Wikiskola - Användarbidrag [sv]

Huvudsida

2013-04-19T19:55:22Z

Wedrawde:

__NOTITLE__
{{etta_top}}
{| style="color: black; background-color: #f9f9f9;" width="100%" class="wikitable"
| {{etta_v|
: Mest finns det i [[Fysik]], [[Matematik]], [[No]], [[Teknik]] här.
: Övriga ämnen hittar du [[Övriga ämnen|här]].
: Wikiskola skapas av lärare och elever - för lärare och elever!
}}
| valign="top" | '''Matte för grundskolan'''
* [[Tal_och_räkning|Aritmetik]]
* [[Bråk]]
* [[Procent]]
* [[Geometri_och_mätningar|Geometri]]
* [[Statistik]]
* [[matteverkstaden|Räknestuga för grundskolan]]

| valign="top" | '''No för grundskolan'''
* [[Ellära]]
* [[Luft]]
* [[Vatten]]

| valign="top" | ''' Matte för gymnasiet'''
* [[Matematik_1c|Ma1C]]
* [[Matematik_2C|Ma2C]]
* [[Matematik_3C|Ma3C]]
* [[Räknestugan]] Repetera!

| valign="top" | ''' Mer för gymnasiet'''
* [[Entreprenörskap]]
* [[Datorteknik]]
* [[Fysik_1|Fysik 1]]
* [[Javascript och spel]]
|}
:
{| style="color: black; background-color: #ffffcc;" width="100%" class="wikitable"
| colspan="2" | Det här är gratis. Det är fritt. Och det är bra. Det bästa från nätet är bättre än alla läroböcker. Vi är inte klara för det här är framtidens läromedel. Det kommer att bli för bokförlagen vad Spotify blev för skivbolagen. [[vision| ► '''Hur då?''']]
|-
| valign="top" style="width: 60%; background-color: white;" |{{etta_feature| Artikeln om [[Derivator]] kommer att ingå i kursen Ma3C. Den är den första sidan som använder mallar fullt ut. Det pedagogiska greppet är att börja med en intressant frågeställning och skapa ett behov av att lära metoder och begrepp. [[Derivator| ► '''Läs mer''']]
}}
:
{{etta_ruta|Nya bidragare!|Shima Javar, Åke Dahllöf, Lars Adiels och Alexander Persson har den senaste tiden gjort viktiga bidrag till Wikiskola.
Titta också på alla elevfilmer och presentationer:
* [[Innovation_och_samhällsnytta|Innovationer och Tekniska system]] - ett projekt med alla ettor.
* [[Bildspel,_EE12|EE12:s bildspel]]
* [[Elevbidrag_i_ny_sport-projektet]] }}
:
{{etta_ruta|Du kan hjälpa till|Vi behöver fler skribenter. [[Hur bidrar jag|Kom med och skriv här!]] Du kan skaffa ett konto direkt! Då slipper du också se reklamen till vänster.

Titta gärna på sidan [[Procent]] (för grundskolan) och visa vad du tycker genom att redigera eller diskutera.}}
:
{{etta_ruta|Jag gillar!|Det finns många bra bloggar och wikisar. Ett urval finns här: [[Länkar till undervisningsbloggar och wikisar]]}}
:
{{etta_3|Android teacher.svg|För lärare:|[[Tips om undervisning i en wiki]]
:Det finns många sätt att förhålla sig till eleverna. Många lärare går på känsla men vi har alla nytta av att dela med oss av våra erfarenheter. Här finns några anteckningar från en lärare som jobbat både på [[Mentorsskapet|högstadiet]] och [[Mentor|gymnasiet]].
Dessutom finns det en utförlig guide till hur man låter eleverna leda sina utvecklingssamtal: [[Elevaktiva utvecklingssamtal]]. En förföriskt progressiv idé.
}}
| valign="top" style="width: 40%; background-color: #fdebeb;"| {{etta_m|Vi jobbar på att snygga till sidorna för grundskolan. Det är länge sedan de skapades och sedan dess har det tillkommit många mallar som kan användas här.
}}
:
{{etta_3|Idea.png|Brainstorming|
# Just nu diskuterar vi [[Entreprenöriellt_lärande|Entreprenöriellt_ lärande]]
# [[Mellandagsmatte]]
# [[Nyskap - mellandagarna]]
# [[Nybörjarkursen]]
# [[Grundskoleprogrammeringskurs]]
# Eftersom grundskolans material och gymnasiets material har först ihop behövs det bättre portalsidor för matematik, fysik och teknik
}}
:
{{etta_3|Idea.png|Workshop|Jag undervisar gärna om hur man jobbar i en wiki. [[wikiworkshop| ► '''Läs mer''']]}}
<facelikebutton style="2" showsend="0"></facelikebutton>
:
<html><script id="WolframAlphaScript" src="http://www.wolframalpha.com/input/embed/?type=small" type="text/javascript"></script></html>
:
Besök oss på [http://www.facebook.com/Wikiskola Facebook]
:
[[File:Geogebra.svg|30px|link=http://www.geogebra.org/cms/]] Använd GeoGebra!
|}
<html>
<iframe src="http://wikiskola.se/javascript/skolnyheter.html" width="800" height="100" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no"></iframe>
</html>

Algebra 2C

2013-03-09T05:11:49Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> y = ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar ekvationen med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Lägg märke till att toppen på parabeln finns i punkten :

<math> (x=-\frac{b}{2a} , f(-\frac{b}{2a})) </math>

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstatera att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

och

<math> x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T05:10:36Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Algebra 2C

2013-03-09T05:03:36Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> y = ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar ekvationen med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

En annan viktig sak är att kunna skriva om parabelns funktion i
den här formen och se var parabelns topp har för x- och y-koordinater.

<math> y - \frac{(b^2-4ac)}{4a} = (x + \frac{b}{2a})^2 = </math>

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstatera att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

och

<math> x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T05:00:48Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> y = ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar ekvationen med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4ay = 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> och skriver om

<math> 4ay - 4ac = (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> 4ay + b^2 - 4ac = (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> 4ay + b^2 - 4ac = (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

En annan viktig sak är att kunna skriva om parabelns funktion i
den här formen och se var parabelns topp har för x- och y-koordinater.

<math> y - \frac{(b^2-4ac)}{4a} = (x + \frac{b}{2a})^2 = </math>

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstatera att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

och

<math> x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:48:08Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstatera att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

och

<math> x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:47:30Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstarea att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

och

<math> x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:46:38Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

man kan sedan konstarea att :

<math> x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} och x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära) rötterna så här :

<math> z = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:44:25Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>

<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>

D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.

<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :

<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära rötterna så här :

<math> x = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:43:19Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>
D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi subtraherar <math>b</math> från bägge sidor.
<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>2a \ne 0</math> :
<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

Nu är vi klara.

Ibland kan det vara bra att veta att man om reella rötter saknas D < 0
löser de komplexa (imaginära rötterna så här :
<math> x = \frac{-b\pm i\cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:39:22Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar <math>4ac</math> från bägge sidor och skriver om

<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>
D kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi adderar -b:
<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>-2a \ne 0</math> :
<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:37:43Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>
Vi multiplicerar båda sidor med <math>4a \ne 0</math>
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar 4ac från bägge sidor och skriver om
<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor
<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>
kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi adderar -b:
<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>-2a \ne 0</math> :
<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:35:48Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAChaLEAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICAAoWixAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1b747bNhL/nD4FoQ+HXWxsi9T/nLdFk7uiAZImQHKHw30pKIm2GUuiKlJeb9DHuXuSvtgNScmW7U32T5Oc10E2FMXhDGfmNzMkV5n+sC4LtGKN5KK6dPDYdRCrMpHzan7ptGo2ip0fvv9uOmdiztKGoploSqouHV9T8vzSmSVhMpvFeJRnLBr5LItHSZ6kozwnmEUsSGgWOQitJX9WiV9oyWRNM/YuW7CSvhIZVUbwQqn62WRydXU17kWNRTOfzOfpeC1zB8EyK3npdA/PgN3OpCvPkBPXxZN/vX5l2Y94JRWtMuYgrULLv//uyfSKV7m4Qlc8V4tLJ3Z9By0Yny9Ap9APHTTRRDUYpGaZ4ismYeqga3RWZe0YMlrp8Sf2CRUbdRyU8xXPWXPpuGPiRhHGvk+iOHTDJAwcJBrOKtUR407opGc3XXF2ZfnqJyMSlqmEKFKqWaLff0fEJS56qhtsGwJNGNoh175zPdsQ2/i2CSyNb6f7ltS3NL6l8T0HrbjkacHAw7SQYEJezRpw36Yv1XXBzHq6F1v18VPQSfKPQIxdwIm1uek81T8h/Ph6YLKrJB5IVU17T6G9yCgJ7y6S/ClFvY2aYXQokwSfUDP8jFCr9130xMHAtCDK/DU/BxK9z6m5L9H2bxPoxVpgFPs3Cgz9b6LidNKHyrSLDiQXmrZDj2Kl1PHiJShINOwxCiA2wghQHiCcQBMRBNGAcID8ALo4RqFuI+RFMOAjD8VI02EPmeAIYvjHjwyzEAXATL+NICYRBkE+CjyETUz5CCIJmbiEGCUeUAQBCmCSFo+JZuGFyA+h58XIhzXqkIwwEHowEfogniAPI09PxhEiIQo1P+zrUA9jvXRgSVDoohBrhhDVENE2moE+Rp7Wps9rvKpbtWOirMz7RyXqjS+AGvLRNu3Z/LSTFZ9MC5qyAgrFO+1JhFa00BFhBM1EpVDvRGLfzRtaL3gm3zGlYJZEH+iKvqKKrX8CatnLNrSZqOTbRqgXomjLSiKUicLdrFkUePBMNquGjjcY8IcDwWAgHDxHN8oVMIJayUC+aGRPTvP8pabYpgaw5JuquH7eMLqsBd9VYzoxNWfK2qzgOafVPwGsWoq2C+pLkElXfQnyY69fiGjyd9cSEIzW/2aNgFSFydj3SEKwG/ok9BIHXdsRL/TGQRBjD/s4IJHnQYmRGdWxFwXjIIxiQlwvCeMw0ZO6oZCMcRyGOHSjIPEJDgIrmq02HqJrtlV23ph6v+28lM9FsX1l9H9Ba9U2ZvcAybHRWv1YzQtmMGIiG0pztkzF+p0Fh2d5vb+uoefaFaRzY3cEuYHoAj3v2hTafpV6aRsq19C4hsLt0cbzzThOiKEwbWpbQwXwtUvrVMW9mtjtxXBpMprrdHHTZysNfl3p24qrV31H8Wy5VVVP+KUtU7aB0C5P/KV4Tid7GJsuWVOxooM0OLMVrbQROkB7zjJeQtcOdCah2l3/gAXYtzmbN6xfeGF2ZtZgZtQdovXgtWH1UyPKl9XqPWBhbwHTSb/KqcwaXmvMoRTKwJJtUZVzSaGK5MN5OgZB9UxXCzCP0qY5oxfp+Vl2kZ9DnLZqIcDtP//x3yWt0N8L2IlJxefADdIN2NRsBEWzlAvG1Hu2VoimYgUjr9tC8brgS1OJEF0h2ZYlgIhXokQ1bWDbxiRr0B//aWCjDK9VI/J22a2kKNByRfOG6QiQDQP1m4oikS3QUlQf2jlV8JIV1RhgyArteqMQK1gJnJEyUVC1JTDINnjIfiVmxWC9tjMwGYfWxBoOSKQfIC1vKredtcUbDH8iUhAt6gXVm1TcxQO9BuWGPjTcXou8E9zRyULvblHJK8OmpGuoz8AulZCwFWzvATPVdntvF9YlPNga6cMDzPBD/XANqQIH+mnG12xTjsCD/CNgl+7osg1YBbVkCRtmaTZxqssf5uFnnues2iyWVoBy4yFIp7XVFkElYzYEN1Nr0N5krgFCO8/c6qP00Ed47J+Cj+LORyR8BD5a1w1I02w6C/8NzrNr4HfmPkXgo/OelSlWdp+z69huYDP9wIG7ufpmD2IS2Hqj265qbf3o3tGPw+QqtS/czhUaWeijPa7b86petC6oO5sw+3YvK98d0vRkIR31kMb+I4T08x7S4KCnyL0vpJ8fFaQNlK87aH8JSB+Y68WOuR6QA148zGBDyH9hY32d+N/V+sf/s9Z3ih58U/TclDG/FLwyUZa0ylFlLjLeiuJ6Lipne7SmrrYcotiEKSUGftTThcSaqlU9GU0tHbV0aWoJs19BKQpH19TK7iTe4C0re5OtU+ehieq+yRwHnvFygB+cz2+BomRz3dsqdwjGP7fOL1aCt6weYHj2W2WnSHu84yUcPTKuNlgpNLRfwpGjkcycdg7PcEvGan14flO9b2gl9f28pRmcDe9o5TS9xcwDsV/bzqPDwpAEyfBPdDJ21yF/NIbvAT7aFpmTNfxteP92aWUf7Y8rrdylKj631e6MoguU9RtXXfi2b9JzWwLPqHneL5hpZllkdh6zxDNbLef3q5bA63SrZXY0sO6Tib6uenyw/ryV2fHk7INiGfTXgydg59nx2HlTG3s8e+PQO9HaOD8es++je3RCW5L9S7e82wvuXLp53/LS7c1sJpnSdje/YdQXbF//Rq6/ZPZCcvQ3cnfZ7Zjr5vN+y9M9k+4Z9jvg5n6z4w7eHNwR5JbFws7mdsoHu+XJ73lBkJ/wlmdxPNlq/4bglLLVvtn58ZgdzOy5O3+8vfuD+OB3/o/W7h+Ox+4H9wXeOIpPxtD50RylboH34zpZ3amE0mEJ1XcEwzLa9XdLKf1MKc26UlpYDqWdUtlSWt+vlGanXEqL48st/XFrdMLnrfJ4zH5bKQ3GZGcUn4wTquNxwsFdQzR2yWlavT4eq9+C/NFj20UefA2hP3bE3RcRf/mtFeqvZ+lFfn5GL7JzdAnn9os0u6D5RZbbUcNx130KWDi7/B7kv09dT9zTeeZTc8kaPtt+lt39nwynN3RHKhVt1Fv9O35k8hzIcv2YRG4SxYHv4iDRc+xmliS+G2E3ICQK/QgPvx4YWngy/BbVfPLd/fel7/8HUEsHCKNA+swOCQAAWzUAAFBLAQIUABQACAgIAChaLEBFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAKFosQKNA+swOCQAAWzUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAACmCQAAAAA=" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 </math>

Vi multiplicerar båda sidor med 4a
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>

vi subtraherar 4ac från bägge sidor och skriver om
<math> (2ax)^2 + 4abx = -4ac </math>

då ser vi att det fattas <math>b^2</math> för kvadratkomplettering - adderas till bägge sidor

<math> (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = b^2-4ac </math>

<math> (2ax + b)^2 = b^2-4ac </math>

<math> D = b^2-4ac </math>
kallas för diskriminanten. Om den är positiv eller noll så har vi en lösning.
Om den är lika med noll blir det en dubbelrot annars blir det två reella rötter.
Om diskriminanten är mindre än noll saknas reella lösningar.

Vi löser vidare så här:

<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi adderar -b:
<math> 2ax = - b \pm \sqrt{b^2-4ac} </math>

Vi dividerar med <math>-2a \ne 0</math> :
<math> x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Algebra 2C

2013-03-09T04:14:50Z

Wedrawde: /* Uppgift: Khan Academy */

Kapitel 1 i boken Matematik 2C innehåller 16 delar vilket rimligen bör ta omkring 16 lektionstillfällen eller fyra veckor i anspråk.
[[File:Binomio al cubo.svg|right|400px|Binomio al cubo]]

= Repetition =
Varför ska man lära sig algebra?

<youtube>Cq832vvq9PE</youtube>

== Mål för wikiskola på denna sida ==

Ett mål för denna kurs är att varje avsnitt om möjligt ska ha ett videoklipp med någon som förklarar, relevant länk till Khan samt en GGB el dyl som anknyter till bokens teoridel. Dessutom vore det fint med några egna övningsuppgifter och någon datorövning.

== Intro ==

'''Kuriosa:''' [http://www.google.se/search?q=3x^2%2B3x%2B3%3D5&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:sv-SE:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=sv&client=firefox-a&hs=aAn&rls=org.mozilla:sv-SE%3Aofficial&source=hp&q=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&pbx=1&oq=y%3D3x^2%2B3x%2B3%2C+y%3D100&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=29l3131l2l3711l5l5l0l0l0l0l221l843l0.4.1l5l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=26d2ec7e6f870a19&biw=1118&bih=595 Grafer på Google]

'''Algebraintroti boken på sid 3'''

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano Gerolamo Cardano] funderade över lösingen till följande ekvation

Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
x(8-x) = 25

Ekvationen har följande rötter:

x = 4 + rot(-9)
x = 4 - rot(-9)

Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:

8x - x2 = 25

x2 - 8x + 25 = 0

Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en [http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%288-x%29%20%3D%2025&t=ff3tb01 lösning] till ekvationen ovan

== Förenkling av uttryck ==

'''Sats: Distributiva lagen'''

a(b+c) = ab + ac

== Ekvationer ==

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

= Kvadrerings- och konjugatregler =

== Parentesmultiplikation ==

=== Multiplikationen är både algebra och geometri ===
<html>
<iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/14577014" width="342" height="291" align="right" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen> </iframe> <div style="margin-bottom:5px"> <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig/gnger-med-bilder" title="Gånger med bilder" target="_blank">Gånger med bilder</a> from <a href="http://www.slideshare.net/HkanElderstig" target="_blank">Håkan Elderstig</a> </div>
</html>

Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?

