Derivatan av y = e^x - Versionshistorik

TomasWestman: /* Härledning */

2018-06-14T13:50:44Z

Härledning

@@ Rad 32: / Rad 32: @@
 Om <math>f(x) = e^{kx}</math> så är <math>f'(x) = k e^{kx}</math>
 }}
 == Härledning ==
 Vid derivering av exponentialfunktioner av typen <math>a^x</math> , där <math>a</math> är en konstant uppkommer detta mönster.

Hakan den 18 april 2016 kl. 07.40

2016-04-18T07:40:58Z

← Äldre version		Versionen från 18 april 2016 kl. 07.40
Rad 1:		Rad 1:
	== Rubriktext ==		== Rubriktext ==
	{{lm3c\| Integraler \| 184-188 }}		{{lm3c\| Integraler \| 184-188 }}
	{{#ev:youtube\| cKks7rWxE \| 340 \| right \|Sid 184-188 - Talet e och derivatan av f(x)=e^x}}		{{#ev:youtube\| y-cKks7rWxE \| 340 \| right \|Sid 184-188 - Talet e och derivatan av f(x)=e^x}}
	{{malruta\|		{{malruta\|
	Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av <math>e^x</math> är<math>e^x</math> och varför det är så .		Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av <math>e^x</math> är<math>e^x</math> och varför det är så .

Hakan: /* Definition av talet e */

2016-04-10T07:55:27Z

Definition av talet e

← Äldre version		Versionen från 10 april 2016 kl. 07.55
Rad 92:		Rad 92:
	== Definition av talet e ==		== Definition av talet e ==

	e kan också definieras som ~~[[gränsvärde]]t~~		e kan också definieras som gränsvärdet
	:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.		:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.
	:Detta beror på följande samband		:Detta beror på följande samband
Rad 101:		Rad 101:
	:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>		:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
	:e		:e
	De sju första elementen i ~~[[talföljd]]en~~ {(1+1/n)<sup>n</sup>}{{sup sub\|∞\|n{{=}}1}}    är följande:		De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)<sup>n</sup>}{{sup sub\|∞\|n{{=}}1}}    är följande:
	:<math>2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543</math>		:<math>2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543</math>
	I decimalform, avrundat till tre decimaler:		I decimalform, avrundat till tre decimaler:
	:<math>2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546</math>		:<math>2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546</math>
	Talföjden ~~[[Konvergens (matematik)\|~~konvergerar]] tydligen ganska långsamt mot talet e.		Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

	{{svwp \| e(tal)}}		{{svwp \| e(tal)}}

Hakan: /* Derivera en exponentialfunktion */

2016-04-10T07:48:58Z

Derivera en exponentialfunktion

← Äldre version		Versionen från 10 april 2016 kl. 07.48
Rad 89:		Rad 89:
	{{flipped \| Lös uppgifterna 4101 - 4116. Läs på om [[Naturliga logaritmer]].		{{flipped \| Lös uppgifterna 4101 - 4116. Läs på om [[Naturliga logaritmer]].
	}}		}}

			== Definition av talet e ==

			e kan också definieras som [[gränsvärde]]t
			:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.
			:Detta beror på följande samband
			:<math>\lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1</math>
			:<math>\lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h</math>
			:<math>e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h}</math>
			:Sätt <math>\frac{1}{h}=n</math>, där <math>n\to \infty </math> då <math>h\to0 </math>
			:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
			:e
			De sju första elementen i [[talföljd]]en {(1+1/n)<sup>n</sup>}{{sup sub\|∞\|n{{=}}1}}    är följande:
			:<math>2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543</math>
			I decimalform, avrundat till tre decimaler:
			:<math>2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546</math>
			Talföjden [[Konvergens (matematik)\|konvergerar]] tydligen ganska långsamt mot talet e.

