Skillnad mellan versioner av "Faktorisering"

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
(Teori)
Rad 5: Rad 5:
 
Inom matematiken innebär en '''faktorisering''' (faktoruppdelning) att man uttrycker ett objekt som en produkt av flera objekt, eller '''faktorer'''. Till exempel kan talet 15 faktoriseras i primtal som 3 ⋅ 5. Syftet med faktoriseringar är ofta att reducera något till "grundläggande byggstenar".  
 
Inom matematiken innebär en '''faktorisering''' (faktoruppdelning) att man uttrycker ett objekt som en produkt av flera objekt, eller '''faktorer'''. Till exempel kan talet 15 faktoriseras i primtal som 3 ⋅ 5. Syftet med faktoriseringar är ofta att reducera något till "grundläggande byggstenar".  
  
'''Genomgång: faktorisering'''
+
=== Primatalsfaktorisering ===
 +
 
 +
[[Fil:Primtalsfaktorisering.png|400px|höger|Så går det till!]]
 +
 
 +
Vi vill nu primtalsfaktorisera talet 1092. Vi vill alltså skriva om talet i faktorer, tills dess att vi endast har primtal kvar.
 +
Stega genom våra primtal och kontrollera om det ingår i vårt tal, 1092. För att ta reda på det, måste vi kontrollera om 1092 är delbart med primtalet.
 +
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
 +
Delbart med 2? Ja, talet är jämnt.
 +
1092 / 2 = 546
 +
Vi kan alltså utföra faktoriseringen 1092 = 2 ⋅ 542
 +
 
 +
Kan vi faktorisera 546?
 +
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
 +
Delbart med 2? Ja, talet är jämnt.
 +
546 / 2 = 273
 +
546 = 2 ⋅ 273
 +
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 273
 +
 
 +
Kan vi faktorisera 273?
 +
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
 +
Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt.
 +
Går vidare till nästa primtal, 3.
 +
Delbart med 3? Ja, siffersumman är delbar med 3 (siffersumman för 273 är 2+7+3 = 12, och 12 är delbart med 3)
 +
273 / 3 = 91
 +
273 = 3 ⋅ 91
 +
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 91
 +
 
 +
Kan vi faktorisera 91?
 +
Börjar med vårt minsta primtal, 2.
 +
Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt.
 +
Går vidare till nästa primtal, 3.
 +
Delbart med 3? Nej, siffersumman måste vara delbar med 3 (9+1 = 10,  10 / 3 = 3,3333...). 
 +
Går vidare till nästa primtal, 5.
 +
Delbart med 5? Nej, talet måste sluta med en 0:a eller 5:a.
 +
Går vidare till nästa primtal, 7.
 +
Delbart med 7? Här har vi ingen snabb regel, utan får testa med kortdivision eller liggande stolen (eller miniräknare).
 +
91 / 7 = 13 
 +
(Med kortdivision: 7 går i 9 en gång, 2 i rest, 7 går i 21 tre gånger, ingen rest)
 +
91= 7 ⋅ 13
 +
Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13
 +
 
 +
Kan vi faktorisera 13? Nej, 13 är ett primtal.
 +
 
 +
Vi väljer alltså att skriva om vårt stora tal, 1092, i dess primtalsfaktorer
 +
1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13
 +
Nu kan vi mycket lättare hantera talet när vi behöver jämföra det med andra tal.
 +
 
 +
=== Delbarhet ===
 +
 
 +
{{exruta| '''Det kan vara bra att känna till att:'''
 +
 
 +
Ett helt tal är delbart med
 +
: 2, om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
 +
: 3, om talets siffersumma är delbar med 3.
 +
: 4, om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
 +
: 5, när sista siffran är 0 eller 5.
 +
: 6, när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
 +
: 7, när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
 +
::            Ex.:392 är delbart med 7 (39-4 {{=}} 35)
 +
: 8, när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
 +
: 9, när talets siffersumma är delbar med 9.
 +
: 10, när talets sista siffra är en nolla.
 +
 
 +
''Denna lista kommer från [http://matmin.kevius.com/delbar.php denna sida]''
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
= Exempel - faktorisering =
  
 
* 15/20 =
 
* 15/20 =
Rad 17: Rad 84:
  
 
#  Storleksordna talen utan hjälp av miniräknare eller dator: 2<sup>24</sup>, 3<sup>18</sup>, 4<sup>15</sup>, 5<sup>6</sup>
 
#  Storleksordna talen utan hjälp av miniräknare eller dator: 2<sup>24</sup>, 3<sup>18</sup>, 4<sup>15</sup>, 5<sup>6</sup>
 +
# Är det så att hälften är lika med två tredjedelar av tre fjärdedelar? Förklara på lite olika sätt. var beredda att redovisa en förklaring.
 +
 +
 +
= Geogebraövning =
 +
 +
== En amerikansk faktoriseringsövning ==
 +
 +
Tänk dig att första parentesuttrycket står på övre raden och andra på andra.
 +
 +
Det finns ett x inskrivet nära mitten och det ska tolkas som att x-termerna står till vänster. Du ska alltså inte skriva något x i rutan. Skriv bra koefficienterna (sifran framför x).
 +
 +
<html>
 +
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxn9GGbS/width/800/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
 +
</html>
  
# Är det så att hälften är lika med två tredjedelar av tre fjärdedelar? Förklara lite olika sätt. var beredda att redovisa en förklaring.
+
= Lär mer =
 +
 
 +
=== Uppgifter med algebraiska uttryck ===
 +
 
 +
Du behöver läsa själv. Sök på Matteboken.se, MathLeaks eller andra kurser på Wikiskola.
  
