sträcka under vt-kurva

Khan om sträcka = area under vt-kurva

Sträckan

s = v0t + at2/2
[redigera]

Geometriskt bevis

The area shaded in red stripes can be estimated as h times f(x). Alternatively, if the function A(x) were known, it could be computed exactly as A(x + h) − A(x). These two values are approximately equal, particularly for small h.

For a continuous function y = f(x) whose graph is plotted as a curve, each value of x has a corresponding area function A(x), representing the area beneath the curve between 0 and x. The function A(x) may not be known, but it is given that it represents the area under the curve.

The area under the curve between x and x + h could be computed by finding the area between 0 and x + h, then subtracting the area between 0 and x. In other words, the area of this “sliver” would be A(x + h) − A(x).

There is another way to estimate the area of this same sliver. As shown in the accompanying figure, h is multiplied by f(x) to find the area of a rectangle that is approximately the same size as this sliver. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x) \approx f(x)h }[/math]

In fact, this estimate becomes a perfect equality if we add the red portion of the "excess" area shown in the diagram. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x)=f(x)h+(\text{Red Excess}) }[/math]

Rearranging terms:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Red Excess}}{h} }[/math].

As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero, which implies

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]

This implies f(x) = A′(x). That is, the derivative of the area function A(x) exists and is the original function f(x); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus. Wikipedia: Fundamental_theorem_of_calculus

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Analysens_fundamentalsats även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.

Det röda överskottet

För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?

As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,

[math]\displaystyle{ \left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Red Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2), }[/math]

where [math]\displaystyle{ x+h_1 }[/math] and [math]\displaystyle{ x+h_2 }[/math] are points where [math]\displaystyle{ f }[/math] reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval [math]\displaystyle{ [x, x + h] }[/math]. By the continuity of [math]\displaystyle{ f }[/math], the latter expression tends to zero as [math]\displaystyle{ h }[/math] does. Therefore, the left-hand side tends to zero as [math]\displaystyle{ h }[/math] does, which implies

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]

Anteckningar från lektionen

[redigera]

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Integral - Riemannsumma

Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?

Börja med att visa Riemannsumman för att ta reda på arean under en graf.

GeoGebra om Riemannsumma in här

Övning Riemannsumma i GGb

Uppgift
laborera själv i Geogebra

Denna GGB ger dig möjlighet att flytta stapeln och att testa olika funktioner.

Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.

Här är GGB:n:

Vad lärde du dig av denna övning?


Uppg 2

Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330

Hur hanteras negativa areor?

Uppg 3

Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:


[redigera]

Primitiv funktion - integral - areafunktion, Åke Eriksson har gjort en omfattande applikation som ger dig ökad förståelse. Dessutom kan den användas som ett slags facit.