'''Först inleder vi med ett exempel med siffror'''

En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. [[Media:Ganger_med_bilder.ppt|Gånger av tvåsiffriga tal ]]visas med hjälp av bilder. ''Detta är [[Övningar_tal_och_räkning_6B|ett exempel från grundskolan]].'' Det syns till höger.

exempelvis
12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6.

'''Repetition aritmetik:''' Pappersövning i [[Media:Skriftlig_huvudrakning_ovning.doc|skriftlig huvudräkning]].
{{clear}}

=== Och nu med bokstäver ===

[[Fil:Abcd.png|thumb|(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]]

Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
<ggb_applet width="796" height="511" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
[http://www.geogebratube.org/student/m3460 Hela filen kan laddas ner här].
 
 

=== Bevis som utgår från distributiva lagen ===

x(c+d) = xc+xd

Antag att x = a+b och sätt in i uttrycket ovan.

(a+b)c+(a+b)d

c(a+b)+d(a+b)

ca+cb+da+db

ac+bc+ad+bd V.S.B.

Läs om [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=668&lang=arabic&no_cache=163542237# distrributiva lagen på wwebbmatte].

{{Khanruta|Hitta faktorerna till ett uttryck:

[http://www.khanacademy.org/math/algebra/quadtratics/e/solving_quadratics_by_factoring solving quadratics by factoring]}}

== Kvadreringsregeln ==

{{:kvadreringsregeln}}

== Konjugatregeln ==

{{:konjugatregeln}}

=== Diagnos 11 ===

[[Lösningar till diagnos 11]]

'''Rättelse:''' I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer.

== Ekvationer med x2-term ==

'''Repetition'''

Uppgiften från förra lektionen att göra Khan ett tagskulle kunna vara en vettig repetition av föregående vecka.

=== Intro ===

Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.

=== Räkna uppgifterna: 1245-1258 ===

* Uppgift 1251: Här gör du skissen i GeoGebra.
* Uppgift 1257: Läs om en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Ellips_%28matematik%29 Ellips på Wikipedia].
** Pröva att göra en ellips i GeoGebra. Ledining skriv in ekvationen (x/a)^2+(y/b)^2=1. Välj själv värden på a och b.
** Sök på Ellipse på GeoGebraTube.org. [[Inte ett facit till ellipsen]].
** Titta på en ellips i Wolfram|Alpha. Skriv in en formel eller skriv ordet Ellipse. [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F2%29^2%2B%28y%2F11%29^2%3D1 fuskväg]

= Andragradsekvationer =

Vi repeterar föregående avsnitt genom denna övning:

=== Övning: Pascals triangel ===

Gör övningen på sidan 24-25. Titta även på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel Wikipedia om Pascals triangel].

'''Inlämning:''' Vi gör övningen på uppkopierat papper med inlämning och rättning.

När du är klar med uppgiften jobbar du med Khan Academy. Länkar finns på föregående avsnitt.

'''Lösning:''' Så här utvecklar du [[Pascal-algebra|(a+b)4]]

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

'''Länkar:'''

Här finns lite om [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html Pascals triangel] och[http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html idéer om triangeln]. Här finns [http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html trianglar att skriva ut] m.m.
Illustration av normalfördelning finns [http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html här].

== Enkla andragradsekvationer ==

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

== Kvadratkomplettering ==

=== '''Uppgift:''' Khan Academy ===

Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

''' Härledning av rotformeln '''

<math> ax^2+bx+c = 0 </math>

== Fullständiga andragradsekvationer ==

=== pq-formeln ===

http://www.youtube.com/watch?v=eQZEtWY_4kE&feature=g-all pq-formeln

x2+px+q=0
x=-p/2+-((p/2)2-q)0.5
 
<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
 
 
Se en film med Michael Bondestam:
<youtube>eQZEtWY_4kE</youtube>
 
'''Räkna själv'''

'''Lösning:''' 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.

Mario om nytan med andragradsekvationer:
 
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
 

== Andragradsekvationer och rötter ==
[[Fil:Exempel1_sid_35_Ma2c.PNG|300px|right|CC By --[[Användare:Hakan|hakan]] 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)]]
En andragradsekvation kan ha
två reella rötter ''eller''
en dubbelrot ''eller''
två komplexa rötter

Detta är på sid 35-37 i boken.

'''Diagnosen'''

Resultatet på diagnosen var inte bra. Ni behöver räkna mer! Från och med nu gäller ett beting för varje lektion. Det är uppgifter som ni måste göra och visa upp. Om ni inte har godkända upvisade uppgifter från någon lektion måste ni gå på extramatten. Betinget är att göra alla svarta uppgifter.

Genomgång av diagnosen: [[Facit till Diagnos 12]]

== Komplexa tal ==

=== Teori ===

Roten ur -1 = i.
i2 = -1

Imaginärdel, realdel

z = a + bi

'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Komplexa rötter ===

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x2 = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x2+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

== Rotekvationer ==

'''Teori'''

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

'''Berätta om SI'''

Vi har SI-lektioner på onsdagar 16.30.

'''Supplemental Instruction'''- möten är ett komplement till övriga undervisningsmoment som föreläsningar och övningar. På SI-möten som hålls av en äldre elektroteknolog får du möjlighet att lära dig att bearbeta kursinnehållet för att öka förståelsen. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan en mötesledare för studenterna. På SI-möten lär sig studenterna att själva arbeta med kursen med målet att öka sin förståelse. SI-ledaren är i detta avseende inte en lärare utan snarare en mentor för studenterna.

Meningen är att studenterna med hjälp av SI-ledaren lär sig terminologin inom ämnet, att själva prioritera inom kursen och att angripa problem. Målsättningen är att denna träning skall ge studenterna en metodik som de kan ha stor nytta av i senare kurser. Supplemental Instruction är ingen stödundervisning utan syftar till att förbättra alla studenters studieteknik och analytiska förmåga och därmed förbättra studieresultaten.

'''Film'''

Rotekvationer med hjälp av substitution kunde vara ett alternativ att titta på.

== Problemlösning med ekvationer ==

=== Professionell matte ===

Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.

=== Vad ska man ha andragradsekvationer till? ===

De används i spel till exempel.

* Wikipedia om projectile motion
* [[Programmering_och_simulering#Fysiken_bakom_spelen_-_inspiration_till_matten|Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat]]
* Det finns [[Flashexempel_för_undervisning:_Två_bollar|ett exempel med två bollar som faller]] och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.

=== PhET ===

 
<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
 
 
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på [[Laborationer_i_Fysik_A#GeoGebra|tyngdacceleration]].

=Ekvationslösning med faktorisering =

Måndagslektionen kommer att vigas åt utvärderingsåterkoppling och jag hinner blott gå igenom lösningen till Diagnosen.

Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
* [[Facit till Diagnos 13]]

På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.

== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ==

Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Vi kör samma övning som i måndags ävan idag.

Avsluta med att ge nästa lösblad som läxa .

== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ==

Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.

== Faktorisering och ekvationer ==

Onsdag

Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.

'''Dagens beting:''' 1426-1430

== Dataövning - konsekutiva tal ==
[[Fil:Fredrik_problem_konsekutiva_tal.jpg|300px|right|Fredriks lösning.]]

'''Del ett''' (n-1)(n+1)+1

'''Del två'''

Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%2B1%29 Wolfram|Alpha] har en lösning men ingen förklaring.
* Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser [[Media:Konsek_he-13022012163805.pdf|min lösning ut så här]].
* [[Media:Tanja_konsekutiva_tal.pdf|Tanja]] löser uppgiften genom att pröva.
* Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
* [[Media:Konsek_charles-13022012163848.pdf|Charlie i NV11]] löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...

== Prov tisdag vecka 7 ==

'''Diagnos 14'''

* [[Media:Veckodiagnos14.pdf|Diagnos 14]]
* [[Media:Veckodiagnos14-Facit.pdf|Diagnos 14 Facit]]

'''Repetition på fredag och måndag'''

'''Uppgift:''' Khan Academy

# [http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.
# Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

'''Uppgifter'''

* Läs sammanfattningen på sidan 54.
* Gör Test 1 på sidan 55.

'''pappersövningar'''

# Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
# Faktorisering: finns bara på papper
# [[Media:Öva_konjugatregeln.pdf|Öva konjugatregeln]]
# [[Media:Öva_kvadreringsreglerna.pdf|Öva kvadreringsreglerna]]
# Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
# [[Media:Öva_pq-formeln.pdf|Öva pq-formeln]] Senaste tillskottet

'''Provet''' skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).

== Omprovet ==

Vi räknar klart det gamla provet (åtminstone E-uppgifterna) på extramatten och i slutet av lektionen gör vi ett förenklat prov med E-del för sig och C/A-del för sig.

Så får vi se hur det går.

Konjugatregeln

2013-03-09T04:08:19Z

Wedrawde: /* Uppgifter */

=== Konjugatregeln ===

Så här ser den ut:

a2-b2 = (a-b)(a+b)

utför multiplikationen:

(a - b)(a + b) = a2 + ab - ba - b2

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

(a - b)(a + b) = a2 - b2

V.S.B.

=== Konjugatregeln med <math> <math>\LaTeX</math> </math> ===

Så här ser ''beviset'' ut med LaTeX:

<math> (a-b)\cdot(a+b) </math>

<math>= a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math>= a^2-b^2 </math>

<math>\blacksquare</math>

Tips för dem som upprätthåller Wikisidorna ( skriv såhär i Wikitexten och googla typsättning med TeX för råd ):

<math>(a-b)\cdot(a+b)</math>

<math> = a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math> = a^2-b^2 </math>

<math> \blacksquare </math>

=== Film ===

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>

=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===

'''Första beviset'''

[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]

'''Andra beviset'''

[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]

'''Visualisering'''

[[Fil:Konjugatregeln.gif]]

Här gäller:

<math>(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 </math>

Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

<math>(a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 </math>

<ggb_applet width="962" height="463" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Uppgifter ===

'''Övningar (utan räknare)'''

1. <math>1992\cdot 2008 = ?</math>

2. Lös <math>x^2-1=0</math> för alla reella x.

''Tips : Använd konjugatregeln och nollregeln för ekvationen.''

{{khanruta|'''Khan: Parentesmultiplikation'''

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.}}

'''Webbmatte'''

* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:14:44Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{55\cdot 11}\cdot x\cdot (x-110) </math>

<math> = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och föremålet har en hastighet med en riktning.
Då kan vi se utgångshastigheten för föremålet som en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Vi kan nu räkna ut avståndet till kastets nedslag:

<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

I denna form ser vi att ett idealiskt kast flyger längst om utgångsvinkeln är 45 grader, upp från marken, med övriga parametrar oförändrade.

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:13:10Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{55\cdot 11}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och föremålet har en hastighet med en riktning.
Då kan vi se utgångshastigheten för föremålet som en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Vi kan nu räkna ut avståndet till kastets nedslag:

<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

I denna form ser vi att ett idealiskt kast flyger längst om utgångsvinkeln är 45 grader, upp från marken, med övriga parametrar oförändrade.

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Diskussion:Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:12:07Z

Wedrawde: Skapade sidan med 'Hoppas ni övriga redigerare av detta material kan godkänna dessa funderingar.'

Hoppas ni övriga redigerare av detta material kan godkänna dessa funderingar.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:10:42Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och föremålet har en hastighet med en riktning.
Då kan vi se utgångshastigheten för föremålet som en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Vi kan nu räkna ut avståndet till kastets nedslag:

<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

I denna form ser vi att ett idealiskt kast flyger längst om utgångsvinkeln är 45 grader, upp från marken, med övriga parametrar oförändrade.

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:07:32Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Vi kan nu räkna ut avståndet till kastets nedslag:

<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

I denna form ser vi att ett idealiskt kast flyger längst om utgångsvinkeln är 45 grader, upp från marken, med övriga parametrar oförändrade.

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T01:01:10Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 
<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T00:58:48Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen i (55,35 ) av symmetriskäl, ty parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 
<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T00:58:30Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen i (55,35 ) av symmetriskäl, ty parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 
<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T00:57:57Z

Wedrawde: /* Uppgift */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen i (55,35 ) av symmetriskäl, ty parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math>

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Om man vet två nollställen för en andragradsekvation <math>{x_1, x_2}</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2) </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 
<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Tips: Parabelns bana

2013-03-04T00:54:57Z

Wedrawde: /* Parabel med tre givna punkter (0,0), (110, 0) och topp ( ?, 35) */

==== Uppgift ====

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen i (55,35 ) av symmetriskäl, ty parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.

<math> y = ax^2 + bx + c </math>

Om man vet att toppen på en allmän parabel är <math>(x_0, y_0)</math> kan dess funktion skrivas som : 

<math>y - y_0 = a(x - x_0)^2 </math> (bortse från de sista termerna)

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

<math> y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) </math>

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

<math> -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} </math>

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

<math> y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x</math>

''' Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik '''

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft.
som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar
längs markens plan kan vi utnyttja [http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_r%C3%B6relselagar dynamikens grundlagar]
och göra en bättre modell för banan.

'''Rörelsens vektornatur''', gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning.
Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften
som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot
gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

<math> v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) </math> 
<math> v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t </math> 

<math> x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t </math> 
<math> y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} </math> 

Kastbanan når sin höjdpunkt då

<math> v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

<math> y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} </math> 
<math> x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g}</math> 

Kastbanans topp är vid h. 
<math> h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} </math> 

<math> v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} </math> 

<math> t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} </math> 

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.