			{{svwp \| e(tal)}}

Hakan: /* Exponentialfunktionen */

2016-04-08T10:07:12Z

Exponentialfunktionen

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 10.07
Rad 30:		Rad 30:
	Om <math>f(x) = e^x</math> så är <math>f'(x) = e^x</math>		Om <math>f(x) = e^x</math> så är <math>f'(x) = e^x</math>

	Om <math>f(x) = e^kx</math> så är <math>f'(x) = k e^kx</math>		Om <math>f(x) = e^{kx}</math> så är <math>f'(x) = k e^{kx}</math>
	}}		}}

Hakan: /* Exponentialfunktionen */

2016-04-08T10:06:35Z

Exponentialfunktionen

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 10.06
Rad 26:		Rad 26:
	</html>		</html>

	{{defruta \|		{{defruta \| '''Exponentialfunktionen'''
	~~:exponentialfunktionen~~
			Om <math>f(x) = e^x</math> så är <math>f'(x) = e^x</math>

			Om <math>f(x) = e^kx</math> så är <math>f'(x) = k e^kx</math>
	}}		}}

Hakan: /* Rubriktext */

2016-04-08T10:04:43Z

Rubriktext

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 10.04
Rad 1:		Rad 1:
	== Rubriktext ==		== Rubriktext ==
	{{lm3c\| Integraler \| 184-188 }}		{{lm3c\| Integraler \| 184-188 }}
	{{#ev:youtube\| ~~IDYoutube~~ \| 340 \| right \|~~FilmTirtelf~~}}		{{#ev:youtube\| cKks7rWxE \| 340 \| right \|Sid 184-188 - Talet e och derivatan av f(x)=e^x}}
	{{malruta\|		{{malruta\|
	Denna lektion kommer du att lära dig ~~hur xxxxxxxxxxx~~.		Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av <math>e^x</math> är<math>e^x</math> och varför det är så .
	}}		}}


	== Inledning ==		== Inledning ==

Hakan: /* Härledning */

2016-04-08T10:01:07Z

Härledning

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 10.01
Rad 41:		Rad 41:
	<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} </math>		<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} </math>

	Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen ~~<math> </math>~~ som:		Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:

	<math>a^x\cdot k </math> , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} </math>		<math>a^x\cdot k </math> , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} </math>

Hakan: /* Härledning */

2016-04-08T09:58:18Z

Härledning

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 09.58
Rad 33:		Rad 33:
	== Härledning ==		== Härledning ==

			Vid derivering av exponentialfunktioner av typen <math>a^x</math> , där <math>a</math> är en konstant uppkommer detta mönster.

			<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}</math>

			<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} </math>

			<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} </math>

			Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen <math> </math> som:

			<math>a^x\cdot k </math> , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} </math>

			Om exempelvis värdet 2 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> mot <math>\approx </math> 0.69

			Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>2^x </math> följande:

			<math>f(x)=2^x</math>

			<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x </math>

			Om exempelvis värdet 3 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> uttryck mot <math>\approx </math> 1.1

			Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>3^x </math> följande:

			<math>f(x)=3^x</math>

			<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x </math>

			Alltså ska talet som medför att <math>k=\frac{a^h-1}{h}=1 </math> befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som '''''e'''''.

			Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen <math>e^x </math> blir derivatan följande:

			<math>f(x)=e^x </math>

			<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x </math>

			Derivatan för funktionen <math>e^x </math> motsvarar därför sig själv. Alltså:

			<math>f(x)=e^x </math>

			<math>f'(x)=e^x </math>

	== Derivera en exponentialfunktion ==		== Derivera en exponentialfunktion ==

Hakan: /* Inledning */

2016-04-08T06:16:06Z

Inledning

← Äldre version		Versionen från 8 april 2016 kl. 06.16
Rad 8:		Rad 8:

	== Inledning ==		== Inledning ==
	~~{{Omdirigering\|Eulers tal\|heltalsföljden\|Eulertal\|konstanten\|Eulers konstant}}~~
	[[Fil:Exp derivative at 0.svg\|right\|frame\|Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a<sup>x</sup> visas för ett antal värden på ''a''. Talet e är det enda ''a'' som gör att derivatan av f(x) = a<sup>x</sup> vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e<sup>''x''</sup>, [[Tangent (matematik)\|tangeras]] av den röda linjen (som har [[Riktningskoefficient\|lutningen]] 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2<sup>''x''</sup> (prickad kurva) och 4<sup>''x''</sup> (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.]]		[[Fil:Exp derivative at 0.svg\|right\|frame\|Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a<sup>x</sup> visas för ett antal värden på ''a''. Talet e är det enda ''a'' som gör att derivatan av f(x) = a<sup>x</sup> vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e<sup>''x''</sup>, [[Tangent (matematik)\|tangeras]] av den röda linjen (som har [[Riktningskoefficient\|lutningen]] 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2<sup>''x''</sup> (prickad kurva) och 4<sup>''x''</sup> (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.]]