Oberoende händelse

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Mål för undervisningen Oberoende händelser

Denna lektion lär du dig om sannolikhetslärans grunder och oberoende händelser.


Swayen till detta avsnitt: Oberoende händelse



Läs om Avsnittet om sannolikhet


Teori

Sannolikhet

Sannolikhetslära, av Magnus Bergwall

Sannolikheten brukar betecknas med P, från engelskans probability (som betyder just sannolikhet).

Sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa är alltid mellan 0 (kommer aldrig att ske) och 1 (kommer alltid att ske).

En sannolikhet på 0 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 0 % av fallen, medan en sannolikhet på 1 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 100 % av fallen - på motsvarande sätt innebär en sannolikhet på 0,5 att händelsen kan förväntas inträffa i 50 % av fallen.

Texten från matteboken.se

Definition
Sannolikhet:
[math]\displaystyle{ Sannolikheten\, för\, en\, händelse\, {{=}}\, \frac{antalet\, gynnsamma\, utfall}{ antal\, möjliga\, utfall} }[/math]


Med P(A) menas sannolikheten för att händelse A ska inträffa.
Exempel
Åttasidig tärning

vad är sannolikheten att få sju eller åtta vid ett kast med en åttasidig tärning?

Om [math]\displaystyle{ A = \{7,8\} \, }[/math]så är [math]\displaystyle{ P(A) = P(sjua\, eller\, åtta) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \, }[/math]


Oberoende händelse

Om händelsen A är "kast med två tärningar där summan av antalet prickar är mindre än 4" är A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)},
Definition
Oberoende händelser

Inom sannolikhetsläran sägs två händelser vara oberoende om utfallet av den ena händelsen inte påverkar utfallet av den andra händelsen. Ett exempel på två oberoende händelser, är att kasta en sexsidig tärning två gånger.

Vad är sannolikheten att få två sexor?

[math]\displaystyle{ P(sexa,\,sexa) = P(sexa) \cdot P(sexa) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} }[/math]

Utfallsdiagram är används för att visa alla möjliga utfall och beräkna sannolikheten för en händelse. Se exempel till höger.


Komplementhändelse

Definition
Komplementhändelse:

Sannolikheten för att något inte ska inträffa är ett minus sannolikheten att det ska inträffa.

[math]\displaystyle{ P( inte \: A) = 1 - P(A) }[/math]


Exempel
Komplementhändelse

Ett lotteri ger vinst på i snitt var tredje lott.

Ulrik tar två lotter. Vad är sannolikheten att han vinner på minst en lott?

Svar: Ett minus sannolikheten att han inte vinner på någon.

[math]\displaystyle{ P(en\, eller\, två\, vinster) = 1- P(ingen\, vinst) =1 - P(förlöst,\, förlust) = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} }[/math]

Istället för att beräkna sannolikheten för att Ulrik drar lotter med (vinst, vinst) eller (vinst, förlust) eller (förlust, vinst) beräknar man P(förlust, förlust) och tar komplementet till det.

Första lotten Andra lotten
Vinst Vinst
Förlust Förlust

Aktivitet

Kast med tärningar

Vilken summa förekommer oftast vid kast med två tärningar?

Ställ upp en hypotes och testa den sedan genom att göra 50 kast där du antecknar utfallet i en tabell.

Rulla tärning från http://www.geogebratube.org/student/m712:

Simulera täningskast med ett program

Programmeringsuppgift

Kast med tärningar Python

Om du gör många tärningskast och räknar varje gång en viss händelse kommer du att få ett experimentellt värde som ligger i närheten av det teoretiska. Du kan låta datorn göra jobbet åt dig. Programmet kommer att använda en slumpfunktion. På det viset kan du simulera tusentals tärningskast på någon sekund. Testa med Pythonprogrammet till höger.

Lär mer

Wikipedia skriver om Sannolikhet

Exit ticket

Exit ticket : Oberoende händelse.