Funktioner 2C

2013-03-04T00:47:35Z

Wedrawde: /* Linjära och exponentiella modeller */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIqJikAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACACKiYpAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVY247bRhJ9dr6iwWdL6jtJQ+NAk4WxBiZxgPEuFvvWJHuk9lAkl6Q0kpHfyZfsj211N0lR0lieSxJgg4z7Vl3VVadu1PzH3TpHW103piyuAjLFAdJFWmamWF4Fm/ZuEgU/vv9hvtTlUie1QndlvVbtVcAtpcmugkSFklCeTaIklhMeSzGJYhzBUogM8zAVcRYgtGvMu6L8Ra11U6lU36YrvVY3ZapaJ3jVttW72ezh4WHai5qW9XK2XCbTXQMM4JlFcxV0k3fA7ujSA3PkFGMy+9fPN579xBRNq4pUB8iqsDHvf3gzfzBFVj6gB5O1q6sgpjJAK22WK9BJcBGgmSWqwCCVTluz1Q1cHS2dzu26ChyZKuz5Gz9D+aBOgDKzNZmurwI8pYwQTAQhURhjMFAUoLI2umg7YtIJnfXs5lujHzxfO3MieYDasswTZVmi335DFFOM3tqB+IHCIKU/wn4PMz9QP3A/CE/D/XXuSbmn4Z6GswBtTWOSXF8FdypvwISmuKsBvmHdtPtcu/d0Gwf1yVvQqTFfgZhh8BNvc9jH+K39k/DH7cHsWEkyktrWm2cK7UXKOH66SPoakawXSQk/F0nFN7SUF4zr3/AUNYkYWRZEuf/d35lERp8h0a9fJ1Dyv0TF+ayPlHkXHKhZWdoOyVavGxsuLEYitl5PkIDQkCE4uUAkhiGkCIIBEYG4gCWJkLRjiFgIBxwxFCFLRxhysSEi+IeHjplEApjZ3RBCEhEQxJFgiLiQ4ggCCbmwhBClDCiEQAIuWfGEWhZMIi5hxSLE4Y02IkMChAwuwhrEU8QIYvYyCRGVSFp+hNtIl5F9OrCkSGIkiWUIQQ0B7YMZ6CPErDayM5cpqk17ZKJ0nfXTtqwGLIAa0tEh6/n0dJQU38xzlegc6sStRRKhrcptRDhBd2XRoh5E7veWtapWJm1uddvCrQZ9UVt1o1q9+wDUTS/b0aZl0fxal+1PZb5ZFw1CaZnj4c1lTkZzOrwaFmx0wMcHYnQgR/PwUbklnKBNo0F+WTc9ucqyj5bikBrAkp+KfH9da3VfleZYjfnMlZy53qS5yYwq/gnOaqVYu6C+Arls1VcgFon+IWWd3e4b8GC0+7euS8gxsZyyWESYS0FkFIUB2ncnAqoxDSEJhYJyyuxRkyobewJPGWc45hxTyQiH0No/fkTjDie9HRBSOz0ov6xtYHeK28XH5rrMD1tO/Z9U1W5q1ztAiNZWqUWxzLVzERfYUJjT+6Tc3XrfYJ7X532l7RX3gGTpzI5qqxlU5GU3Jn50NPZlAxV2NNhR4N7ZTDack5g6CjcmfnRU4L3+aZ2mpFeT4F6MaVxCw8FR2DjXt2V+U5j2pl+0Jr0/aGrpf9msEz040DFL8gexnM9OHGx+r+tC550/A5KbctP48By5eqZTs4alP+gMoixY/4AH+N1ML2vdvzt3XZk3lzvFY1c923asPtTl+mOx/QyecPKA+ax/5bxJa1NZh0MJ1IB7ffCpzDQKSkg2vmcDEFRPbakA87TWNBCam3ZV1q7xgowCo427XK+hy0Ktcy64Z9LBzKnr36w9UZl8gaR2AsPIUHB+8EfMj3wNqbxaKdvkdVrnaq/rIzs4hj+X2al1wPhOBQjxyoNbae3dou2iAVXAzgXT6DkHn20hm95Dxwi+IEaX7OTvJsu0q6Q+pM1SF1vQEpIZtOLYPxjtcdfxf+0nO0isEzfbk47oK/FnjhG8uTY7tAD6CTS2AVr0ZAva31ywfov3EzFiof9T+Oc33q31rspNatrOlT1mZ+hZrQdw4H4NG1/0d0A8BN0Yw3G2IIK9AEPyOIZ4+nQUXdA0aNcj0QMBLjY84yVAv8i4LnUPVvtQ3m+aV1vWZew/1bLkqZZlnWUHF3T62gLkhYrx7kkeGxstLddrVWSocF3sr85oh65KYZtVvE02bb+z8Ey6q9+x/OJFVu9rJMH0j85KL7M7n1L4T2ApcRiFPCQOBTqlEQ3he0hyKuBz1X6TXAAlfhwUehmUv5nug/8YlwWYhPSefQqR2jbtf38vssVw/G28is1a16MycnLXfburfNM9lp+ozC+HzBg4clnPW720+89S87JmTcdx0OzVGeAlfkhPfQmqTEhCKuKYCXClOLS/noA3TR5xMutNdCqlDAWJI8ok5YRdyKX0ebnUrA+51Fk2tzHwsWihG9OuHTlvsu61rmxv+6n4XKuisT+eeZpR8/YNiD/V0NEsy0LlN7b2PYr0bgHN5BnSyWWkj0ppcg5z/zl+sRF6LdD4DGjSZWvcZetzgP8UJL8NwIDsie0P3YfDIDmz//Vzcv71i+JM+jbUDokfXo/A42l7Qr9TPdmLqufFBHZ9ZtLseckr+wuT16e7u0a31oCMe4sR+rTcdloe2JH/T0g0xRGNMAVEqIxh/n+Uy2bjzzT3U0j3q/77/wFQSwcIg6ng8SEHAAByGAAAUEsBAhQAFAAIAAgAiomKQEXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACACKiYpAg6ng8SEHAAByGAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAALkHAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

Ibland tex inom fysiken vill man utgående från en del mätvärden hitta en modell. Om mätvärdena verkar bilda en
exponentiell funktion brukar man ta logaritmen av y-värdena för att linearisera grafen.

Ofta används antingen naturliga logaritmen (''ln''=''loge'') med Nepers tal e=[http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil 2.718281828459045...] som bas eller
logaritmen (''log''=''log10'') med 10 som bas.

lineariserad exponentiell: <math>log_{10}(y) = log_{10}(a) \cdot x + log_{10}(y_0)</math>

När man sedan hittat kurvan tex med lineär regression får man höja basen 10 i de funna värdena.

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1stVjrb9s2EP+c/hUHfUqGRBb1VmG3SIsVK5Y+sHTDsA8DKIm22ciSJtGPFP3jd0dKtmy3WR6dU/tE8niP3z1IdfxysyhgJZpWVuXEYrZjgSizKpflbGIt1fQitl6+eDaeiWom0obDtGoWXE0s33at3T4c2a5Hm2U+sUKRO4EzjS+4iz++G2cXaZQHF26W+WniRNMgSi2ATSufl9V7vhBtzTNxnc3Fgl9VGVda5lyp+vlotF6v7V67XTWz0WyW2ps2twAtL9uJ1T08R3F7m9aeZncdh43+fHdlxF/IslW8zIQF5NVSvnh2Ml7LMq/WsJa5mk+sJAksmAs5m6OboRNbMCKmGn2tRabkSrS4dTDUPqtFbWk2XtL6iXmCYuuOBblcyVw0E8uxWeInkR9HvhexOEjcxIKqkaJUHTPrlI56ceOVFGsjl560St9JIoyBbGVaiIk15UWLbsly2iCkaFGzxGGrbguR8qYf7wxi5/iHDPKLIFkYO4MDIhB45yxJziPHOQ8Cx9gyVGyBqqpCS3UgSODrV3Ad14FzIswQF0kYmiXHzDmeIa4hviGB4fHNdt+w+obHNzy+d4ef3XjnaDex52nvpzf0k6F/9A3xqwE48DMe+MnIia/AyHpNPCC7mbafiN8NQzOMNGGOIaxbjOlH4xU+0SPvUR6xgVaTDw9R2quMwuT+Kt2nqNx6iQVzrNINvuPlE8HdKg0G0KIu/U9/j1R67kNUHpXiIzSG/lNq/xEKI2ev7PuaN5R19C4YfphR41HfDcedQdDOibfLLyUWLZnoJbo5AYMAizeMsJcEwBIkERWxCywAP8AhiyEkGoFHdeuDBzEQH/NAt6Agxh9f13QIAcqiycgUN3g+BB4w3bh8QBRANz/ExPWQIwggwE2knZFaLwQ/xIEXg48GUtuLqLV4uA/HqNwFj4FHe1kEbgihCxG1TuZTRw1jsh2FuhA6ENJW7J3YN03PxB0xeOQNVkFdtXIL7lwU9TYqGkdZ1ku1h122yPtHVR1w51V28+oAa8Fb1T8jEx5Yu3PRHGB7x+bJuOCpKPBycU1pALDiBVW5lj+tSgV9Crhmbtbwei6z9loohbta+MxX/IorsXmD3G1voFatT/OxWGaFzCUv/8AcIREkEPrDXbeu/nD3g05zVlVNfn3bYuLA5i/RVNi2IjsOhx8st1uzhBcaOxl+MG8zThnPPNsbfhD0227JDe19cZ1qsdq6xjei7bGcNVRyHfo0eNu+qordVF3JUr3mtVo2+qaGjbIhpy7LWSE0tjrkeOfJbtJqc21A9YysT7c1jhxjQDp7XRVVA1iQboA3n1lHU0M1D1m25XI0j6M5nD5KMt+us8TVHJqmhmouDLsxrfOU9W4yp1cjW91qUPgwyXTO0A1qWUp11Q+UzG52nhL/++UixXTrtu2LZD9I5Hh0kGDjG9GUojBpVGIkl9WyNXm9zc2T8bIVH7maX5b5b2KGBfmRU09UKNqw7izORSYXuNHMd9BxCuvvaKqZzcWsEb2Hhb4aG2D1qjNM6qNpLepNUy3elqtPmDMHpo5HvT/jNmtkTakJKTbpG7HLvly2HFt8PtyHzrfoRUbtBoFUBOIrMa2KmxJFWMCXal5hevxs/4oCsIIxaeEdRwBcBxOTKndTN6KlFwoTHkDx2GE21IZON2cwgdD24Sc4De0YRjQ4+/t0Q09n2gJRiAVeoUHp9J4uS23LNtZTfT+noEKVfsaWdJALuxDg8lFN9PkOvKjnnO7wHZ4FvxXNHsJa3ofptBUKNugl9uHbiXURuoPld1UuDiKMUdfYYReq9TsCZmAthMld1ZUs1KhPV/wguXaFpbBX3uAbQ6vvXdtN9PCLzHOhDwKTxQasI9hI1hYS/ijIhg1Cw/dgyLAva8i85P+CTBdHS7rIKlKmX32/oFK2s/PBuGI//6c0W1rTRzB9C5lJdYh6Vi0WvMyh1FejtyW1AgTY2h3L3NH5zxnFAbg7sU5932ZhHCcBvqN6ScICHy8FzlkXgqXqt10abZ2Ooxjrw2MbxMtHBTmMdZSJpIbcM8q7MDqHoTh2z0TG6ULDetHaATrT9u4PZvag4X0f8w8NNqRZVfLiinJ+H/hLA/zmEs+PI3jTu+HdK6H0P9Ad5OT3auj+TecObC9Yl+c9mN8A+x5Jz4J7Zb1cfDvrR8NTQt/Zuv/ZefEvUEsHCJcuL8RmBgAAiRIAAFBLAQIUABQACAgIAMazY0LWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAxrNjQpcuL8RmBgAAiRIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAD9BgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-04T00:43:38Z

Wedrawde: /* Linjära och exponentiella modeller */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

Ibland tex inom fysiken vill man utgående från en del mätvärden hitta en modell. Om mätvärdena verkar bilda en
exponentiell funktion brukar man ta logaritmen av y-värdena för att linearisera grafen.

Ofta används antingen naturliga logaritmen (''ln''=''loge'') med Nepers tal e=[http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil 2.718281828459045...] som bas eller
logaritmen (''log''=''log10'') med 10 som bas.

<math>log_{10}(y) = log_{10}(y_0) + log_{10}(a) \cdot x </math>

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-04T00:39:13Z

Wedrawde: /* Linjära och exponentiella modeller */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

Ibland tex inom fysiken vill man utgående från en del mätvärden hitta en modell. Om mätvärdena verkar bilda en
exponentiell funktion brukar man ta logaritmen av y-värdena för att linearisera grafen.

Ofta används antingen naturliga logaritmen (''ln''=''loge'') med e som bas eller
logaritmen (''log''=''log10'') med 10 som bas.

<math>log_{10}(y) = log_{10}(y_0) + log_{10}(a) \cdot x </math>

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-04T00:37:46Z

Wedrawde: /* Linjära och exponentiella modeller */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

Ibland tex inom fysiken vill man utgående från en del mätvärden hitta en modell. Om mätvärdena verkar bilda en
exponentiell funktion brukar man ta logaritmen av y-värdena för att linearisera grafen. Ofta används antingen
naturliga logaritmen (''ln''=''loge'') med e som bas eller logaritmen (''log''=''log10'') med 10 som bas.

<math>log_{10}(y) = log_{10}(y_0) + x \cdot log_{10}(a) </math>

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-04T00:28:54Z

Wedrawde: /* Exempel 1 */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T22:10:28Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFO5j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACABTuY9AAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1Xba/TNhT+DL/iKJ9Aom0cOy9FLWgwoSFdYNJl07QPk9zETc1N4yh2+jLx43dsJ2l6gQnGNE2i2M45Pi+Pz3Psu3p+2ldwEK2Wql4HZB4GIOpcFbIu10FntrMseP7s4aoUqhSblsNWtXtu1gGzmrJYB8mWU8GKcMbyLZ0xmi9ny4jQWZ6wghQbLjZFFgCctHxaq7d8L3TDc3Gb78Se36icG+d4Z0zzdLE4Ho/zwdVcteWiLDfzky4CwDBrvQ76yVM0d7XpSJ16FIZk8dubG29+JmtteJ2LAGwKnXz28MHqKOtCHeEoC7PD6BkGtxOy3GFOMcHFwio1CEgjciMPQuPWydLlbPZN4NR4beUP/AyqMZ0ACnmQhWjXQTiP0iWNwmWWJjGjEQlAtVLUplclvcvFYGx1kOLordqZc8gCMEpVG24NwsePEIVRCE/sQPwQ4ZAkXhT6byH1Q+QH5ofY6zC/nXlV5nWY12E0gIPUclOJdbDllUYAZb1t8fDGtTbnSrh4+g+X5MkTzEnLP1GZhlglHnH8HoZP7C/BH7OCxXWSZOLVtN03Oh1csph9vcvoe1zSwSXJyKcuo/gLWSZ/A66P4WvSJPEEWXTl/rnfJx5p9A0e/fr7HCbsP0lxtRiYsurJAXpndfuTNGKvLV3oEuKlrXoCMVIjSbHIYyBLHNIIkAxAYmAxLkkGiR1ToCkKGFDIwOoRCo4bcYb/sdQZSyBGY/ZripQEgo4YxBSIoxQDJBI4WiJFI4oacQwxbrLuSWRN0ARYgiuaAcMYLSNTgooUN+Ia3UdACVC7maQQJZBYe4RZpieZDR1NRpCEkBBrEEmNhPZkRv0MqM0m6eGSddOZK4jyfTFMjWrGs0BtbEeXnufb01VLfLCq+EZUeEvc2pMEOPDKMsI52qrawHCIzH8rW97sZK5vhTG4S8MHfuA33IjTK9TWg2+nm6ta/9wq81JV3b7WALmqwjFmVZHJPBqjxgWdCNhUEE8EyWSeftavQgl0WqB/1epBnRfFa6txaQ2I5Lu6Or9oBb9rlLxOY7VwF85KdHklC8nrX7FYrReLCwz3j+tWw/1D42wIRLXF7VljBcPpd9Eq7FQ0mmPlpzRjIYnTdBnA2UsoofMoi9KQoQib/tL2pZxb7sXpnJLlMg2zZEmWaYrUOn9R5DyLw3hA/CTG3MtWFtP5a/1CVcWIhEv+JW9M17p3Azac1qb0Q11WwhWIozVeyvndRp1ufWVQb+v9ucFV6P1vSgc6tJb+VgGNhQjRZtSwYY06odMIp3Jr8p6chJHTsKPTwbr1YfVJkiFDMjqR2rWyMLgijCt6e713tTQ3w8LI/O6SpdV/2+03Yiyda5Pk3zDpFH6U/nnj322u5u5V2+pOtLWo+uLGc+1Upz1XJ3VfiFzucekFPUbcnt0vGJP/WoiyFUMqlXugeQSdNJzW7SefnalXrdq/rg/vsTDuBbBaDFGudN7KxpYfbPBCuBOXEiuk5nifFNN9lo2IRm7vDQTEWLSQp53Zqda9wbC94GhJeGpaoe0b1+MNaAYfuifb8x6dHsMa2B84OquiEnt8noFxdbntamd/PKite/nZEwG1+YAN8d5BXk4cxWMhuiKelCrwqtlx+zrsMar4WbRXqDl777ZbLQyc8FLFTed1MIvpRPxGFT3UZIAaT9Lhgc2jsfZt+TRC+MIzPdegQX+OqpMyuLDCYKe+w9coVls62WQnP8miEHXvD+vNg/V5iMse4tJD/IjAAtjjrwW6/EdAO66PQLvVN0NNeqij6P8J9WJa+O6m6f9kevYXUEsHCPm9M6tCBQAAzw0AAFBLAQIUABQACAAIAFO5j0BFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAU7mPQPm9M6tCBQAAzw0AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADaBQAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T22:08:40Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIALK7j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIALK7j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVhbb9s2FH5uf8WBnrahsUld7cJukWYoWiDtCqQbhj0MoCTaZiOJgkj5UvTH75CUZDnJ2qTdigZNeDs8l+/cqC6e78sCtrxRQlZLj06IB7zKZC6q9dJr9eps5j1/9nix5nLN04bBSjYl00svNJQiX3pZsgpXs4ScZXHKz0KW0bM0yfFeOichp1GQsdwD2CvxtJJvWclVzTJ+lW14yS5lxrQVvNG6fjqd7na7SS9qIpv1dL1OJ3uFDFDNSi29bvIU2Z1c2gWW3CeETv98c+nYn4lKaVZl3ANjQiuePX602IkqlzvYiVxvll5CZh5suFhv0KYojD2YGqIaAal5psWWK7w6WlqbdVl7loxV5vyRm0ExmONBLrYi583SIxM/CMM48JN4FsQ0mvkeyEbwSne0tJM57bkttoLvHFszsxJDD7SURcoMR/j0CXziE3hiBuoGH4c4dkfE7ZHADb4bQjdEjiZ010NHGjqa0NGEgQdboURa8KW3YoVCBEW1atB7w1rpQ8GtPt3G0Xr6BG1S4iMSBwTDxEGO+4Q8Mb8x/obmYHpqJB1J1U37QKG9yMif31+k/y0ig14kjePbIv3oX6yMPwOu0+E+ZtJohCyKsv/s7y2Jgf8AiW79bQLj8LuYuJj2mbLokgPUxtB2ntS8VCZdgjlEcxP1FCJMjTjBII+AznFIfMBkABpBGOGSziA2YwJBggchBDADQ0cDsLkRzfBPmFhmMUTIzOwmmJJAUVAIUQDUplQImEhg0xJT1A+QIoogwktGPPUNiyCGMMZVMIMQdTQZmVAkDPAirlG8DwGFwFymCfgxxIYfDU2mxzOjOrL0ISYQU8MQkxoT2iUz0s8gMNb0VU1UdatPIMrKvJ9qWQ++QGosR8ei58rTSU18tChYygtsE1fGkwBbVpiMsIJWstLQOzF0e+uG1RuRqSuuNd5S8IFt2SXTfP8SqVUv29JmslLvGqkvZNGWlQLIZEEGnWVBR3N/0BoXweggHB9Eo4N4NE/ulCvxBFrFUb5sVE/O8vy1oTiWBkTyt6o4vGg4u66lODVjMbUdZ8HbrBC5YNUfGKxGisEF+gZkq1XfgIJZ3Csim/zqoDCCYf8Xb+TSm2PHHf9gih3cSRDOJvPxDx6pjJnci8jpJUytQ3cUzk8v9aL5dvAQ2/PB+HUj8vH8tXohi3yAwlp/wWrdNvblgBWnMTadV+uC2wixeY1tObtO5f7KhUbgeL0/1LgiTn66tqgDVgY/ipAAR2NsitZQR2L0GoiIJSGWgPShJvIb55T4lsKMlgYj1+nVWUl7EynphQhlixnxTlLGhr3p8G0l9GW/0CK7Pppp6N+2ZcqH4DllSf8LlpbgV+FeOO7pZqPuRrwtrnlT8aILb3RsK1vlsnUU+TnPRIlLd9BhxIzzfked3G7O1w3vTSnsG80haE/JOHJvbVtWLxtZvq627zEybiiwmPZaLlTWiNrEH6TYEq75McZyoRh2lHx8z+QjopGZzoGAaIMWZmqrN7KxzzAsMDhayrJkVQ6VbULvTLx6x6LIsLwcztE/Tl3Z6n733OnXXTf5XPASX2+gbdTawB9ceG5ZGl+BTD9gsbzh4mMs4PGdIWxjnRX1hpmnY4dewQ68OcHT8nsj85sooxMtFFg5asPARE7NuYs5pzFOamRo0/Sk9qHjFOydWDigKmb8OEQWPnKNrSZ1ndBovHvD4xiGDqYvAPbixwLsa+CKOrji/wWuqi15I7IBEGYBw5ttd59O/LCri98CIxmBSO8JYi+2MF86UIrKXMbvqZLtjV5YvFmqsIVr/NzDylEdP/eccl0LxMeygW5v+l/QgUkD+4G5Ens+tB1MafERSxg7MehYyDU+L67xE0rZ9qO7pmInr0Se82rQ+HaeYGskt31P7vL9/X11cdNXZBL9MJ46o52jkq9wU9K7aRZ9VzfdkZ9f9tG+blCaYdNhvPIAN3H8af8zLOECfgH2N87dw/fUp6u2ss3FO17+vANHNeI+HnxgwXo4jGMopuN2aV+o3f+1PPsHUEsHCAvfnDLuBQAACBIAAFBLAQIUABQACAAIALK7j0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAsruPQAvfnDLuBQAACBIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAACFBgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10.

