Hakan: /* Här är så en GGB som visar lösningen: */

2015-12-16T19:54:15Z

Här är så en GGB som visar lösningen:

← Äldre version		Versionen från 16 december 2015 kl. 19.54
Rad 73:		Rad 73:
	Du kan även testa var max hamnar om du flyttar glidarna till andra mått på papperet (a och b kan variera från noll till A4-storlek).		Du kan även testa var max hamnar om du flyttar glidarna till andra mått på papperet (a och b kan variera från noll till A4-storlek).

	<~~ggb_applet width~~="~~789" height="491" version="4.2~~" ~~ggbBase64~~="~~UEsDBBQACAgIALi0REIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT~~/~~LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIALi0REIAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vptc9s2Ev6c~~/~~goMP9zFPcsiCL4pJ6WTuOfWidtmzrnMzX24GYiEJNQUqSMpW8rkx98uAFKUqMiW5KRunMggCGAX++wrYPV~~/~~WEwTcivyQmbpwKJntkVEGmWxTMcDa16OOqH1w8vv+mORjcUw52SU5VNeDiz3zLFW66B3RkNcLOOBFQvqRcx3OiyifscdhqwTjny3E3kjr2f7PAoCmEkWhXyRZr~~/~~yqShmPBLX0URM+VUW8VLRnJTl7EW3e3d3d1ZxP8vycXc8Hp4titgisPO0GFjm4QWQW1t0x9R0x7Zp99+~~/~~XGnyHZkWJU8jYRGUai5ffvesfyfTOLsjdzIuJwMrtGFzEyHHExDTx04XJ81A1pmISnkrClja6CqZy+nMUtN4iuPP9BNJanEsEstbGYt8YNlnjmeRLJciLc0oNVy61fr+rRR3mhA+KR6u3QsAdFnIYSIG1ognBcgh01EOGMIW8jl0i3KZiCHPq~~/~~5qB~~/QU/sEE+VEgLRBMCz6wWGCf0tA9DWz71POMxE3GFimzLFFUbeL1yKdPxLEdm5xiQ3XjQOP7esjW72ymG0c3rm48PcfVy1091dVzXD3HZTvkNP2VoObFmqSVnKwpJwX58ANaPXXttpxhQ06KQnwiFHevGkZw31TtHxvXdH3dDVRDbd1QMxjiL4WXf6RE7CCJaIOrtod9mFYsvXAPls4xLGspnW1SOt5npDwS3Iop9RpMgZf6rz4tlszZh2XLFQ/~~g6LvH+P4BDDFIf3mG~~/W4V6frG90gxwbnGdkoxLTDqsJ4KPIQSDxzTDyBOeIT2oAnQQR1CPeJ60KUh8bENCEOfdAkjIcF5lBEVXrwQfrnKX33iAS18GWjHJcwlHiNUBSWXQCgiKrBBkHMYzPA84sEi5E6RLfOJ60OHhcSFDWJICzBsMFgHfWDuEEYJw7U0II5PfIcEGBapi9HSD3HvQNQhvk18XApxEWKijoewIiQMpQELn2WFrMGdiGRWa0XhKNPZvFzDLprG1WOZbcyOs+jm9QbWghdl9QyTIBmtkpxOTms58Fk/~~4UORQKVwjWZAyC1P0IMV~~/~~VGWlqQyAUe~~/~~G+d