Räkna med komplexa tal

Potenser av i

potens av [math]\displaystyle{ i }[/math]	resultat
[math]\displaystyle{ i }[/math]	[math]\displaystyle{ i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 \cdot i = - \: i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^4 = i^2 \cdot i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 \cdot -1 = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^5 = i \cdot i^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ i \cdot 1 = i }[/math]

Multiplikation med konjugatet

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Magnus Rönnholm, Creative Commons

Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.

[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]

Exempel

Skriv om detta på forman a + b i

[math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]

då förlänger vi med konjugatet

[math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i }[/math]

Fundera

Fundera på denna uppgift:

z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2