<math> B(10)>10</math>

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T22:07:10Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAA1jkUAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAANY5FAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVY64/bNhL/nP4VA31qgKwtStTDgZ0i2aK4AElzwKbFoR8K0BJts6vXiZTXG/SPvxlSkmV7b5tNH3c11ktSHM5wfvOUl98cygL2stWqrlYem/keyCqrc1VtV15nNlep982rr5ZbWW/luhWwqdtSmJXHiVLlK08EfL1I/OCK8SC64nkeXq1zmV9t0o3A72aR59IDOGj1sqq/F6XUjcjkTbaTpXhXZ8JYwTtjmpfz+d3d3WwQNavb7Xy7Xc8OOvcAr1nplddPXiK7k0N3oSUPfJ/N//X+nWN/pSptRJWhfFKhU6++era8U1Ve38Gdys0O1VigGjuptjvUKY4iD+ZE1CAgjcyM2kuNRydLq7MpG8+SiYr2n7kZFKM6HuRqr3LZrjx/FsaLME2SKGJ+4HM/9aBulaxMT8t6mfOB23Kv5J1jSzMrkXtg6rpYC+IIv/4KAfKCFzQwNwQ4xLHb8t0zP3RD4AbuhsjRcHecO1LuaLij4aEHe6XVupArbyMKjQiqatOi9ca1NveFtPfpHxy1Zy9QJ60+ITGLAg8c5Ljw/Rf0jfHLfd/pPVGSTaSatnui0EEkT58gMvhdioajmim7lBlE/0XN+BGhTu/P0ZNF/lEmirJ/9nshMXxMzXOJbv37BMb8L1FxOR9CZdlHB+gd0fbeY2SpKV7CBUQLcnsGEcZGnKCXR8AWOCQBYDQAi4BHuGQpxDQmECa4wSGEFIiOhWCDI0rxH08ssxgiZEZPE4xJYCiIQxQCszHFASMJbFxijAYhUkQRRHiIxLOAWIQx8BhXYQoc70ghmTAkDPEgrlF8ACGDkA6zBIIYYuLHOIV6nNLVkWUAsQ8xI4YY1RjRLpqRPoWQtIl7uFTVdOYEoqzMh6mpm9EWSI356Jj1XH46SYrPloVYywLrxA1ZEmAvCooIK2hTVwYGI3L3bNuKZqcyfSONwVMafhF78U4YefgOqfUg29JmdaX/2dbmui66stIAWV34453rgk3mwXhrXISTDT7diCYb8WSePCi3xh3otET5dasHcpHnb4nimBoQyQ9Vcf+mleK2qdWpGsu5LTlL2WWFypWofkRnJSmEC4wViNLVUIF4mg4Xqdv85l6jB8PhJ9nWlFYWs8Xkky48uHdbnCczf/KhAMoExV6QBDMsavf9kp+yWMS9beR+tIo4yFHhbavy6fytflMX+ai+1fhaNKZrbbuA6bAlPV5X20Jar7CxjLU4u13XhxvnDqHj9fG+wZXv5K+3FmnAbBBQEUZmWIU8WFMO6H2KLjZS+ZbGtxT+4F8qP9vHgut44Ghp0F3dxXo12aAj8wchStsM5nsncWJ9nep6VynzblgYld0e9ST677tyLY8eQwTfKteEUCsQnElhf4IU6uGs95353fJWtpUsejdHY3d1p13UTiIgl5kqcek2hvuSQX/AO7mnudy2sqcXhW3WHKh215968MVjy+q7ti7fVvuP6C1nF1jOh1suddaqhnwS1lgabuXR73KlBVaWfHqO4hLRyKiCICCG0MKI7cyubm0/hokGRwrHQ9NKTf2uwxuQDTa9B8p+Xx+ewwoT+c84sWxlIUts1cBYb910lRUwWmpj20AyCdTrXzA3nlnSLqzeuH3h4hGz3kmDKJqdIA/pYSrEvWxPgLMcP2w2Who4YCTjofuVdxXxyfb7OpdnhkNjWkgwkzTOfxopneeZPgKhQWk2gCd+cIwUg0n7FjtTdLdkcogm/1DY3NuC7RzOgXUBW9WVslXZiEpmUcN7doNvzNL+wk+F0kb4JBMcgWSPAnlEqqfTBbXrUKrKsinFwWIk1hpLkMH3FfT46vi+4q7Wp3Bs9uhtiE4s7AwNw2OabNRBjhkUPVF9wsgTJ9o8CHT8GNCXZkWhn2vZEyudRcLKe90HwtfZCxsF2fPnAzeb7F1ncGrdfmPk8CVmnKZzGx2fGQ9HM06zjiZTWJ8iS8Sz2Mc3MM5T30+iRYRl89OYJfHNja5PpcnxiadPz7LX49i9GbDzvxS7N38pdsdccpU4n2UPQxtcQut/AbLhFyN7PfFK/6mgXv+vQA1dhg6jzwW191eL7h+AY1aXpahyqOxL143c0nPv+BogfOuzglHQOgA6M2wIx63ncQGx7rkNIIrfAHlSWP70sPd7FAnOT1QhZ5wlcRoHSRjHQZDGj+RdPjgXix5MvPLflTujXT+myqZQmTIjfgWl27eVwe5M2lbhssO6lbKh5vdD9bEVlaYf1BzN4IlPNeJrZ8TrCyOun2bE9f+NER9ILJPA+HtbdD7tVO1LYv9756v/AFBLBwj9IhoQsQYAAIwVAABQSwECFAAUAAgACAANY5FARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAA1jkUD9IhoQsQYAAIwVAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAASQcAAAAA" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>

<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>

<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T22:06:04Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFO5j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACABTuY9AAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1Xba/TNhT+DL/iKJ9Aom0cOy9FLWgwoSFdYNJl07QPk9zETc1N4yh2+jLx43dsJ2l6gQnGNE2i2M45Pi+Pz3Psu3p+2ldwEK2Wql4HZB4GIOpcFbIu10FntrMseP7s4aoUqhSblsNWtXtu1gGzmrJYB8mWU8GKcMbyLZ0xmi9ny4jQWZ6wghQbLjZFFgCctHxaq7d8L3TDc3Gb78Se36icG+d4Z0zzdLE4Ho/zwdVcteWiLDfzky4CwDBrvQ76yVM0d7XpSJ16FIZk8dubG29+JmtteJ2LAGwKnXz28MHqKOtCHeEoC7PD6BkGtxOy3GFOMcHFwio1CEgjciMPQuPWydLlbPZN4NR4beUP/AyqMZ0ACnmQhWjXQTiP0iWNwmWWJjGjEQlAtVLUplclvcvFYGx1kOLordqZc8gCMEpVG24NwsePEIVRCE/sQPwQ4ZAkXhT6byH1Q+QH5ofY6zC/nXlV5nWY12E0gIPUclOJdbDllUYAZb1t8fDGtTbnSrh4+g+X5MkTzEnLP1GZhlglHnH8HoZP7C/BH7OCxXWSZOLVtN03Oh1csph9vcvoe1zSwSXJyKcuo/gLWSZ/A66P4WvSJPEEWXTl/rnfJx5p9A0e/fr7HCbsP0lxtRiYsurJAXpndfuTNGKvLV3oEuKlrXoCMVIjSbHIYyBLHNIIkAxAYmAxLkkGiR1ToCkKGFDIwOoRCo4bcYb/sdQZSyBGY/ZripQEgo4YxBSIoxQDJBI4WiJFI4oacQwxbrLuSWRN0ARYgiuaAcMYLSNTgooUN+Ia3UdACVC7maQQJZBYe4RZpieZDR1NRpCEkBBrEEmNhPZkRv0MqM0m6eGSddOZK4jyfTFMjWrGs0BtbEeXnufb01VLfLCq+EZUeEvc2pMEOPDKMsI52qrawHCIzH8rW97sZK5vhTG4S8MHfuA33IjTK9TWg2+nm6ta/9wq81JV3b7WALmqwjFmVZHJPBqjxgWdCNhUEE8EyWSeftavQgl0WqB/1epBnRfFa6txaQ2I5Lu6Or9oBb9rlLxOY7VwF85KdHklC8nrX7FYrReLCwz3j+tWw/1D42wIRLXF7VljBcPpd9Eq7FQ0mmPlpzRjIYnTdBnA2UsoofMoi9KQoQib/tL2pZxb7sXpnJLlMg2zZEmWaYrUOn9R5DyLw3hA/CTG3MtWFtP5a/1CVcWIhEv+JW9M17p3Azac1qb0Q11WwhWIozVeyvndRp1ufWVQb+v9ucFV6P1vSgc6tJb+VgGNhQjRZtSwYY06odMIp3Jr8p6chJHTsKPTwbr1YfVJkiFDMjqR2rWyMLgijCt6e713tTQ3w8LI/O6SpdV/2+03Yiyda5Pk3zDpFH6U/nnj322u5u5V2+pOtLWo+uLGc+1Upz1XJ3VfiFzucekFPUbcnt0vGJP/WoiyFUMqlXugeQSdNJzW7SefnalXrdq/rg/vsTDuBbBaDFGudN7KxpYfbPBCuBOXEiuk5nifFNN9lo2IRm7vDQTEWLSQp53Zqda9wbC94GhJeGpaoe0b1+MNaAYfuifb8x6dHsMa2B84OquiEnt8noFxdbntamd/PKite/nZEwG1+YAN8d5BXk4cxWMhuiKelCrwqtlx+zrsMar4WbRXqDl777ZbLQyc8FLFTed1MIvpRPxGFT3UZIAaT9Lhgc2jsfZt+TRC+MIzPdegQX+OqpMyuLDCYKe+w9coVls62WQnP8miEHXvD+vNg/V5iMse4tJD/IjAAtjjrwW6/EdAO66PQLvVN0NNeqij6P8J9WJa+O6m6f9kevYXUEsHCPm9M6tCBQAAzw0AAFBLAQIUABQACAAIAFO5j0BFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAU7mPQPm9M6tCBQAAzw0AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADaBQAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>
<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

