Problemlösning med derivatan - Versionshistorik

Hakan: /* Deriveringsregler: */

2018-10-08T07:37:37Z

Deriveringsregler:

← Äldre version		Versionen från 8 oktober 2018 kl. 07.37
Rad 46:		Rad 46:
	:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.		:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
	:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>		:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
	:Derivatan av <math>\ln(x) </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>		:Derivatan av <math>\ln(x) </math> är <math> \frac{1}{x} </math>
	: Derivatan av <math>\sin(x) </math> = <math>\cos(x)\</math>		: Derivatan av <math>\sin(x) </math> = <math>\cos(x) </math>
	: Derivatan av <math>\cos(x) </math> = <math>-\sin(x)\</math>		: Derivatan av <math>\cos(x) </math> = <math>-\sin(x) </math>

	{{lm3c\|och deriveringsregler\|130-132}}		{{lm3c\|och deriveringsregler\|130-132}}

Hakan: /* Deriveringsregler: */

2018-10-08T07:35:48Z

Deriveringsregler:

← Äldre version		Versionen från 8 oktober 2018 kl. 07.35
Rad 46:		Rad 46:
	:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.		:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
	:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>		:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
	:Derivatan av <math>\ln(x) \ </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>		:Derivatan av <math>\ln(x) </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>
	: Derivatan av <math>\sin(x)\ </math> = <math>\cos(x)\</math>		: Derivatan av <math>\sin(x) </math> = <math>\cos(x)\</math>
	: Derivatan av <math>\cos(x)\ </math> = <math>-\sin(x)\</math>		: Derivatan av <math>\cos(x) </math> = <math>-\sin(x)\</math>

	{{lm3c\|och deriveringsregler\|130-132}}		{{lm3c\|och deriveringsregler\|130-132}}

Hakan den 14 december 2015 kl. 22.38

2015-12-14T22:38:06Z

← Äldre version		Versionen från 14 december 2015 kl. 22.38
Rad 30:		Rad 30:
	'''Kontroll:''' Titta i [[Formelsamling\|formelsamlingen för fysik]] om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.		'''Kontroll:''' Titta i [[Formelsamling\|formelsamlingen för fysik]] om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.
	}}		}}

			== Läs om en av upphovsmännen tillderivatan ==

			[http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0405_86-87_1.pdf En text om Leibniz]

	== Deriveringsregler ==		== Deriveringsregler ==

Hakan: Skapade sidan med 'Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt: # Först en frågeställning # Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet # Därefter lär vi oss derivera...'

2015-12-10T08:46:57Z

Skapade sidan med 'Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt: # Först en frågeställning # Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet # Därefter lär vi oss derivera...'

Ny sida

Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:
# Först en frågeställning
# Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
# Därefter lär vi oss derivera
# Slutligen kommer derivatans definition

Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. '''Sätt igång!'''

{{uppgruta|[[Fil:Weihrauch hw77.jpg|miniatyr|Luftgevär]]
Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s.
{{wp}}

En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften.

'''Fråga 1.''' Vilken hastighet har kulan då den når den höjden?

'''''Tips 1:''''' Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:
: <math> y = v_ot + \frac{gt^2}{2}</math>

: där g är tyngdaccelerationen

'''''Tips 2.''''' Derivera funktionen. Derivatan av läget <math>y(t)</math> är nämligen hastigheten vid tiden <math>t</math>. Alltså: <math>y'(t)= </math> hastigheten.

'''Fråga 2.''' Hur högt kan kulan nå?

'''Fråga 3.''' Rita graferna för <math>y(t)</math> och <math>y'(t) </math> i GeoGebra. (använd x i stället för t)

'''Fråga 4.''' Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet.

'''Kontroll:''' Titta i [[Formelsamling|formelsamlingen för fysik]] om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.
}}

== Deriveringsregler ==

Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.

=== Deriveringsregler: ===

:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x\,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 1</math>.
:Derivatan av funktionen <math>f(x) = x^2,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 2x</math>.
:Det kan generaliseras till att funktionen <math>f(x) = x^n</math> har derivatan <math>(f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.
:Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
:Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
:Derivatan av <math>\ln(x) \ </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>
: Derivatan av <math>\sin(x)\ </math> = <math>\cos(x)\</math>
: Derivatan av <math>\cos(x)\ </math> = <math>-\sin(x)\</math>

{{lm3c|och deriveringsregler|130-132}}
{{uppgruta|Derivera följande funktioner:
# <math>f(x) = 5x^2 + 3x +7</math>
# <math>f(x) = \ln(x) + 2x^7 </math>}}

=== Additionsregeln ===

Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
:<math>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime.</math>

=== Linjäritet ===

En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:
:<math>(c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime.</math>

=== Produktregeln ===

Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
:<math>(f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f.</math>

=== Kvotregeln ===

Derivatan av kvoten <math>\frac{f}{g}</math> ges av följande funktion:
:<math>\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math>
<br>

=== Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln) ===
En '''sammansatt funktion''' ''f''(''g''(''x'')) är en funktion ''f(x)'' som har en annan funktion ''g(x)'' som sitt argument, istället för en variabel som ''x''. Detta kan även skrivas <math>(f \circ g)(x)</math> för att förtydliga att ''g'' inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln ''x''. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet '''kedjeregeln''':
:<math>(f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime.</math>

<br>
{{lnkruta|Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia].
Besök gärna [http://wikieducator.org/Math_Tables_and_Formulas/Calculus/Common_Derivatives WikiEducator]}}

=== En widget som deriverar ===

{| width="100%" cellpadding="4"
|- valign="TOP"
| width="40%" |
Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.
<br>
<br>
{{tnkruta|Försök fundera ut vad en andraderivata är}}

|{{#widget:WolframAlpha|id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}
|}