Formler för dubbla vinkeln: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Rad 35: Rad 35:


== Var kommer alla formler ifrån? ==
== Var kommer alla formler ifrån? ==
Det finns väldigt många formeler (trigonometriska identiteter och annat) liknande den i uppgiften ovan.


Ett utdrag från Wikipediasidan [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities List of trigonometric identities]
Ett utdrag från Wikipediasidan [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities List of trigonometric identities]
<math>
:<math>\begin{align}
  \sin \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]
  \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \cos \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]
  \cos^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt]
                        &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[3pt]
  \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
\end{align}</math>
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><ref name="mathworld_half_angle">{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>
</math>


= Quiz =
= Quiz =

Versionen från 3 september 2021 kl. 08.02

[redigera]
Definition
Dubbla vinkeln


[math]\displaystyle{ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) }[/math]


[math]\displaystyle{ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) }[/math]


Exempel på hur man använder formeln för dubbla vinkeln

Uppgift
Härled själv

Fundera över om du kan använda det du lärt dig under föregående avsnitt till att härleda formlerna för dubbla vinkeln.



[redigera]

NoK uppgift 1256

Visa att

GeoGebra-lösning

länk till sidan

Var kommer alla formler ifrån?

Det finns väldigt många formeler (trigonometriska identiteter och annat) liknande den i uppgiften ovan.

Ett utdrag från Wikipediasidan List of trigonometric identities

[math]\displaystyle{ :\lt math\gt \begin{align} \sin \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt] \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[3pt] \cos \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt] \cos^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \\[3pt] \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt] &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[3pt] \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align} }[/math] <ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22</ref><ref name="mathworld_half_angle">Mall:MathWorld</ref>

</math>

[redigera]

Lista: (klicka expandera till höger)