Eftersom jag är ganska ny här:
3 mars 2013 kl. 22.05 (UTC)~

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T22:04:47Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACe2j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIACe2j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vhbb9s2FH5uf8WBnrahsXnTxYXdoklXrEDaFUg3DHsYQEu0zUaWBImynaI/foekJMtptjVosSJBHF7O4bl8PBc68+eHbQ47VTe6LBYBnZAAVJGWmS7Wi6A1q7MkeP7s8XytyrVa1hJWZb2VZhEIy6mzRRCtJFciI2ciXfEzwdPZ2YxRfpZGIqPZUqpllgQAh0Y/Lcq3cquaSqbqKt2orbwsU2mc4o0x1dPpdL/fT3pVk7JeT9fr5eTQZAGgmUWzCLrJUxR3cmjPHTsjhE7/eHPpxZ/pojGySFUA1oVWP3v8aL7XRVbuYa8zs1kEYRQGsFF6vUGfQoqWTi1ThYBUKjV6pxo8Olo6n822ChybLCz9kZ9BPrgTQKZ3OlP1IiATTmlIhGAijpM4oiQKoKy1KkzHTDul017cfKfV3su1M6dSBGDKMl9KKxI+fQJGGIEndqB+YDhEkScRv0e4H5gfhB9CzyP8ceFZhecRnkfwAHa60ctcLYKVzBuEUBerGq9vWDfmJlfOnm7j6D59gj41+iMyc4Jx4jHHfUKe2E+EH2EJ01Mn6Uirqdt7Kh1UxtGXq2Rfo5L3KuldKln4D15G/wKut+FL3MSgOupEVe7XfT7TyNk9NPr11ymMxP/i4nzaZ8q8Sw5oNpa3u0mjto1NFz6DcGajnkKIqRHFGOQh0BkOMQNMBqAhiBCXNIHIjjHwGAkCOCRg+SgHlxthgn9E7IRFEKIwuxtjSgJFRQJCDtSllABMJHBpiSnKOHKEIYR4yKqnzIrgEYgIVzwBgTbajIwpMnI8iGtUz4BT4PYwjYFFEFl5VNhMjxJrOopkEBGIqBWISY0J7ZMZ+RPg1puog0sXVWtOIEq3WT81ZTXcBXJjOTpWPV+eTorio3kulyrHPnFlbxJgJ3ObEU7RqiwM9JfI/N66ltVGp82VMgZPNfBB7uSlNOrwCrmbXrfjTcuieVeX5qLM223RAKRlTgaby5yO5mywGhd8RBBjQjgiRKN5fKfeEinQNgr1l3XTs8sse205jqUBkfy1yG/OayWvq1KfujGfupYzV22a60zL4ncMVqvF4gJ9B3LVqu9AHNtRZ0hZZ1c3DUYwHP5UdbkIZmwSkyhmlAqW4CSAG0/gjE9YwmIiEiw3hM9sWUqlTb0wRkooZgl2iVnIqD3UkdgkTBIiQoKyoijmLPKa1W64IHlQg+/rWmfj+evmvMyzAQnn/IWsTFu7lwMWnNq69KJY58oFiEtrbMvp9bI8XPnI4F7W+5sKV8TrX64d6ICFgYXYnNfduPSj47GGDVzE8RDHQfpQ09lApzPmONy49KPjwtj1pnWO0t5LSno1unHljAQnSeMC3zb5ttDmsl8YnV4fPbX8b9vtUg3hcyqSfguRjuGl9o8cxIdMiA+8WyE3v1Z1ofIuwvFy27JtfMKOgj9Tqd7i0hM6kKS9wN/QKL+bqXWtel9y907zEDoqGQfvZ9tO1Ku63L4udu8xOm4ZMJ/2Vs6btNaVjUFYYle4Vsc4y3Qjsalk43M2JRGO1DYPRMRYuDBZW7Mpa/cUwxqDo83EQ1Wrxj51PeCAYvC9e7CF74fDj7DAGk7gJyCT2V+4dtJVrrb4VgPjgnTVFk7PcGMr9xC0VwPl8gNWx1s3OsIX6cfQJuIkbEHm1Uba12IHVi5vVH0CnxP4psxug4p35jzHWlFZATZSKqV8jJkutaBCgS4zRwYdE8BgYb7GxycGVjg6ZCe/6CxTrin7yPJwONi3W1lkULim/s4WgODYZCSx2Hi/W9PvvPBCuqOfoeuqyADdi/+A9phVY2TH5cCh/K2QvQNXejeuLv4bOHilcOOehHb20X/D8l8xrK+2Dnql4Xj3Vup8Lern90H9/OGjTjvUZ98T9Iv7gH7x8EFnHegJ/Y6gv7wP6C8fPui8Az1mk9l3A/3n+4D+88MHXXSgR+EkwsI+/NBvcgPT8XPGfYno/h/27G9QSwcItS0GGcMFAACsEwAAUEsBAhQAFAAIAAgAJ7aPQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAAnto9AtS0GGcMFAACsEwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAFoGAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) > \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} </math>
<math> t > \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T21:59:18Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACI+i0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAAiPotAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1YW2/bNhR+bn/FgZ42ILZFSZTswm6RFihWIO0KpBuGvVESY7ORRE2kbTnoj98hKclyLkWSDkOBurwdnst3blSWb9qygB1vlJDVyiNT3wNeZTIX1XrlbfXVZO69ef1yueZyzdOGwZVsSqZXXmQoRb7yeHRFgyiYT/J4wScRZYtJms8Xk5DmPA+veJgmmQfQKvGqkp9YyVXNMn6ZbXjJLmTGtBW80bp+NZvt9/tpL2oqm/VsvU6nrco9QDUrtfK6yStkd3JpH1rywPfJ7K+PF479RFRKsyrjHhgTtuL1yxfLvahyuYe9yPVm5c19NGPDxXpjbKKRBzNDVCMgNc+02HGFV0dLa7Mua8+Sscqcv3AzKAZzPMjFTuS8WXn+NKAeyEbwSnenpJMy6+8vd4LvHSMzszJQFS1lkTLDA759g8APfDgzA3FDgEMcuyPf7fmhGwI3RG6gjiZy1yNHGjmayNFEoQc7oURa8JV3xQqFmInqqkF/DWulDwW3+nQbR3vJGdqkxA0ShwZRBzLu+/6Z+cX4i8zB7NRIMpKqm+0ThfYi6Tx5vMjgR0SGvcjgPisD+oCV8XfAdTo8xkxCRzJRlP1nf3ckhsETJLr1jwmMo//FxOWsz5RllxygNoa286TmpTLpEi6ALkzUE6CYGnGCQU6BLHBIAsBkAEIhorgkc4jNmECY4EEEIczB0JEQbG7QOf4XJZZZDBSZmd0EUxIICoqAhkBsSkWAiQQ2LTFFgxApKAWKl4x4EhgWYQxRjKtwDhHqaDIyIUgY4kVco/gAQgKhuUwSCGKIDT8SmUyP50Z1ZBlA7ENMDENMakxol8xIP4fQWBN3cImq3uoTiLIy76da1oMvkBrL0bHMufJ0UgVfLAuW8gIbw6XxJMCOFSYjrKArWWnonRi4vXXD6o3I1CXXGm8p+Mp27IJp3r5HatXLtrSZrNTnRup3stiWlQLIZOEPOsuCjObBoDUuwtFBND6go4N4NE/ulSvxBLaKo3zZqJ6c5fkHQ3EsDYjk71VxeNtwdl1LcWrGcmZ7zJJvs0LkglV/YrAaKQYX6FuOrVZ9ywl90isim/zyoDCCof2bNxJxTOJpnERJTJM4ChYRptjBnQSUTsnCX5AwoYsEuy92GJUxk3shmYbEj+eLBY0jGuNFvPXAWSea7wYPsZYPxq8bk9id4WbxQb2VxXHLmv+O1Xrb2McC1sbGGHVerQtuQ8QmNnbi7DqV7aWLjdDx+nKoceU7BdK1hR0aaxkSdGPqRktjNBuofEvjWwq/DzaRD+dkEVgKO6ZutFQYvU61zlLSm0n8XoxQtqD53kna2NA3fX1bCX3RL7TIro+WGvpP2zLlQwCdsiT/Ecvl7FaALa95U/Gii2f05FZulUvPUajnPBMlLt1BBwgzzvoDFXC7OV83vNe7sM8wB5c99cehemfbsnrfyPJDtfuCkXBLgeWs13KpskbUJuAgxR5wzY8xlQvFsIXk43smAdH0zLQKhEcbaDA1t3ojG/vSwoqCo8m7gpf4ygJtg8v4ekCZ2feagRNk+hVr2i0vjHDC83sDjVCMXVbUG2YedZ3RBTvw5gQGy/CjzG+Dg9hbCzDDa8PAeLfm3MWF7tIBamRos+mkRiHeClonFg7dM/1m5U3IoMcQ2BpL7jU+KzFg6Iixmfwm8pzbduvy/p/KXVEu3nhbFyITuosxB+YdWKttyRuRDcjh1dyCi+ZuO6PDaeREPAz4MT8ewtsfoU0eiXZHpwrz9oZSVJZNyRA7bIksVdheNH58YJBXx48Pp1hXnvEhZ9DFG2Ey7/GmiZldiZYP3ROjT9xgtrETY+71Q/B9Pzw/Nh7vpfYeL5Ee1p/ASxPauYk+3U3zIS0I+fnd1NYNSjNsOozf4hd3i/x+MT46A5NPv/bsbI91r7NT/3YHA4sfdaPtt88tbscCZULKeMIUAFOghvpk9TVPgJNXo9u91UnGaGWyLFmVQ2W/Iz6zhqWycLXcPW2ZbwFkxJR4Z+FW9weZY9cxuYMhNpZRhmTP6xD46fxANjwRxGdVcLHm1Q51xTcrQOv3HcLvW0Q/aUnXLOBAOqIbMnIPBnYjWjjv6c97qvPApNU0wSfrOT61J24zstzQ1ef4yp4EfbW/3VBEeX9DmY1bun02d3/yef0vUEsHCPX7kV9KBgAAjxIAAFBLAQIUABQACAAIACI+i0BFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAIj6LQPX7kV9KBgAAjxIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADiBgAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAAZKi0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAAZKi0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrbjts2Gr5On4LQxV7FY550cNaTwp4mTYC0DTrZYrF3tETb7MiiIlE+BH2cvklfbH+Ski3bg3Qmk90EnQKZ8PTzP3z/iZpk/O12laO1rGqli8uAXOAAySLVmSoWl0Fj5oMk+Pb5N+OF1As5qwSa62olzGXALaXKLoMkjTkRs/mAJwQPOI74YBRLOsBslqRzFol5lAYIbWv1rNA/ipWsS5HK63QpV+KNToVxgpfGlM+Gw81mc9GJutDVYrhYzC62dRYgULOoL4N28gzYHV3aMEdOMSbDf//wxrMfqKI2okhlgKwJjXr+zZPxRhWZ3qCNyswStI/AjKVUiyXYFDIeoKElKgGQUqZGrWUNV3tLZ7NZlYEjE4U9f+JnKN+bE6BMrVUmq8sAX4QhZTQME8JGICFJAqQrJQvT0hIv84wHPmJC43iEo1EcxZyTJCK3MxkPO5XGayU3Xjc7c2qDdUbrfCYsR/Tbb4hiitFTOxA/UBiiyB9hv4eZH6gfuB9CT8P9de5JuafhnoazAK1VrWa5BMSqBryginkFEXAZzEVew7o2u1w6ddqNg/XsKZhUqw9ATBlMvdvAUIyf2p8IfjjGHXZ7G+nDhLKD0NG5UBreLpQ8ROjeThbTu9tJop7MludeqNfhLjJJiA8ywTr3x/2cSWT0HhL9+mECI/5/MXE87FJl3GYHqpeWtvWkkava5gsboXBkw56gEHIjiiHKQ0RGMMQUQTYgEiIewpIkKLJjjFgMBxwxlCBLRxhyyREm8BePHbMIhcDM7saQk4iAII5ChojLKY4gk5DLS8hRyoAiDFEIl6x4Qi0LFiEewYoliIOONiVjAoQMLsIaxFPECGL2MokRjVBk+RFuUz1KrOrAkqIIo4hYhpDVkNE+m4E+QcxaE7VwqaJsTAtRi3q6yjq4jC7320AOBelQO32BOiqtT8a5mMkcus21dSVCa5FDqAVO0lwXBnVejPzeohLlUqX1tTQGbtXoV7EWb4SR25dAXXeyHW2qi/ptpc2VzptVUSOU6hx3isKc9Ob0YIzOWe+A9w/C3kHUm8e3ytVwgppagnxd1R25yLLXluJQGwDKn4p8N62kuCm1OjZjPHSNayybNFeZEsUvEK1WisUFdX3M1Y6uj9l60Sqiq+x6V0MIo+1/ZKVtXWEXCQ5HPKQ8HjFb5Xb+hIX4IokpwyO4n1CbfXUqbO6F5IJTxikPkyiOo2QEobC7/WxEvWS53jtIbOXe9kVlE7u12y5e11OdH7ac9VeiNE3lHiBgVGVtmhSLXLoIcYkN3T29menttQ8N5nm925XStk2nwGzhUEdQGqD3AkE7zvzoaKxmeyrsaLCjwF2sqWx/TsA0S+HGmR8dFQSvV621lHRmEtyJUbUraDg4qiwu8u1boSmUedMtjEpvDpZa+h+b1Uzu4+eYJflMLMfDk/ga1yWEY1YvpTS3RpzrymcRB5fmVzLPr/ukce+NRWNPWMvcFgFdILS8Tiud5w6fdW+eurR1OlfWxLYq5GKnG1sXwI6X8BptcjHtdQC7/b3Dv20RsH7luU4Pncnu/nLr7hRk1bJ6C++o/IipryKvABR5dOFn4O820T7D81xvrqHIKZG/yJTRB+3c0TtoM+9Uuc8K+b6B059hUJXMjnL/zAvjG1mBZm2ZgQxrdFP7qtmrQBnIXsHSH7SBKmwS/QsCw+9mclHJLp5y9+T2YexOjyrI2bZj9bLSq9fF+h1k6IkC42Gn5bhOK1XaQoBm0JtvDubB47YW0NqP7LV1ETDxgWGUsSELoDVmaTGEO1DoYbTlMJcreP4i45Ie7ql0H/6pe5xb3yA9+xXC7CQ9ekDB+UkFCIkvEphbb5VLYV/feB964OY+EI7jDzo7hQfQdzZA6S191pVS+nw1bZlCJbBzVa6nz6GYGOhyN/CWhygJe5fs5JXKMukSw9datZDFGsyEJgMfWtgrjHa4/Z770E220PAGbrYjLdEH4s8cI9C5Uls0wR3ZpCObQHschG7Gui1ojNRNQveR0+ryvvDq177eyG2Zq1SZtsZ4pzlHr1aiyFDhHnOvCwPVCCwIDg8Mga0jkQAVdhModzCle5OhAHQ0E8+6ZXgWGa6j7D0/+ZPIOFTYfmDYVrjww8wPdwyMn+bzWhq0Bb3B8TsY+MfCxiVbbcm9A8Hzzkc9FzlzXHF1F8P+7iFL6cfhfuswOYX6FNjpfYCdfhKwhPrO7Ma2M38CttRhlTwwI8ntGXlwCmmdQr+gU67u45SrL+iUQeKwGoT/a6/Q1ivkC3rlu/t45bsvmSp3KUOfwyvsK8iVF/fxyouvwCsPfVP8qVf4Z24r0N0reKFYpbo+ADrA7mXwj/eNNv/cDdZ//F5l0q/c9WMnwHd7r4mQcyd0v9e5w8ut+3b7xGfbxw2bHBu2vZdhk6/HsCMli2Ylq97DeUKdnnC16Rh0oj6f7uSOupOHvqVFs1W5EtXO8+t96t4RjukZHOFjhmPCTuEgjxmO6Rkc9DHDMeF/w9GPjjM4HnWyTMJTONhjhmN6BsejTpZJdAoHf8xwTM/g+Iu/O4b93/u6f/Jq/w/I8/8CUEsHCJegCiaDBwAAoCIAAFBLAQIUABQACAAIAAZKi0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgABkqLQJegCiaDBwAAoCIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAAaCAAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACe2j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIACe2j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vhbb9s2FH5uf8WBnrahsXnTxYXdoklXrEDaFUg3DHsYQEu0zUaWBImynaI/foekJMtptjVosSJBHF7O4bl8PBc68+eHbQ47VTe6LBYBnZAAVJGWmS7Wi6A1q7MkeP7s8XytyrVa1hJWZb2VZhEIy6mzRRCtJFciI2ciXfEzwdPZ2YxRfpZGIqPZUqpllgQAh0Y/Lcq3cquaSqbqKt2orbwsU2mc4o0x1dPpdL/fT3pVk7JeT9fr5eTQZAGgmUWzCLrJUxR3cmjPHTsjhE7/eHPpxZ/pojGySFUA1oVWP3v8aL7XRVbuYa8zs1kEYRQGsFF6vUGfQoqWTi1ThYBUKjV6pxo8Olo6n822ChybLCz9kZ9BPrgTQKZ3OlP1IiATTmlIhGAijpM4oiQKoKy1KkzHTDul017cfKfV3su1M6dSBGDKMl9KKxI+fQJGGIEndqB+YDhEkScRv0e4H5gfhB9CzyP8ceFZhecRnkfwAHa60ctcLYKVzBuEUBerGq9vWDfmJlfOnm7j6D59gj41+iMyc4Jx4jHHfUKe2E+EH2EJ01Mn6Uirqdt7Kh1UxtGXq2Rfo5L3KuldKln4D15G/wKut+FL3MSgOupEVe7XfT7TyNk9NPr11ymMxP/i4nzaZ8q8Sw5oNpa3u0mjto1NFz6DcGajnkKIqRHFGOQh0BkOMQNMBqAhiBCXNIHIjjHwGAkCOCRg+SgHlxthgn9E7IRFEKIwuxtjSgJFRQJCDtSllABMJHBpiSnKOHKEIYR4yKqnzIrgEYgIVzwBgTbajIwpMnI8iGtUz4BT4PYwjYFFEFl5VNhMjxJrOopkEBGIqBWISY0J7ZMZ+RPg1puog0sXVWtOIEq3WT81ZTXcBXJjOTpWPV+eTorio3kulyrHPnFlbxJgJ3ObEU7RqiwM9JfI/N66ltVGp82VMgZPNfBB7uSlNOrwCrmbXrfjTcuieVeX5qLM223RAKRlTgaby5yO5mywGhd8RBBjQjgiRKN5fKfeEinQNgr1l3XTs8sse205jqUBkfy1yG/OayWvq1KfujGfupYzV22a60zL4ncMVqvF4gJ9B3LVqu9AHNtRZ0hZZ1c3DUYwHP5UdbkIZmwSkyhmlAqW4CSAG0/gjE9YwmIiEiw3hM9sWUqlTb0wRkooZgl2iVnIqD3UkdgkTBIiQoKyoijmLPKa1W64IHlQg+/rWmfj+evmvMyzAQnn/IWsTFu7lwMWnNq69KJY58oFiEtrbMvp9bI8XPnI4F7W+5sKV8TrX64d6ICFgYXYnNfduPSj47GGDVzE8RDHQfpQ09lApzPmONy49KPjwtj1pnWO0t5LSno1unHljAQnSeMC3zb5ttDmsl8YnV4fPbX8b9vtUg3hcyqSfguRjuGl9o8cxIdMiA+8WyE3v1Z1ofIuwvFy27JtfMKOgj9Tqd7i0hM6kKS9wN/QKL+bqXWtel9y907zEDoqGQfvZ9tO1Ku63L4udu8xOm4ZMJ/2Vs6btNaVjUFYYle4Vsc4y3Qjsalk43M2JRGO1DYPRMRYuDBZW7Mpa/cUwxqDo83EQ1Wrxj51PeCAYvC9e7CF74fDj7DAGk7gJyCT2V+4dtJVrrb4VgPjgnTVFk7PcGMr9xC0VwPl8gNWx1s3OsIX6cfQJuIkbEHm1Uba12IHVi5vVH0CnxP4psxug4p35jzHWlFZATZSKqV8jJkutaBCgS4zRwYdE8BgYb7GxycGVjg6ZCe/6CxTrin7yPJwONi3W1lkULim/s4WgODYZCSx2Hi/W9PvvPBCuqOfoeuqyADdi/+A9phVY2TH5cCh/K2QvQNXejeuLv4bOHilcOOehHb20X/D8l8xrK+2Dnql4Xj3Vup8Lern90H9/OGjTjvUZ98T9Iv7gH7x8EFnHegJ/Y6gv7wP6C8fPui8Az1mk9l3A/3n+4D+88MHXXSgR+EkwsI+/NBvcgPT8XPGfYno/h/27G9QSwcItS0GGcMFAACsEwAAUEsBAhQAFAAIAAgAJ7aPQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAAnto9AtS0GGcMFAACsEwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAFoGAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFO5j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACABTuY9AAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1Xba/TNhT+DL/iKJ9Aom0cOy9FLWgwoSFdYNJl07QPk9zETc1N4yh2+jLx43dsJ2l6gQnGNE2i2M45Pi+Pz3Psu3p+2ldwEK2Wql4HZB4GIOpcFbIu10FntrMseP7s4aoUqhSblsNWtXtu1gGzmrJYB8mWU8GKcMbyLZ0xmi9ny4jQWZ6wghQbLjZFFgCctHxaq7d8L3TDc3Gb78Se36icG+d4Z0zzdLE4Ho/zwdVcteWiLDfzky4CwDBrvQ76yVM0d7XpSJ16FIZk8dubG29+JmtteJ2LAGwKnXz28MHqKOtCHeEoC7PD6BkGtxOy3GFOMcHFwio1CEgjciMPQuPWydLlbPZN4NR4beUP/AyqMZ0ACnmQhWjXQTiP0iWNwmWWJjGjEQlAtVLUplclvcvFYGx1kOLordqZc8gCMEpVG24NwsePEIVRCE/sQPwQ4ZAkXhT6byH1Q+QH5ofY6zC/nXlV5nWY12E0gIPUclOJdbDllUYAZb1t8fDGtTbnSrh4+g+X5MkTzEnLP1GZhlglHnH8HoZP7C/BH7OCxXWSZOLVtN03Oh1csph9vcvoe1zSwSXJyKcuo/gLWSZ/A66P4WvSJPEEWXTl/rnfJx5p9A0e/fr7HCbsP0lxtRiYsurJAXpndfuTNGKvLV3oEuKlrXoCMVIjSbHIYyBLHNIIkAxAYmAxLkkGiR1ToCkKGFDIwOoRCo4bcYb/sdQZSyBGY/ZripQEgo4YxBSIoxQDJBI4WiJFI4oacQwxbrLuSWRN0ARYgiuaAcMYLSNTgooUN+Ia3UdACVC7maQQJZBYe4RZpieZDR1NRpCEkBBrEEmNhPZkRv0MqM0m6eGSddOZK4jyfTFMjWrGs0BtbEeXnufb01VLfLCq+EZUeEvc2pMEOPDKMsI52qrawHCIzH8rW97sZK5vhTG4S8MHfuA33IjTK9TWg2+nm6ta/9wq81JV3b7WALmqwjFmVZHJPBqjxgWdCNhUEE8EyWSeftavQgl0WqB/1epBnRfFa6txaQ2I5Lu6Or9oBb9rlLxOY7VwF85KdHklC8nrX7FYrReLCwz3j+tWw/1D42wIRLXF7VljBcPpd9Eq7FQ0mmPlpzRjIYnTdBnA2UsoofMoi9KQoQib/tL2pZxb7sXpnJLlMg2zZEmWaYrUOn9R5DyLw3hA/CTG3MtWFtP5a/1CVcWIhEv+JW9M17p3Azac1qb0Q11WwhWIozVeyvndRp1ufWVQb+v9ucFV6P1vSgc6tJb+VgGNhQjRZtSwYY06odMIp3Jr8p6chJHTsKPTwbr1YfVJkiFDMjqR2rWyMLgijCt6e713tTQ3w8LI/O6SpdV/2+03Yiyda5Pk3zDpFH6U/nnj322u5u5V2+pOtLWo+uLGc+1Upz1XJ3VfiFzucekFPUbcnt0vGJP/WoiyFUMqlXugeQSdNJzW7SefnalXrdq/rg/vsTDuBbBaDFGudN7KxpYfbPBCuBOXEiuk5nifFNN9lo2IRm7vDQTEWLSQp53Zqda9wbC94GhJeGpaoe0b1+MNaAYfuifb8x6dHsMa2B84OquiEnt8noFxdbntamd/PKite/nZEwG1+YAN8d5BXk4cxWMhuiKelCrwqtlx+zrsMar4WbRXqDl777ZbLQyc8FLFTed1MIvpRPxGFT3UZIAaT9Lhgc2jsfZt+TRC+MIzPdegQX+OqpMyuLDCYKe+w9coVls62WQnP8miEHXvD+vNg/V5iMse4tJD/IjAAtjjrwW6/EdAO66PQLvVN0NNeqij6P8J9WJa+O6m6f9kevYXUEsHCPm9M6tCBQAAzw0AAFBLAQIUABQACAAIAFO5j0BFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAU7mPQPm9M6tCBQAAzw0AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADaBQAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\frac{6.8}{6.4})^{\frac{1}{6}\cdot x} = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^x </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} t \cdot \log(1.0625) > \log{(\frac{10}{6.4})} </math>
<math> t > \frac{6\cdot \log{(\frac{10}{6.4})}}{\log(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året.
( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T21:29:37Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIALK7j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIALK7j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVhbb9s2FH5uf8WBnrahsUld7cJukWYoWiDtCqQbhj0MoCTaZiOJgkj5UvTH75CUZDnJ2qTdigZNeDs8l+/cqC6e78sCtrxRQlZLj06IB7zKZC6q9dJr9eps5j1/9nix5nLN04bBSjYl00svNJQiX3pZsgpXs4ScZXHKz0KW0bM0yfFeOichp1GQsdwD2CvxtJJvWclVzTJ+lW14yS5lxrQVvNG6fjqd7na7SS9qIpv1dL1OJ3uFDFDNSi29bvIU2Z1c2gWW3CeETv98c+nYn4lKaVZl3ANjQiuePX602IkqlzvYiVxvll5CZh5suFhv0KYojD2YGqIaAal5psWWK7w6WlqbdVl7loxV5vyRm0ExmONBLrYi583SIxM/CMM48JN4FsQ0mvkeyEbwSne0tJM57bkttoLvHFszsxJDD7SURcoMR/j0CXziE3hiBuoGH4c4dkfE7ZHADb4bQjdEjiZ010NHGjqa0NGEgQdboURa8KW3YoVCBEW1atB7w1rpQ8GtPt3G0Xr6BG1S4iMSBwTDxEGO+4Q8Mb8x/obmYHpqJB1J1U37QKG9yMif31+k/y0ig14kjePbIv3oX6yMPwOu0+E+ZtJohCyKsv/s7y2Jgf8AiW79bQLj8LuYuJj2mbLokgPUxtB2ntS8VCZdgjlEcxP1FCJMjTjBII+AznFIfMBkABpBGOGSziA2YwJBggchBDADQ0cDsLkRzfBPmFhmMUTIzOwmmJJAUVAIUQDUplQImEhg0xJT1A+QIoogwktGPPUNiyCGMMZVMIMQdTQZmVAkDPAirlG8DwGFwFymCfgxxIYfDU2mxzOjOrL0ISYQU8MQkxoT2iUz0s8gMNb0VU1UdatPIMrKvJ9qWQ++QGosR8ei58rTSU18tChYygtsE1fGkwBbVpiMsIJWstLQOzF0e+uG1RuRqSuuNd5S8IFt2SXTfP8SqVUv29JmslLvGqkvZNGWlQLIZEEGnWVBR3N/0BoXweggHB9Eo4N4NE/ulCvxBFrFUb5sVE/O8vy1oTiWBkTyt6o4vGg4u66lODVjMbUdZ8HbrBC5YNUfGKxGisEF+gZkq1XfgIJZ3Csim/zqoDCCYf8Xb+TSm2PHHf9gih3cSRDOJvPxDx6pjJnci8jpJUytQ3cUzk8v9aL5dvAQ2/PB+HUj8vH8tXohi3yAwlp/wWrdNvblgBWnMTadV+uC2wixeY1tObtO5f7KhUbgeL0/1LgiTn66tqgDVgY/ipAAR2NsitZQR2L0GoiIJSGWgPShJvIb55T4lsKMlgYj1+nVWUl7EynphQhlixnxTlLGhr3p8G0l9GW/0CK7Pppp6N+2ZcqH4DllSf8LlpbgV+FeOO7pZqPuRrwtrnlT8aILb3RsK1vlsnUU+TnPRIlLd9BhxIzzfked3G7O1w3vTSnsG80haE/JOHJvbVtWLxtZvq627zEybiiwmPZaLlTWiNrEH6TYEq75McZyoRh2lHx8z+QjopGZzoGAaIMWZmqrN7KxzzAsMDhayrJkVQ6VbULvTLx6x6LIsLwcztE/Tl3Z6n733OnXXTf5XPASX2+gbdTawB9ceG5ZGl+BTD9gsbzh4mMs4PGdIWxjnRX1hpmnY4dewQ68OcHT8nsj85sooxMtFFg5asPARE7NuYs5pzFOamRo0/Sk9qHjFOydWDigKmb8OEQWPnKNrSZ1ndBovHvD4xiGDqYvAPbixwLsa+CKOrji/wWuqi15I7IBEGYBw5ttd59O/LCri98CIxmBSO8JYi+2MF86UIrKXMbvqZLtjV5YvFmqsIVr/NzDylEdP/eccl0LxMeygW5v+l/QgUkD+4G5Ens+tB1MafERSxg7MehYyDU+L67xE0rZ9qO7pmInr0Se82rQ+HaeYGskt31P7vL9/X11cdNXZBL9MJ46o52jkq9wU9K7aRZ9VzfdkZ9f9tG+blCaYdNhvPIAN3H8af8zLOECfgH2N87dw/fUp6u2ss3FO17+vANHNeI+HnxgwXo4jGMopuN2aV+o3f+1PPsHUEsHCAvfnDLuBQAACBIAAFBLAQIUABQACAAIALK7j0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAsruPQAvfnDLuBQAACBIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAACFBgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\frac{6.8}{6.4})^{\frac{1}{6}\cdot x} = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^x </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} t \cdot \log(1.0625) > \log{(\frac{10}{6.4})} </math>
<math> t > \frac{6\cdot \log{(\frac{10}{6.4})}}{\log(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.
Jag antar att mätningarna skall tolkas som befolkningen antingen gjort på början av året
( så t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T21:25:59Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\frac{6.8}{6.4})^{\frac{1}{6}\cdot x} = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^x </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} t \cdot \log(1.0625) > \log{(\frac{10}{6.4})} </math>
<math> t > \frac{6\cdot \log{(\frac{10}{6.4})}}{\log(1.0625)} \approx 44.17 </math>