8NpFRcS3KElYV5Hd+y694KRYXMLuoNqhYq9TcF~~/~~MokbHk6QewESSBBEmVqVVYqjK1G1DNJcqyPL5eFmA4ZPEfkWcQTFzvzG7+QJhZ6iHm9NaGXMjMRcTR5B3~~/~~zO01fkLQwdKMYQr3GsuoYS5ua+H4QhQVmuMcHcrgj53L4nWWrF7NMpmW53xWznNVeMH+chTrVTpOhEJXKR1KmOhmmC2uNaxM03q~~/~~nOGO9AaG4~~/~~MsyXICLgk7hAmmHepWzcGd1bNsNcdWM+xKTzKux2nPUTNUO9StmgWK11szktJKTGpXbGShAgkQb5qZshosiOapLK+qTimjm5WkOP~~/~~X+XQIBmeWrZOkj0Sy390wsf6NyFORaENKQZPzbF5oy66t81l~~/~~Xoh3vJy8SuN~~/~~ijG45DuOUbEE0nrqasexiOQUFur3BjqOav0XbFW~~/~~jcU4F5WEiap0NbBq1G6adeu1InWRZ9PL9PY92MzGVvvdSp5+EeVyhqZJhhCmb8TK+mJZcAjycXMdCF+AFBEGHACyRBAtwuflJMtVMQtuC05HLmC3c55LiJRgj+iyiZhCXUtKZZXpfCpyGdUa4qpIhj3OjRjgfsYqUT8kG~~/~~4O8WVDrSs0Yfgzhkt4MptwdEzjiQlfinwNKkXtlyw2nM28IsGinExlqshM+cJsivBhkSXzEg4moJ10dTDRezMxCMoSPPbAItfFh6VaDQ8juRB1+AXQ5Ecwp3XbWHlQCWHxBgr~~/~~QpVPpXFo9fCzjGOR1tvlKZiTUgoEuJmWl0BQFtop6qUzkF+FkoYpGNXcq6RhS0l4LnxySqKHq8j3~~/~~uQqejdPbyDcpC1~~/~~Yk9QU9Q+xp2ozZ6+shazHLghGQPyByinFkDvw~~/~~PFCRkQTr4nQ~~/~~gsSAdK1e9Vf~~/Hf586J6Q/r/t+gYlXP7ERXYeuGMJqnKiZbK0aHaJvaTkPfcOBuaNzeqfHfRqNClKghx1f66QT+VoNgO5Ti7VZKBJUQYqnofMiSJQDwAMj/wqFE/nsFvO5p+Fedh2H614NArQouDapHD8HUUZgyusvH9od0N3CvDGTP66hySj6sOicnFWlVpm5D0AzU9A5Bzw8VeNgMdfNA9Fb4NEulAuFkdQzxAoxBH/UVp77Qwz1jJb1mrvrtRpm1G77X2+AzBnc4iK+fHohQBjwOhlE2nfI0Jqm6SngPNSy8t1aHWG4ro+QUw5uWcV5WA5GmZmi0UETnqEGK7gGxUdK3cyH1WCsbHgxix6C3NJfsgGLH79XZeqtL091RUvwv1UsKfcYBI0xkJMvdlcS6lZ23Aaquxx5aLKiodyhAm+l3S/Kl25LvGrRhVXi7toH2aCffAdmP3wJkzleF7B/fEmS+/~~TUgu~~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" ~~showResetIcon~~ = "~~false~~" ~~enableRightClick~~ = "~~false~~" ~~errorDialogsActive~~ = "~~true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true~~" />		<html>
			<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2311721/width/698/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="698px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
			</html>