=== Räkneuppgifter ===
+
Eller {{svwp|Polynomfaktorisering}}
  
 
Faktorisera följande uttryck:
 
Faktorisera följande uttryck:
Rad 35: Rad 120:
 
#
 
#
 
{{wb}}
 
{{wb}}
 
= Geogebraövning =
 
 
== En amerikansk faktoriseringsövning ==
 
 
Tänk dig att första parentesuttrycket står på övre raden och andra på andra.
 
 
Det finns ett x inskrivet nära mitten och det ska tolkas som att x-termerna står till vänster. Du ska alltså inte skriva något x i rutan. Skriv bra koefficienterna (sifran framför x).
 
 
<html>
 
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxn9GGbS/width/800/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
 
</html>
 
  
 
<headertabs />
 
<headertabs />

Versionen från 25 augusti 2019 kl. 19.01


[redigera]

Inom matematiken innebär en faktorisering (faktoruppdelning) att man uttrycker ett objekt som en produkt av flera objekt, eller faktorer. Till exempel kan talet 15 faktoriseras i primtal som 3 ⋅ 5. Syftet med faktoriseringar är ofta att reducera något till "grundläggande byggstenar".

Primatalsfaktorisering

Så går det till!

Vi vill nu primtalsfaktorisera talet 1092. Vi vill alltså skriva om talet i faktorer, tills dess att vi endast har primtal kvar. Stega genom våra primtal och kontrollera om det ingår i vårt tal, 1092. För att ta reda på det, måste vi kontrollera om 1092 är delbart med primtalet. Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Ja, talet är jämnt. 1092 / 2 = 546 Vi kan alltså utföra faktoriseringen 1092 = 2 ⋅ 542

Kan vi faktorisera 546? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Ja, talet är jämnt. 546 / 2 = 273 546 = 2 ⋅ 273 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 273

Kan vi faktorisera 273? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Ja, siffersumman är delbar med 3 (siffersumman för 273 är 2+7+3 = 12, och 12 är delbart med 3) 273 / 3 = 91 273 = 3 ⋅ 91 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 91

Kan vi faktorisera 91? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Nej, siffersumman måste vara delbar med 3 (9+1 = 10,  10 / 3 = 3,3333...).  Går vidare till nästa primtal, 5. Delbart med 5? Nej, talet måste sluta med en 0:a eller 5:a. Går vidare till nästa primtal, 7. Delbart med 7? Här har vi ingen snabb regel, utan får testa med kortdivision eller liggande stolen (eller miniräknare). 91 / 7 = 13  (Med kortdivision: 7 går i 9 en gång, 2 i rest, 7 går i 21 tre gånger, ingen rest) 91= 7 ⋅ 13 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13

Kan vi faktorisera 13? Nej, 13 är ett primtal.

Vi väljer alltså att skriva om vårt stora tal, 1092, i dess primtalsfaktorer 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 Nu kan vi mycket lättare hantera talet när vi behöver jämföra det med andra tal.

Delbarhet

Exempel
Det kan vara bra att känna till att:

Ett helt tal är delbart med

2, om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
3, om talets siffersumma är delbar med 3.
4, om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5, när sista siffran är 0 eller 5.
6, när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
7, när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
Ex.:392 är delbart med 7 (39-4 = 35)
8, när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9, när talets siffersumma är delbar med 9.
10, när talets sista siffra är en nolla.

Denna lista kommer från denna sida


  • 15/20 =
  • (4x+8) / 4 =
  • 2cd2 - 6c2d =
  • (6a2 - 18ab) / 12a

Gör någon gruppuppgift.

  1. Storleksordna talen utan hjälp av miniräknare eller dator: 224, 318, 415, 56
  2. Är det så att hälften är lika med två tredjedelar av tre fjärdedelar? Förklara på lite olika sätt. var beredda att redovisa en förklaring.


En amerikansk faktoriseringsövning

Tänk dig att första parentesuttrycket står på övre raden och andra på andra.

Det finns ett x inskrivet nära mitten och det ska tolkas som att x-termerna står till vänster. Du ska alltså inte skriva något x i rutan. Skriv bra koefficienterna (sifran framför x).

Uppgifter med algebraiska uttryck

Du behöver läsa på själv. Sök på Matteboken.se, MathLeaks eller andra kurser på Wikiskola.

Eller Wikipedia skriver om Polynomfaktorisering

Faktorisera följande uttryck:

  1. [math]\!x^2+\!12x+\!36=\cdots[/math]
  2. [math]\!x^2+\!10x+\!25=\cdots[/math]
  3. [math]\!a^3+\!3a^2b+\!3ab^2+\!b^3=\cdots[/math]
  4. [math]\!a^2-\!b^2=\cdots[/math]
  5. [math]\!x^2+\!7x+\!12=\cdots[/math]
  6. [math]\!28-\!3a-\!a^2=\cdots[/math]
  7. [math]\!x^2+\!9x+\!20=\cdots[/math]
  8. [math]\!30+\!11x+\!x^2=\cdots[/math]
  9. [math]\!12-\!7x+\!x^2=\cdots[/math]

Dessa uppgifter kommer från WikiBooks