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 om mätningarna gjordes på början av året ( t= 2004 + 44.17 ).

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(t/6)</big>

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T21:18:33Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\frac{6.8}{6.4})^{\frac{1}{6}\cdot x} = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^x </math>

Då löser vi när denna monotont växande funktions får värdet 10..

<math> B(10)>10</math>
<math> \frac{1}{6} x \cdot \log(1.0625) = \log{(\frac{10}{6.4})}
<math> x = \frac{6\cdot \log{(\frac{10}{6.4})}}{\log(1.0625)}

'''Testar olika stilar'''

<big>B(t) = 6.4 (1.0625)(x/6)</big>

==== Geobegra ====

<ggb_applet width="968" height="473" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

== Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
[[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]

Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
{{clear}}

== Diskussionsuppgift på exponentialfunktioner ==

Så här skrev Sveriges kommuner och landsting i ett pressmeddelande:

Lärarna tackar nej till 4 procent
Lärarorganisationerna tackade i dag nej till SKL:s förslag om ett femårigt avtal och en löneökningsnivå på 4 procent i år. Budet är det mest generösa som erbjudits på hela arbetsmarknaden i årets avtalsförhandlingar. Trots detta tillbakavisar lärarna förslaget.

Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.– Det är mycket beklagligt att lärarna säger nej till det bud vi nu lagt fram. Det är det mest generösa på hela arbetsmarknaden, med lönenivåer som ligger långt över det som andra fått. Dessutom hade ett femårigt avtal inneburit lugn och ro i skolan, så att vi äntligen skulle kunna fokusera på utveckling av själva verksamheten, säger Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.

–Nu står vi istället inför en tid med fortsatt osäkerhet, oklart hur länge. Det gynnar varken skolan, eleverna eller lärarna.

Förhandlingarna med lärarna har pågått i fem månader. I dag lade SKL fram ett slutbud, som innehöll ett femårigt avtal med 4 procents löneökning det första året och ytterligare en satsning utöver industrinormen nästa år. I avtalet fanns också förslag på ett särskilt avtalsråd för att garantera lärarnas löneutveckling de följande tre åren då avtalet är utan centralt reglerade löneökningsnivåer.

–På så sätt hade vi kunnat bidra till en fortsatt god löneutveckling de följande åren, samtidigt som vi främjar den lokala lönebildningen och möjligheterna till differentierade lärarlöner, som är så viktig för skolans utvecklig och resultat, säger Ingela Gardner Sundström.

Dagens besked innebär att lärarna totalt har tackat nej till en miljard kronor extra i lönekuvertet.

– Detta avtal hade väsentligt kunnat bidra till att de bästa lärarna inom fem år hade haft 10 000 kronor mer i månaden, det vill säga det som lärarfacken själva efterlyst. Nu har man dessvärre försuttit den chansen, säger Ingela Gardner Sundström.

I och med att lärarfacken nu avvisat paketet, återstår som enda alternativ ett ettårigt avtal med en löneökningsnivå på 2,6 procent, i likhet med övriga arbetsmarknaden.

'''Fråga:''' Hur tänkte/räknade de när de kom fram till att en bra lärare kunde öka sin lön med 10 000 kr?

== Fler funktioner ==
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
[[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]

Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
{{wp}}

'''Begrepp'''

Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
kallas funktionen diskontinuerlig.

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T21:01:11Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACI+i0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAAiPotAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1YW2/bNhR+bn/FgZ42ILZFSZTswm6RFihWIO0KpBuGvVESY7ORRE2kbTnoj98hKclyLkWSDkOBurwdnst3blSWb9qygB1vlJDVyiNT3wNeZTIX1XrlbfXVZO69ef1yueZyzdOGwZVsSqZXXmQoRb7yeHRFgyiYT/J4wScRZYtJms8Xk5DmPA+veJgmmQfQKvGqkp9YyVXNMn6ZbXjJLmTGtBW80bp+NZvt9/tpL2oqm/VsvU6nrco9QDUrtfK6yStkd3JpH1rywPfJ7K+PF479RFRKsyrjHhgTtuL1yxfLvahyuYe9yPVm5c19NGPDxXpjbKKRBzNDVCMgNc+02HGFV0dLa7Mua8+Sscqcv3AzKAZzPMjFTuS8WXn+NKAeyEbwSnenpJMy6+8vd4LvHSMzszJQFS1lkTLDA759g8APfDgzA3FDgEMcuyPf7fmhGwI3RG6gjiZy1yNHGjmayNFEoQc7oURa8JV3xQqFmInqqkF/DWulDwW3+nQbR3vJGdqkxA0ShwZRBzLu+/6Z+cX4i8zB7NRIMpKqm+0ThfYi6Tx5vMjgR0SGvcjgPisD+oCV8XfAdTo8xkxCRzJRlP1nf3ckhsETJLr1jwmMo//FxOWsz5RllxygNoa286TmpTLpEi6ALkzUE6CYGnGCQU6BLHBIAsBkAEIhorgkc4jNmECY4EEEIczB0JEQbG7QOf4XJZZZDBSZmd0EUxIICoqAhkBsSkWAiQQ2LTFFgxApKAWKl4x4EhgWYQxRjKtwDhHqaDIyIUgY4kVco/gAQgKhuUwSCGKIDT8SmUyP50Z1ZBlA7ENMDENMakxol8xIP4fQWBN3cImq3uoTiLIy76da1oMvkBrL0bHMufJ0UgVfLAuW8gIbw6XxJMCOFSYjrKArWWnonRi4vXXD6o3I1CXXGm8p+Mp27IJp3r5HatXLtrSZrNTnRup3stiWlQLIZOEPOsuCjObBoDUuwtFBND6go4N4NE/ulSvxBLaKo3zZqJ6c5fkHQ3EsDYjk71VxeNtwdl1LcWrGcmZ7zJJvs0LkglV/YrAaKQYX6FuOrVZ9ywl90isim/zyoDCCof2bNxJxTOJpnERJTJM4ChYRptjBnQSUTsnCX5AwoYsEuy92GJUxk3shmYbEj+eLBY0jGuNFvPXAWSea7wYPsZYPxq8bk9id4WbxQb2VxXHLmv+O1Xrb2McC1sbGGHVerQtuQ8QmNnbi7DqV7aWLjdDx+nKoceU7BdK1hR0aaxkSdGPqRktjNBuofEvjWwq/DzaRD+dkEVgKO6ZutFQYvU61zlLSm0n8XoxQtqD53kna2NA3fX1bCX3RL7TIro+WGvpP2zLlQwCdsiT/Ecvl7FaALa95U/Gii2f05FZulUvPUajnPBMlLt1BBwgzzvoDFXC7OV83vNe7sM8wB5c99cehemfbsnrfyPJDtfuCkXBLgeWs13KpskbUJuAgxR5wzY8xlQvFsIXk43smAdH0zLQKhEcbaDA1t3ojG/vSwoqCo8m7gpf4ygJtg8v4ekCZ2feagRNk+hVr2i0vjHDC83sDjVCMXVbUG2YedZ3RBTvw5gQGy/CjzG+Dg9hbCzDDa8PAeLfm3MWF7tIBamRos+mkRiHeClonFg7dM/1m5U3IoMcQ2BpL7jU+KzFg6Iixmfwm8pzbduvy/p/KXVEu3nhbFyITuosxB+YdWKttyRuRDcjh1dyCi+ZuO6PDaeREPAz4MT8ewtsfoU0eiXZHpwrz9oZSVJZNyRA7bIksVdheNH58YJBXx48Pp1hXnvEhZ9DFG2Ey7/GmiZldiZYP3ROjT9xgtrETY+71Q/B9Pzw/Nh7vpfYeL5Ee1p/ASxPauYk+3U3zIS0I+fnd1NYNSjNsOozf4hd3i/x+MT46A5NPv/bsbI91r7NT/3YHA4sfdaPtt88tbscCZULKeMIUAFOghvpk9TVPgJNXo9u91UnGaGWyLFmVQ2W/Iz6zhqWycLXcPW2ZbwFkxJR4Z+FW9weZY9cxuYMhNpZRhmTP6xD46fxANjwRxGdVcLHm1Q51xTcrQOv3HcLvW0Q/aUnXLOBAOqIbMnIPBnYjWjjv6c97qvPApNU0wSfrOT61J24zstzQ1ef4yp4EfbW/3VBEeX9DmY1bun02d3/yef0vUEsHCPX7kV9KBgAAjxIAAFBLAQIUABQACAAIACI+i0BFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAIj6LQPX7kV9KBgAAjxIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADiBgAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> B(t) = 6.4\cdot (\frac{6.8}{6.4})^{\frac{1}{6}\cdot x} = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^x </math>

