Exponentialfunktioner - Versionshistorik

Hakan: /* Avtagande */

2018-01-09T12:17:44Z

Avtagande

← Äldre version		Versionen från 9 januari 2018 kl. 12.17
Rad 35:		Rad 35:
	[[Fil:Exponentiellt_avtagande.png\|500px\|right]]		[[Fil:Exponentiellt_avtagande.png\|500px\|right]]

	Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9		Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 % per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

	{{clear}}		{{clear}}

Hakan den 25 mars 2015 kl. 21.43

2015-03-25T21:43:14Z

← Äldre version		Versionen från 25 mars 2015 kl. 21.43
Rad 1:		Rad 1:
			{{flipped2\| nzNS_0dQtbo \|Exponentialfunktioner av Tomas Sverin }}

	=== Jämför ===		=== Jämför ===

Hakan: /* Växande */

2015-03-24T22:51:25Z

Växande

← Äldre version		Versionen från 24 mars 2015 kl. 22.51
Rad 23:		Rad 23:

	=== Växande ===		=== Växande ===

	[[Fil:Exponentiellt_växande.png\|500px\|right]]		[[Fil:Exponentiellt_växande.png\|500px\|right]]

Hakan: /* Exempel 1 */

2015-03-24T22:50:27Z

Exempel 1

← Äldre version		Versionen från 24 mars 2015 kl. 22.50
Rad 104:		Rad 104:

	Skriv in funktionen y {{=}} C a <top>x<\top>		Skriv in funktionen y {{=}} C a <top>x<\top>

			Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.

			Dsa i glidarna och finn lösningen.
	}}		}}

Hakan: /* Exempel 1 */

2015-03-24T22:49:37Z

Exempel 1

← Äldre version		Versionen från 24 mars 2015 kl. 22.49
Rad 101:		Rad 101:
	# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a		# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

	<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />		{{uppgruta \| Lös upppgiften ovan med GeoGebra

			Skriv in funktionen y {{=}} C a <top>x<\top>
			}}

	=== Exempel 2 ===		=== Exempel 2 ===

Hakan: Skapade sidan med ' === Jämför === Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen: : $y = ax^2 + bx + c$ (bortse från de sista termerna) : $y = ax^2$ ...'

2015-03-24T22:45:49Z

Skapade sidan med ' === Jämför === Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen: : <math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna) : <math>y = ax^2 </math>...'

Ny sida

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

: <math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

: <math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

: <math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

: <math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

: <math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

: <math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

: <math>y = C \cdot a^x </math>

: talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===
[[Fil:Exponentiellt_växande.png|500px|right]]

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

{{clear}}

=== Avtagande ===
[[Fil:Exponentiellt_avtagande.png|500px|right]]

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

{{clear}}

==== Vatten i termos ====
[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]]

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

{{clear}}

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====
[[Fil:Exponentiella_spegelvända.png|400px|right]]

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

{{clear}}

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv alltså in dessa funktioner ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

Exponentialfunktioner - Versionshistorik

Hakan: /* Avtagande */

Hakan den 25 mars 2015 kl. 21.43

Hakan: /* Växande */

Hakan: /* Exempel 1 */

Hakan: /* Exempel 1 */

Hakan: Skapade sidan med ' === Jämför === Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen: : y = ax^2 + bx + c (bortse från de sista termerna) : y = ax^2 ...'

Hakan: Skapade sidan med ' === Jämför === Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen: : $y = ax^2 + bx + c$ (bortse från de sista termerna) : $y = ax^2$ ...'