Bestämda integraler - Versionshistorik

Hakan: /* Det röda överskottet */

2021-02-18T07:01:56Z

Det röda överskottet

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 07.01
Rad 183:		Rad 183:
	As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,		As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
	:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>		:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
	where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval </math>[x, x + h]</math>.		where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval <math>[x, x + h]</math>.
	By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does. Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies		By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does. Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies
	:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>		:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>

Hakan: /* Det röda överskottet */

2021-02-18T07:00:58Z

Det röda överskottet

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 07.00
Rad 183:		Rad 183:
	As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,		As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
	:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>		:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
	where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where ~~{{mvar\|~~f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval </math>[x, x + h]</math>.		where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval </math>[x, x + h]</math>.
	By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does. Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies		By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does. Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies
	:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>		:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>

Hakan: /* Det röda överskottet */

2021-02-18T06:59:55Z

Det röda överskottet

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.59
Rad 183:		Rad 183:
	As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,		As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
	:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>		:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
	where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.		where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval </math>[x, x + h]</math>.
	By the continuity of {{math~~\|''~~f~~''}}~~, the latter expression tends to zero as {{math~~\|''~~h~~''}}~~ does. Therefore, the left-hand side tends to zero as {{math~~\|''~~h~~''}}~~ does, which implies		By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does. Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies
	:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>		:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>

Hakan: /* Det röda överskottet */

2021-02-18T06:56:04Z

Det röda överskottet

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.56
Rad 181:		Rad 181:
	För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?		För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?

	As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero.~~<ref>[[Lipman Bers\|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', pp. 180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref>~~ This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,		As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
	:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>		:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
	where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.		where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.

Hakan: /* Det röda överskottet */

2021-02-18T06:54:11Z

Det röda överskottet

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.54
Rad 181:		Rad 181:
	För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?		För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?

	As ''h'' approaches 0 in the [[limit ~~of a function\|limit]]~~, the last fraction can be shown to go to zero.<ref>[[Lipman Bers\|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', pp. 180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref> This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,		As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero.<ref>[[Lipman Bers\|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', pp. 180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref> This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
	:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>		:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
	where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.		where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.

Hakan: /* Geometriskt bevis */

2021-02-18T06:53:25Z

Geometriskt bevis

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.53
Rad 176:		Rad 176:

	Läs gärna vad {{svwp \| Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.		Läs gärna vad {{svwp \| Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.

			=== Det röda överskottet ===

			För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?

			As ''h'' approaches 0 in the [[limit of a function\|limit]], the last fraction can be shown to go to zero.<ref>[[Lipman Bers\|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', pp. 180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref> This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,
			:<math>\left\|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right\| = \frac{\|\text{Red Excess}\|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
			where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar\|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval {{math\|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.
			By the continuity of {{math\|''f''}}, the latter expression tends to zero as {{math\|''h''}} does. Therefore, the left-hand side tends to zero as {{math\|''h''}} does, which implies
			:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>

	=== Anteckningar från lektionen ===		=== Anteckningar från lektionen ===

Hakan: /* Geometriskt bevis */

2021-02-18T06:49:00Z

Geometriskt bevis

← Äldre version		Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.49
Rad 149:		Rad 149:

	==Geometriskt bevis==		==Geometriskt bevis==

	~~{{enwp \| Fundamental_theorem_of_calculus}}~~

	[[File:FTC_geometric.svg\|500px\|thumb\|right\|The area shaded in red stripes can be estimated as ''h'' times ''f''(''x''). Alternatively, if the function ''A''(''x'') were known, it could be computed exactly as {{nowrap\|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'').}} These two values are approximately equal, particularly for small ''h''.]]		[[File:FTC_geometric.svg\|500px\|thumb\|right\|The area shaded in red stripes can be estimated as ''h'' times ''f''(''x''). Alternatively, if the function ''A''(''x'') were known, it could be computed exactly as {{nowrap\|''A''(''x'' + ''h'') − ''A''(''x'').}} These two values are approximately equal, particularly for small ''h''.]]
Rad 175:		Rad 173:

	This implies {{nowrap\|''f''(''x'') {{=}} ''A''′(''x'')}}. That is, the derivative of the area function ''A''(''x'') exists and is the original function ''f''(''x''); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.		This implies {{nowrap\|''f''(''x'') {{=}} ''A''′(''x'')}}. That is, the derivative of the area function ''A''(''x'') exists and is the original function ''f''(''x''); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.
			''{{enwp \| Fundamental_theorem_of_calculus}}''

	Läs gärna vad {{svwp \| Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.		Läs gärna vad {{svwp \| Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.

Hakan: /* Bevis */

2021-02-17T10:18:43Z

Bevis

← Äldre version		Versionen från 17 februari 2021 kl. 10.18
Rad 146:		Rad 146:
	</html>		</html>

	=~~Bevis~~=		= Geometriskt bevis =

	==Geometriskt bevis==		==Geometriskt bevis==

Hakan: /* Öva bevis */

2021-02-15T10:50:02Z

Öva bevis

← Äldre version		Versionen från 15 februari 2021 kl. 10.50
Rad 203:		Rad 203:
	Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.		Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.

	[~~http~~://www.~~geogebratube~~.org/~~student~~/~~m14091~~ Här är GGB:n:]		[https://www.geogebra.org/m/RCVce5W4 Här är GGB:n:]

	Vad lärde du dig av denna övning?}}		Vad lärde du dig av denna övning?}}

	===~~uppg~~ 2===		===Uppg 2===

	Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330		Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330

Hakan: /* GeoGebra för facit */

2019-02-12T11:29:30Z

GeoGebra för facit

← Äldre version		Versionen från 12 februari 2019 kl. 11.29
Rad 225:		Rad 225:

	[https://www.geogebra.org/m/rskGXUhH Primitiv funktion - integral - areafunktion], Åke Eriksson har gjort en omfattande applikation som ger dig ökad förståelse. Dessutom kan den användas som ett slags facit.		[https://www.geogebra.org/m/rskGXUhH Primitiv funktion - integral - areafunktion], Åke Eriksson har gjort en omfattande applikation som ger dig ökad förståelse. Dessutom kan den användas som ett slags facit.

			= Anteckningar =

			<pdf>Fil:KonstigaIntegralerBeräkningar4.pdf</pdf>

	=Lär mer=		=Lär mer=