<ggb_applet width="968" height="473" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIAMazY0IAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1stVjrb9s2EP+c/hUHfUqGRBb1VmG3SIsVK5Y+sHTDsA8DKIm22ciSJtGPFP3jd0dKtmy3WR6dU/tE8niP3z1IdfxysyhgJZpWVuXEYrZjgSizKpflbGIt1fQitl6+eDaeiWom0obDtGoWXE0s33at3T4c2a5Hm2U+sUKRO4EzjS+4iz++G2cXaZQHF26W+WniRNMgSi2ATSufl9V7vhBtzTNxnc3Fgl9VGVda5lyp+vlotF6v7V67XTWz0WyW2ps2twAtL9uJ1T08R3F7m9aeZncdh43+fHdlxF/IslW8zIQF5NVSvnh2Ml7LMq/WsJa5mk+sJAksmAs5m6OboRNbMCKmGn2tRabkSrS4dTDUPqtFbWk2XtL6iXmCYuuOBblcyVw0E8uxWeInkR9HvhexOEjcxIKqkaJUHTPrlI56ceOVFGsjl560St9JIoyBbGVaiIk15UWLbsly2iCkaFGzxGGrbguR8qYf7wxi5/iHDPKLIFkYO4MDIhB45yxJziPHOQ8Cx9gyVGyBqqpCS3UgSODrV3Ad14FzIswQF0kYmiXHzDmeIa4hviGB4fHNdt+w+obHNzy+d4ef3XjnaDex52nvpzf0k6F/9A3xqwE48DMe+MnIia/AyHpNPCC7mbafiN8NQzOMNGGOIaxbjOlH4xU+0SPvUR6xgVaTDw9R2quMwuT+Kt2nqNx6iQVzrNINvuPlE8HdKg0G0KIu/U9/j1R67kNUHpXiIzSG/lNq/xEKI2ev7PuaN5R19C4YfphR41HfDcedQdDOibfLLyUWLZnoJbo5AYMAizeMsJcEwBIkERWxCywAP8AhiyEkGoFHdeuDBzEQH/NAt6Agxh9f13QIAcqiycgUN3g+BB4w3bh8QBRANz/ExPWQIwggwE2knZFaLwQ/xIEXg48GUtuLqLV4uA/HqNwFj4FHe1kEbgihCxG1TuZTRw1jsh2FuhA6ENJW7J3YN03PxB0xeOQNVkFdtXIL7lwU9TYqGkdZ1ku1h122yPtHVR1w51V28+oAa8Fb1T8jEx5Yu3PRHGB7x+bJuOCpKPBycU1pALDiBVW5lj+tSgV9Crhmbtbwei6z9loohbta+MxX/IorsXmD3G1voFatT/OxWGaFzCUv/8AcIREkEPrDXbeu/nD3g05zVlVNfn3bYuLA5i/RVNi2IjsOhx8st1uzhBcaOxl+MG8zThnPPNsbfhD0227JDe19cZ1qsdq6xjei7bGcNVRyHfo0eNu+qordVF3JUr3mtVo2+qaGjbIhpy7LWSE0tjrkeOfJbtJqc21A9YysT7c1jhxjQDp7XRVVA1iQboA3n1lHU0M1D1m25XI0j6M5nD5KMt+us8TVHJqmhmouDLsxrfOU9W4yp1cjW91qUPgwyXTO0A1qWUp11Q+UzG52nhL/++UixXTrtu2LZD9I5Hh0kGDjG9GUojBpVGIkl9WyNXm9zc2T8bIVH7maX5b5b2KGBfmRU09UKNqw7izORSYXuNHMd9BxCuvvaKqZzcWsEb2Hhb4aG2D1qjNM6qNpLepNUy3elqtPmDMHpo5HvT/jNmtkTakJKTbpG7HLvly2HFt8PtyHzrfoRUbtBoFUBOIrMa2KmxJFWMCXal5hevxs/4oCsIIxaeEdRwBcBxOTKndTN6KlFwoTHkDx2GE21IZON2cwgdD24Sc4De0YRjQ4+/t0Q09n2gJRiAVeoUHp9J4uS23LNtZTfT+noEKVfsaWdJALuxDg8lFN9PkOvKjnnO7wHZ4FvxXNHsJa3ofptBUKNugl9uHbiXURuoPld1UuDiKMUdfYYReq9TsCZmAthMld1ZUs1KhPV/wguXaFpbBX3uAbQ6vvXdtN9PCLzHOhDwKTxQasI9hI1hYS/ijIhg1Cw/dgyLAva8i85P+CTBdHS7rIKlKmX32/oFK2s/PBuGI//6c0W1rTRzB9C5lJdYh6Vi0WvMyh1FejtyW1AgTY2h3L3NH5zxnFAbg7sU5932ZhHCcBvqN6ScICHy8FzlkXgqXqt10abZ2Ooxjrw2MbxMtHBTmMdZSJpIbcM8q7MDqHoTh2z0TG6ULDetHaATrT9u4PZvag4X0f8w8NNqRZVfLiinJ+H/hLA/zmEs+PI3jTu+HdK6H0P9Ad5OT3auj+TecObC9Yl+c9mN8A+x5Jz4J7Zb1cfDvrR8NTQt/Zuv/ZefEvUEsHCJcuL8RmBgAAiRIAAFBLAQIUABQACAgIAMazY0LWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAxrNjQpcuL8RmBgAAiRIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAD9BgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

== Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
[[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]

Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
{{clear}}

== Diskussionsuppgift på exponentialfunktioner ==

Så här skrev Sveriges kommuner och landsting i ett pressmeddelande:

Lärarna tackar nej till 4 procent
Lärarorganisationerna tackade i dag nej till SKL:s förslag om ett femårigt avtal och en löneökningsnivå på 4 procent i år. Budet är det mest generösa som erbjudits på hela arbetsmarknaden i årets avtalsförhandlingar. Trots detta tillbakavisar lärarna förslaget.

Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.– Det är mycket beklagligt att lärarna säger nej till det bud vi nu lagt fram. Det är det mest generösa på hela arbetsmarknaden, med lönenivåer som ligger långt över det som andra fått. Dessutom hade ett femårigt avtal inneburit lugn och ro i skolan, så att vi äntligen skulle kunna fokusera på utveckling av själva verksamheten, säger Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.

–Nu står vi istället inför en tid med fortsatt osäkerhet, oklart hur länge. Det gynnar varken skolan, eleverna eller lärarna.

Förhandlingarna med lärarna har pågått i fem månader. I dag lade SKL fram ett slutbud, som innehöll ett femårigt avtal med 4 procents löneökning det första året och ytterligare en satsning utöver industrinormen nästa år. I avtalet fanns också förslag på ett särskilt avtalsråd för att garantera lärarnas löneutveckling de följande tre åren då avtalet är utan centralt reglerade löneökningsnivåer.

–På så sätt hade vi kunnat bidra till en fortsatt god löneutveckling de följande åren, samtidigt som vi främjar den lokala lönebildningen och möjligheterna till differentierade lärarlöner, som är så viktig för skolans utvecklig och resultat, säger Ingela Gardner Sundström.

Dagens besked innebär att lärarna totalt har tackat nej till en miljard kronor extra i lönekuvertet.

– Detta avtal hade väsentligt kunnat bidra till att de bästa lärarna inom fem år hade haft 10 000 kronor mer i månaden, det vill säga det som lärarfacken själva efterlyst. Nu har man dessvärre försuttit den chansen, säger Ingela Gardner Sundström.

I och med att lärarfacken nu avvisat paketet, återstår som enda alternativ ett ettårigt avtal med en löneökningsnivå på 2,6 procent, i likhet med övriga arbetsmarknaden.

'''Fråga:''' Hur tänkte/räknade de när de kom fram till att en bra lärare kunde öka sin lön med 10 000 kr?

== Fler funktioner ==
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
[[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]

Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
{{wp}}

'''Begrepp'''

Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
kallas funktionen diskontinuerlig.

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T20:47:50Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIqJikAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACACKiYpAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVY247bRhJ9dr6iwWdL6jtJQ+NAk4WxBiZxgPEuFvvWJHuk9lAkl6Q0kpHfyZfsj211N0lR0lieSxJgg4z7Vl3VVadu1PzH3TpHW103piyuAjLFAdJFWmamWF4Fm/ZuEgU/vv9hvtTlUie1QndlvVbtVcAtpcmugkSFklCeTaIklhMeSzGJYhzBUogM8zAVcRYgtGvMu6L8Ra11U6lU36YrvVY3ZapaJ3jVttW72ezh4WHai5qW9XK2XCbTXQMM4JlFcxV0k3fA7ujSA3PkFGMy+9fPN579xBRNq4pUB8iqsDHvf3gzfzBFVj6gB5O1q6sgpjJAK22WK9BJcBGgmSWqwCCVTluz1Q1cHS2dzu26ChyZKuz5Gz9D+aBOgDKzNZmurwI8pYwQTAQhURhjMFAUoLI2umg7YtIJnfXs5lujHzxfO3MieYDasswTZVmi335DFFOM3tqB+IHCIKU/wn4PMz9QP3A/CE/D/XXuSbmn4Z6GswBtTWOSXF8FdypvwISmuKsBvmHdtPtcu/d0Gwf1yVvQqTFfgZhh8BNvc9jH+K39k/DH7cHsWEkyktrWm2cK7UXKOH66SPoakawXSQk/F0nFN7SUF4zr3/AUNYkYWRZEuf/d35lERp8h0a9fJ1Dyv0TF+ayPlHkXHKhZWdoOyVavGxsuLEYitl5PkIDQkCE4uUAkhiGkCIIBEYG4gCWJkLRjiFgIBxwxFCFLRxhysSEi+IeHjplEApjZ3RBCEhEQxJFgiLiQ4ggCCbmwhBClDCiEQAIuWfGEWhZMIi5hxSLE4Y02IkMChAwuwhrEU8QIYvYyCRGVSFp+hNtIl5F9OrCkSGIkiWUIQQ0B7YMZ6CPErDayM5cpqk17ZKJ0nfXTtqwGLIAa0tEh6/n0dJQU38xzlegc6sStRRKhrcptRDhBd2XRoh5E7veWtapWJm1uddvCrQZ9UVt1o1q9+wDUTS/b0aZl0fxal+1PZb5ZFw1CaZnj4c1lTkZzOrwaFmx0wMcHYnQgR/PwUbklnKBNo0F+WTc9ucqyj5bikBrAkp+KfH9da3VfleZYjfnMlZy53qS5yYwq/gnOaqVYu6C+Arls1VcgFon+IWWd3e4b8GC0+7euS8gxsZyyWESYS0FkFIUB2ncnAqoxDSEJhYJyyuxRkyobewJPGWc45hxTyQiH0No/fkTjDie9HRBSOz0ov6xtYHeK28XH5rrMD1tO/Z9U1W5q1ztAiNZWqUWxzLVzERfYUJjT+6Tc3XrfYJ7X532l7RX3gGTpzI5qqxlU5GU3Jn50NPZlAxV2NNhR4N7ZTDack5g6CjcmfnRU4L3+aZ2mpFeT4F6MaVxCw8FR2DjXt2V+U5j2pl+0Jr0/aGrpf9msEz040DFL8gexnM9OHGx+r+tC550/A5KbctP48By5eqZTs4alP+gMoixY/4AH+N1ML2vdvzt3XZk3lzvFY1c923asPtTl+mOx/QyecPKA+ax/5bxJa1NZh0MJ1IB7ffCpzDQKSkg2vmcDEFRPbakA87TWNBCam3ZV1q7xgowCo427XK+hy0Ktcy64Z9LBzKnr36w9UZl8gaR2AsPIUHB+8EfMj3wNqbxaKdvkdVrnaq/rIzs4hj+X2al1wPhOBQjxyoNbae3dou2iAVXAzgXT6DkHn20hm95Dxwi+IEaX7OTvJsu0q6Q+pM1SF1vQEpIZtOLYPxjtcdfxf+0nO0isEzfbk47oK/FnjhG8uTY7tAD6CTS2AVr0ZAva31ywfov3EzFiof9T+Oc33q31rspNatrOlT1mZ+hZrQdw4H4NG1/0d0A8BN0Yw3G2IIK9AEPyOIZ4+nQUXdA0aNcj0QMBLjY84yVAv8i4LnUPVvtQ3m+aV1vWZew/1bLkqZZlnWUHF3T62gLkhYrx7kkeGxstLddrVWSocF3sr85oh65KYZtVvE02bb+z8Ey6q9+x/OJFVu9rJMH0j85KL7M7n1L4T2ApcRiFPCQOBTqlEQ3he0hyKuBz1X6TXAAlfhwUehmUv5nug/8YlwWYhPSefQqR2jbtf38vssVw/G28is1a16MycnLXfburfNM9lp+ozC+HzBg4clnPW720+89S87JmTcdx0OzVGeAlfkhPfQmqTEhCKuKYCXClOLS/noA3TR5xMutNdCqlDAWJI8ok5YRdyKX0ebnUrA+51Fk2tzHwsWihG9OuHTlvsu61rmxv+6n4XKuisT+eeZpR8/YNiD/V0NEsy0LlN7b2PYr0bgHN5BnSyWWkj0ppcg5z/zl+sRF6LdD4DGjSZWvcZetzgP8UJL8NwIDsie0P3YfDIDmz//Vzcv71i+JM+jbUDokfXo/A42l7Qr9TPdmLqufFBHZ9ZtLseckr+wuT16e7u0a31oCMe4sR+rTcdloe2JH/T0g0xRGNMAVEqIxh/n+Uy2bjzzT3U0j3q/77/wFQSwcIg6ng8SEHAAByGAAAUEsBAhQAFAAIAAgAiomKQEXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACACKiYpAg6ng8SEHAAByGAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAALkHAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<big><math> B(t) = 6.4\cdot 1.0625^{\frac{1}{6}x} </math></big>

<ggb_applet width="968" height="473" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

== Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
[[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]

Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
{{clear}}

== Diskussionsuppgift på exponentialfunktioner ==

Så här skrev Sveriges kommuner och landsting i ett pressmeddelande:

Lärarna tackar nej till 4 procent
Lärarorganisationerna tackade i dag nej till SKL:s förslag om ett femårigt avtal och en löneökningsnivå på 4 procent i år. Budet är det mest generösa som erbjudits på hela arbetsmarknaden i årets avtalsförhandlingar. Trots detta tillbakavisar lärarna förslaget.

Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.– Det är mycket beklagligt att lärarna säger nej till det bud vi nu lagt fram. Det är det mest generösa på hela arbetsmarknaden, med lönenivåer som ligger långt över det som andra fått. Dessutom hade ett femårigt avtal inneburit lugn och ro i skolan, så att vi äntligen skulle kunna fokusera på utveckling av själva verksamheten, säger Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.

–Nu står vi istället inför en tid med fortsatt osäkerhet, oklart hur länge. Det gynnar varken skolan, eleverna eller lärarna.

Förhandlingarna med lärarna har pågått i fem månader. I dag lade SKL fram ett slutbud, som innehöll ett femårigt avtal med 4 procents löneökning det första året och ytterligare en satsning utöver industrinormen nästa år. I avtalet fanns också förslag på ett särskilt avtalsråd för att garantera lärarnas löneutveckling de följande tre åren då avtalet är utan centralt reglerade löneökningsnivåer.

