Induktionsbevis - Versionshistorik

EmilRapp: en till länk

2021-04-27T12:51:33Z

en till länk

← Äldre version		Versionen från 27 april 2021 kl. 12.51
Rad 43:		Rad 43:

	=Uppgifter=		=Uppgifter=
			<br />
	=Läs mer=		=Läs mer=

	* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]		*[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]
	* [https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]		*[https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]
	* [https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]		*[https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]
	* [https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]		*[https://eddler.se/lektioner/induktionsbevis/ Eddler, Induktionsbevis]
			*[https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]
	<headertabs />		<headertabs />

EmilRapp: EmilRapp flyttade sidan Användare:EmilRapp/Induktionsbevis till Induktionsbevis: Sida nästan klar, saknas bara enstaka uppgifter

2021-04-26T12:51:45Z

EmilRapp flyttade sidan Användare:EmilRapp/Induktionsbevis till Induktionsbevis: Sida nästan klar, saknas bara enstaka uppgifter

← Äldre version	Versionen från 26 april 2021 kl. 12.51
(Ingen skillnad)

EmilRapp: /* Induktionsbevisets mall */

2021-04-23T16:20:53Z

Induktionsbevisets mall

← Äldre version		Versionen från 23 april 2021 kl. 16.20
Rad 32:		Rad 32:
	#Induktionsantagande		#Induktionsantagande
	#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.		#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
	#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>		#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
	#Induktionssteg		#Induktionssteg
	#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>		#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
Rad 46:		Rad 46:
	=Läs mer=		=Läs mer=

			* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]
			* [https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]
			* [https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]
			* [https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]
	<headertabs />		<headertabs />

EmilRapp: Exemplet klart, kan behövas formatering

2021-04-23T16:11:54Z

Exemplet klart, kan behövas formatering

← Äldre version		Versionen från 23 april 2021 kl. 16.11
Rad 38:		Rad 38:
	#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>		#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
	#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.		#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
	#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+(p+1)</math>		#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)= \frac{p(p+1)}{2}+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+\frac{2(p+1)}{2}=\frac{(p(p+1))+(2(p+1))}{2}=\frac{(p^2+p)+(2p+2)}{2}=\frac{p^2+3p+2}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}=</math>HL från induktionssteget.
	#Avslutning		#Avslutning
			#*Vi har nu med hjälp av induktion visat att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för alla positiva heltal tal från och med 1.

	=Uppgifter=		=Uppgifter=

EmilRapp: Mer jobb på exempel

2021-04-23T12:42:05Z

Mer jobb på exempel

← Äldre version		Versionen från 23 april 2021 kl. 12.42
Rad 36:		Rad 36:
	#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>		#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
	#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>		#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
	#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=</math>		#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
			#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
			#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+(p+1)</math>
	#Avslutning		#Avslutning

EmilRapp: Lite längre på exemplet

2021-04-23T12:29:20Z

Lite längre på exemplet

← Äldre version		Versionen från 23 april 2021 kl. 12.29
Rad 31:		Rad 31:
	#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.		#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
	#Induktionsantagande		#Induktionsantagande
			#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
			#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
	#Induktionssteg		#Induktionssteg
			#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
			#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
			#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=</math>
	#Avslutning		#Avslutning

EmilRapp: Fix i struktur

2021-04-22T10:15:43Z

Fix i struktur

← Äldre version		Versionen från 22 april 2021 kl. 10.15
Rad 25:		Rad 25:

	#Induktionsbas		#Induktionsbas
	##Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.		#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
	##Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.		#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
	##<math>VL:1</math>		#*<math>VL:1</math>
	##<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>		#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
	##Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.		#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.

	#Induktionsantagande		#Induktionsantagande
	#Induktionssteg		#Induktionssteg

EmilRapp: Fixade navigationstabbarna

2021-04-22T10:13:47Z

Fixade navigationstabbarna

← Äldre version		Versionen från 22 april 2021 kl. 10.13
Rad 1:		Rad 1:
	==Teori==		__NOTOC__
			=Teori=
	Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd\|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.		Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd\|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

	===Induktionsbevisets mall===		==Induktionsbevisets mall==

	#Induktionsbas		#Induktionsbas
Rad 18:		Rad 19:
	#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.		#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

	==Exempel==		=Exempel=
	Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>		Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Rad 35:		Rad 36:


	==~~Uppgifter~~==		=Uppgifter=

			=Läs mer=

	~~==Läs mer==~~
	<headertabs />		<headertabs />

EmilRapp: /* Exempel */ Induktionsbas klar

2021-04-22T08:36:52Z

Exempel: Induktionsbas klar

← Äldre version		Versionen från 22 april 2021 kl. 08.36
Rad 23:		Rad 23:
	Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.		Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

	# Induktionsbas Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>		#Induktionsbas
	# ~~Induktionsantagande~~ <br />		##Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
	# ~~Induktionssteg~~ <br />		##Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
	# ~~Avslutning~~ <br />		##<math>VL:1</math>
			##<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
			##Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.

			#Induktionsantagande
			#Induktionssteg
			#Avslutning


	==Uppgifter==		==Uppgifter==

	==Läs mer==		==Läs mer==
	~~<br />~~<headertabs />		<headertabs />

EmilRapp: /* Exempel */ Nowiki tag fix

2021-04-21T09:56:26Z

Exempel: Nowiki tag fix

← Äldre version		Versionen från 21 april 2021 kl. 09.56
Rad 23:		Rad 23:
	Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.		Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

	# Induktionsbas Vi visar först att satsen gäller för ~~<nowiki>~~<math>n=1</math~~></nowiki~~>		# Induktionsbas Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>
	# Induktionsantagande <br />		# Induktionsantagande <br />
	# Induktionssteg <br />		# Induktionssteg <br />