Hakan: Skapade sidan med '== Uppgift att tillverka en låda med störst volym == Tänk dig att du formar en låda genom att klippa bort lika stora kvadrater i hörnen av ett rektangulärt papper och d...'

2013-05-01T21:00:18Z

Skapade sidan med '== Uppgift att tillverka en låda med störst volym == Tänk dig att du formar en låda genom att klippa bort lika stora kvadrater i hörnen av ett rektangulärt papper och d...'

Ny sida

== Uppgift att tillverka en låda med störst volym ==

Tänk dig att du formar en låda genom att klippa bort lika stora kvadrater i hörnen av ett rektangulärt papper och därefter viker upp kanterna. Vad ska kvadraterna ha för sidlängd för att maximera lådans volym? Vi kan för klarhetens skull kalla papperssidorna a respektive b och kvadratens sida x.

=== Vi bekantar oss med problemet. ===

För att slippa detaljer och decimaler tänker vi oss ett papper som har sidorna 10 cm och 20 cm.

# Om vi klipper bort 1 cm i varje hörn blir botten på lådan <math>8 * 18 cm^2</math>. Volymen blir då <math>8 * 18 * 1 cm^3 = 144 cm^3</math>.
# Om vi klipper bort 2 cm i varje hörn blir botten på lådan <math>6 * 16 cm^2</math>. Volymen blir då <math>6 * 16 * 2 cm^3 = 96 * 2 = 192 cm^3</math>.
# Om vi klipper bort 3 cm i varje hörn blir botten på lådan <math>4 * 14 cm^2</math>. Volymen blir då <math>4 * 14 * 3 cm^3 = 56 * 3 = 168 cm^3</math>.
<br />
[[Fil:Ladan_test.png|300px|right]]
Nu ser vi att vi verkar ha en maxvolym om man klipper bort 2 cm. problemet är att vi inte vet om det är störst volym när man klipper bort exakt 2 cm. Det kan ju hända att lösningen är att klippa bort ett hörn med ett mått som anges i cm, mm och många decimaler därtill.

Vi kan nu ta våra värden på x och volym och rita en enkel graf.

Nu har vi begripit mer av hur problemet fungerar. Dags att vi ger oss in på det riktiga problemet.
{{clear}}

=== Lösning ===

Papperets kanter har längderna a och b.

Lådans kanter har längderna a-2x och b-2x efter det att man har klippt bort hörnen. Hörnen har ju sidan x.

Man viker upp kanterna på lådan och kanterna är förstås x höga.

Lådans volym ges då av bottenarean multiplicerat med kantens höjd. Vi kan skriva ett uttryck för lådans volyn V(x).

: <math> V(x) = (a-2x)(b-2x) x </math>

För att få fram den maximala volyme ska vi derivera uttrycket för volymen och sätta derivatan lika med noll. Det kommer att ge oss en ekvation där lösningen är det x-värde som ger störstvolym.

Vi börjar med att förenkla uttrycket genom att multiplicera ihop parenteserna, mm.

: <math> V(x) = (a-2x)(b-2x) x = abx - 2 ax^2 - 2bx^2 + x^3</math>

Om vi deriverar

: <math> V(x) = abx - 2 ax^2 - 2bx^2 + x^3</math>

får vi
: <math> V'(x) = ab - 4 ax - 4bx + 3x^2</math>

Då sätter vi derivatan lika med noll vilket betyder:

: <math> ab - 4 ax - 4bx + 3x^2 = 0</math>

Det är en andragradsekvation som vi stuvar om så att den stämmer med pq-formeln:

: <math> x^2 - \frac {4}{3} (a - b) x + \frac {ab}{3} = 0</math>

Lösningen är:

: <math> x = \frac {2}{3} (a - b) +- \sqrt{(\frac {2}{3} (a - b))^2 - \frac {ab}{3}} </math>

Den roten som ger vårt maximum är.

: <math> x = \frac {2}{3} (a - b) - \sqrt{(\frac {2}{3} (a - b))^2 - \frac {ab}{3}} </math>

Om man sätter a = 10 och b = 20 som i testet ovan får vi max vid <math> x = 5 - \frac {5}{\scrt{3}} \cong 2.11 </math>

===== Tips: =====

Wolfram Alpha ger en snygg lösning: med a = 20 och b = 10: http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximum+%2820-2x%29%2810-2x%29x

== Här är så en GGB som visar lösningen: ==

I denna GGB kan du se hur max inträffar där derivatan är lika med noll samt att tangenten i den punkten är helt horisontell.

Du kan även testa var max hamnar om du flyttar glidarna till andra mått på papperet (a och b kan variera från noll till A4-storlek).

<ggb_applet width="789" height="491" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Lådan - en praktisk övning - Versionshistorik

Hakan: /* Här är så en GGB som visar lösningen: */

Hakan: Skapade sidan med '== Uppgift att tillverka en låda med störst volym == Tänk dig att du formar en låda genom att klippa bort lika stora kvadrater i hörnen av ett rektangulärt papper och d...'