–På så sätt hade vi kunnat bidra till en fortsatt god löneutveckling de följande åren, samtidigt som vi främjar den lokala lönebildningen och möjligheterna till differentierade lärarlöner, som är så viktig för skolans utvecklig och resultat, säger Ingela Gardner Sundström.

Dagens besked innebär att lärarna totalt har tackat nej till en miljard kronor extra i lönekuvertet.

– Detta avtal hade väsentligt kunnat bidra till att de bästa lärarna inom fem år hade haft 10 000 kronor mer i månaden, det vill säga det som lärarfacken själva efterlyst. Nu har man dessvärre försuttit den chansen, säger Ingela Gardner Sundström.

I och med att lärarfacken nu avvisat paketet, återstår som enda alternativ ett ettårigt avtal med en löneökningsnivå på 2,6 procent, i likhet med övriga arbetsmarknaden.

'''Fråga:''' Hur tänkte/räknade de när de kom fram till att en bra lärare kunde öka sin lön med 10 000 kr?

== Fler funktioner ==
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
[[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]

Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
{{wp}}

'''Begrepp'''

Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
kallas funktionen diskontinuerlig.

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T20:45:11Z

Wedrawde: /* Befolkningstillväxt */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> P = 6.4\cdot 1.0625^(x/6) </math>

<ggb_applet width="968" height="473" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

== Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
[[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]

Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
{{clear}}

== Diskussionsuppgift på exponentialfunktioner ==

Så här skrev Sveriges kommuner och landsting i ett pressmeddelande:

Lärarna tackar nej till 4 procent
Lärarorganisationerna tackade i dag nej till SKL:s förslag om ett femårigt avtal och en löneökningsnivå på 4 procent i år. Budet är det mest generösa som erbjudits på hela arbetsmarknaden i årets avtalsförhandlingar. Trots detta tillbakavisar lärarna förslaget.

Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.– Det är mycket beklagligt att lärarna säger nej till det bud vi nu lagt fram. Det är det mest generösa på hela arbetsmarknaden, med lönenivåer som ligger långt över det som andra fått. Dessutom hade ett femårigt avtal inneburit lugn och ro i skolan, så att vi äntligen skulle kunna fokusera på utveckling av själva verksamheten, säger Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.

–Nu står vi istället inför en tid med fortsatt osäkerhet, oklart hur länge. Det gynnar varken skolan, eleverna eller lärarna.

Förhandlingarna med lärarna har pågått i fem månader. I dag lade SKL fram ett slutbud, som innehöll ett femårigt avtal med 4 procents löneökning det första året och ytterligare en satsning utöver industrinormen nästa år. I avtalet fanns också förslag på ett särskilt avtalsråd för att garantera lärarnas löneutveckling de följande tre åren då avtalet är utan centralt reglerade löneökningsnivåer.

–På så sätt hade vi kunnat bidra till en fortsatt god löneutveckling de följande åren, samtidigt som vi främjar den lokala lönebildningen och möjligheterna till differentierade lärarlöner, som är så viktig för skolans utvecklig och resultat, säger Ingela Gardner Sundström.

Dagens besked innebär att lärarna totalt har tackat nej till en miljard kronor extra i lönekuvertet.

– Detta avtal hade väsentligt kunnat bidra till att de bästa lärarna inom fem år hade haft 10 000 kronor mer i månaden, det vill säga det som lärarfacken själva efterlyst. Nu har man dessvärre försuttit den chansen, säger Ingela Gardner Sundström.

I och med att lärarfacken nu avvisat paketet, återstår som enda alternativ ett ettårigt avtal med en löneökningsnivå på 2,6 procent, i likhet med övriga arbetsmarknaden.

'''Fråga:''' Hur tänkte/räknade de när de kom fram till att en bra lärare kunde öka sin lön med 10 000 kr?

== Fler funktioner ==
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
[[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]

Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
{{wp}}

'''Begrepp'''

Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
kallas funktionen diskontinuerlig.

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Funktioner 2C

2013-03-03T20:43:56Z

Wedrawde: /* Tillämpningar på exponentiell förändring */

= Funktion och graf =
[[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]]

s 146

=== Teori funktionen f(x) ===

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

= Andragradsfunktioner =

<html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>

== Fyra sätt att beskriva andragradaren ==

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
{{clear}}
==== Generell algebraisk form ====

Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.

'''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
{{clear}}

==== Fokus och styrlinje ====
[[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

[[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
{{clear}}

==== Vertex och nollställe ====
[[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

[[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
{{clear}}

==== Värdetabell ====
[[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

[[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
{{clear}}

== Parabelns ekvation ==
[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]

'''Definitioner'''
Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
{{clear}}

=== GeoGebra som visar samma avstånd ===
<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===

Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:

'''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}

=== GeoGebra med styrlinje och fokus ===

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true"/>

=== Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

# Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

== Andragradsfunktionens graf ==

=== Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x2-termen betyder minimipunkt

negativt före x2-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

=== Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

Om du har funktionen i den allmänna formen y(x) = ax2 + bx + c kan det vara bra att kvadratkomplettera.

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

{{clear}}

=== Fördjupning ===

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
{{clear}}

== Digitala rutan ==

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

== Kvadratiska modeller ==
[[File:Square root.svg|thumb|Square root]]

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax2 + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

=== Exempel 1 ===
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.

==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====

Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).

# Vilket är det andra nollstället?
# Rita grafen.
# Bestäm b.
# Bestäm c.
# Bestäm a.
# Skriv ett uttryck för funktionen.
{{clear}}

=== Exempel 2 ===

Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

=== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].

'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}

=== Överbliven provupgift (svår) ===
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>

Gör en matematisk modell av kastbanan.

[[Tips: Parabelns bana]]
{{clear}}

= Exponentialfunktioner och logaritmer =

== Exponentialfunktioner ==

må lektion 1

=== Jämför ===

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

<math>y = ax^2 + bx + c </math> (bortse från de sista termerna)

<math>y = ax^2 </math> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

<math>y = C \cdot x^2 </math> (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )

<math>y = C \cdot 2^x </math> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

<math>y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x</math> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)

<math>y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} </math>

på generell form:

<math>y = C \cdot a^x </math> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''

=== Växande ===

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGa0j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAGa0j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vhtb9s2EP7c/oqDPm1DY5Mi9VbYLZq0wQqkXYF0w7APA2iJttnIoiDRb0V//I6kZMtJtzVosS5BHErk8V6eu+dIZ/J8typhI5tW6Woa0BEJQFa5LlS1mAZrMz9Lg+fPHk8WUi/krBEw181KmGnAraQqpkE8F0zygpzxfM7OOMuzsyyk7CyPeUGLmZCzIg0Adq16Wum3YiXbWuTyOl/KlbjSuTDO8NKY+ul4vN1uR72pkW4W48ViNtq1RQDoZtVOg+7hKao72bRlTjwkhI5/f3Pl1Z+pqjWiymUANoS1evb40WSrqkJvYasKs0TvOTq3lGqxxJgiii9jK1QjILXMjdrIFrcOXl3MZlUHTkxUdv2Rf4LyEE4AhdqoQjbTgIzCJGMhydIkjjgLaQC6UbIynSjtTI57ZZONkluv1T45gzwAo3U5E1YhfPoEIQkJPLED9UOIQxz7JeLnCPND6Afuh8jLcL+de1HuZbiX4SyAjWrVrJTTYC7KFgFU1bzB5B3eW7MvpfOnmzgGT59gTK36iMKMYJV4xHGekCf2E+OH24XxaZB0YNU063sa7U3yiH+5yfBrTLLeJE3pXZNh9DdRxv8ArvfhS8Kk0QBZNOV+3eeORRbew6J//zqDMf9PQpyMe6ZMOnJAu7SyXSaNXLWWLiyDKLNVTyFCasQJFnkENMMhCQHJADQCHuErTSG2YwIswQUODFKwcpSB40aU4h+eOGUxRKjMziZISaBoiEPEgDpKcUAigaMlUjRkKBFFEOEma56GVgWLgcf4xlLg6KNlZEJRkOFGfEfzITAKzG6mCYQxxFYf5ZbpcWpdR5UhxARiahUiqZHQnswonwKz0cQdXKqq1+YEonxV9I9G14dcoDS2o2PP8+3ppCU+mpRiJks8Ja5tJgE2orSMcIbmujLQJzH0c4tG1EuVt9fSGNzVwgexEVfCyN0lSre9bSeb66p912hzocv1qmoBcl2Sg8+6pIPn8OA1vrDBAh8uRIOFePCcfNauxhVYtxLt66btxUVRvLYSx9aASP5SlfvzRoqbWqvTMCZjd+BM5DovVaFE9RsWq7VicYH+/HHdqj9/WBz1juimuN63WMGw+0M2GnGkdISVn7CUExolSYak3vulMGOjMA0TwnENu35mG1MuLPmiZMRoliUkjTOaJQlya98tkRGJYpKQOIlD7FcEDyhvXG4OORI7eQh/0ahi+Py6PddlcQDDxX8harNu3NUB3WtsVC+qRSldjThm47mc38z07toXB/O63u9r65G3P1s43AF7QxhFKNCNMz86GevYQYo4GeIkSF9tqjisU4vVohtnfnRSWL7etS5Q2kdJSW9Gta6jkeCEN6727Sm/rpS56l+Mym+OkVr5t+vVTB4q6FQl/RYqncBL5W857uzBtPrqu1V3kxvZVLLsyhzTu9br1rN2wIBC5mqFr36hg0nYFP6KbvnZQi4a2UdTuquaB9GtkmEF35l2qi4bvXpdbd5jfdxyYDLuvZy0eaNqW4Uww6PhRh4rrVCtwJOlGO6zvERAcnuCICbGAoaMXZulbtxtDBsNjpaOu7qRrb3tesgB1eCVd2e73w+7H2Fq70gEfgI6otGfOOP0y1Ku8MoGxhXqfF05S4eszd1t0KYH9OwDNslbWR0gjOvH8ib8pHRBlPVSOGp2BSr2sjkB0Cl8o4vbsGLWXOzYMmqrwFZLLaWvM9PRC2pU6Ng5cOhIAoP9+QbvoFhc0WCTffhZFYV0Z7OvLQ+HA361ElUBlTvb39kmEBzPGkEsNj7utelnXngl3dY76LpOcoDuxb9Ae2TWENlhS3AofytkP4Mr/TyujgEt7LxR2FtHHDvho/+e5b9o2GBtM/RWo+HsLfZ8Lezn94H9/OHDTnvY2XeF/eI+sF88fNjDHvaY81E2+Im+Wwpe3icFLx9+CliXAoZf70cJ/z+k4NV9UvDq4aeA9yngWToiNDwk4btl4PI+Gbh8+BmIugxwEoajhHLWESFNvkkKxsMrp/u21/3b8tlfUEsHCNmWm57lBQAAUxUAAFBLAQIUABQACAAIAGa0j0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAZrSPQNmWm57lBQAAUxUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAB8BgAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Avtagande ===

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Vatten i termos ====

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitioner ===

y = Cax

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

==== Spegelkurvor ====

Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x

'''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

* y = (0.25)x
* y = (1/4)x
* y = (4)-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Övning - GeoGebra ===

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

* y = 0.5x
* y = 1x
* y = 1.1x
* y = 2*1.1x
* y = 1.2x
* y = 1.4x
* y = 1.8x
* y = 5x

'''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?

=== Exempel 1 ===

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

# Sätt in x = 0 så får du C
# Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Exempel 2 ===

Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2x < 1 + 3x

== Linjära och exponentiella modeller ==

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

linjär: <math>y = k\cdot x + m</math>

exponentiell: <math>y = y_0\cdot a^x </math> där <math> y_0 </math> är samma sak som C i tidigare exempel)

= Logaritmer och funktionen y = 10x =
[[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen ''e'', grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7.

Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]

'''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
{{wp}}

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
{{clear}}

== Vad är logaritmer? ==

Tisdag

=== Inversen ===

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är
dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition.
Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till <math>x</math> är <math>\frac{1}{x}</math>.
Det gäller också att : <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1 </math>

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

'''Invers funktion''' eller bara '''invers''' (av ”invertera” och av [[latin]]ets ''invertere'' ”omvända”) är inom [[matematik]]en namnet på en [[funktion (matematik)|funktion]] som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x.</math>

Om vi har en funktion <math>y=f(x)</math> kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att <math>x=f^{-1}(y)</math> och sedxan

Några inversa funktioner är :

<math>f(x)=x+a </math> och <math> f^{-1}(x)= x-a </math> 
<math>f(x)=x\cdot a </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 </math> 
<math>f(x)=\frac{1}{x} </math> och <math> f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 </math> 
<math>f(x)=sin x </math> och <math> f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 </math> 

<math>f(x)=e^x </math> och <math> f^{-1}(x)=ln(x)</math>. Det gäller att <math>e^{ln(x)}= x.</math> 
<math>f(x)=ln(x) </math> och <math> f^{-1}(x)=e^x</math>. Det gäller att <math>ln(e^x)= x.</math> 

=== Enkla tiopotenser ===

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

:1000 kan skrivas som 103
:100 kan skrivas som 102
:10 kan skrivas som 101
:1 kan skrivas som 100
:0.1 kan skrivas som 10-1
:0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.

=== Potensfunktionen y=10x ===

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Alla värden är möjliga ===

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

=== Definitioner ===

Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

''eller''

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

''eller''

:<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.

''eller''

log10x = x

''eller''

10loga = a

==== Andra beteckningar ====

Andra beteckningssätt för log10 ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

=== Kopplingen tiopotens - logaritm ===
=== Grafen för logaritmerna ===

[[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

{{clear}}

=== Diagnos ===

'''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
{{clear}}

== Räkneregler för logaritmer ==

Onsdag v 16

'''Sats:''' Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

'''Sats:''' Division

lg (a/b) = lg a - lg b

'''Sats:''' Potensräkning

lg ap = p lg a

'''Något att klura på:'''

Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])

Vad är sjätteroten av en centiljon 10600 och hur många miljoner är det ?

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Namn_p%C3%A5_stora_tal Om stora tal]

Hur många siffror har primtalet 257885161-1 ?

Tips: log10(1234)=3,09..

== Logaritmiska modeller ==
[[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]

=== pH ===

[[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
'''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

:<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.

''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:

* Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-1.
* Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-7.
* Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H+} = 1·10-14.
{{wp}}

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].

==== Räkneövning ====

1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0

2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10-6?

=== Richterskalan ===

Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.

Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.

Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
{{wp}}
'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].

=== decibel ===

<math>
L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
</math>

'''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].

== Ekvationen 2x = 3 ==

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

=== Exempel ===

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Tillämpningar på exponentiell förändring ==
[[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

=== Halveringstid ===

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,

där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
{{wp}}

=== Ekonomiska modeller ===

==== Uppgifter ====

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

=== Kol-14-metoden ===

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
{{wp}}

==== Fysikalisk bakgrund ====
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
:<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
:<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
{{wp}}

==== Befolkningstillväxt ====

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder.
När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0.
På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

<math> P = 6.4\cdot 1.0625^\frac{t}{6} </math>

<ggb_applet width="968" height="473" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

== Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
[[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]

Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
{{clear}}

== Diskussionsuppgift på exponentialfunktioner ==

Så här skrev Sveriges kommuner och landsting i ett pressmeddelande:

Lärarna tackar nej till 4 procent
Lärarorganisationerna tackade i dag nej till SKL:s förslag om ett femårigt avtal och en löneökningsnivå på 4 procent i år. Budet är det mest generösa som erbjudits på hela arbetsmarknaden i årets avtalsförhandlingar. Trots detta tillbakavisar lärarna förslaget.

Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.– Det är mycket beklagligt att lärarna säger nej till det bud vi nu lagt fram. Det är det mest generösa på hela arbetsmarknaden, med lönenivåer som ligger långt över det som andra fått. Dessutom hade ett femårigt avtal inneburit lugn och ro i skolan, så att vi äntligen skulle kunna fokusera på utveckling av själva verksamheten, säger Ingela Gardner Sundström, ordförande i SKL:s förhandlingsdelegation.

–Nu står vi istället inför en tid med fortsatt osäkerhet, oklart hur länge. Det gynnar varken skolan, eleverna eller lärarna.

Förhandlingarna med lärarna har pågått i fem månader. I dag lade SKL fram ett slutbud, som innehöll ett femårigt avtal med 4 procents löneökning det första året och ytterligare en satsning utöver industrinormen nästa år. I avtalet fanns också förslag på ett särskilt avtalsråd för att garantera lärarnas löneutveckling de följande tre åren då avtalet är utan centralt reglerade löneökningsnivåer.

–På så sätt hade vi kunnat bidra till en fortsatt god löneutveckling de följande åren, samtidigt som vi främjar den lokala lönebildningen och möjligheterna till differentierade lärarlöner, som är så viktig för skolans utvecklig och resultat, säger Ingela Gardner Sundström.

Dagens besked innebär att lärarna totalt har tackat nej till en miljard kronor extra i lönekuvertet.

– Detta avtal hade väsentligt kunnat bidra till att de bästa lärarna inom fem år hade haft 10 000 kronor mer i månaden, det vill säga det som lärarfacken själva efterlyst. Nu har man dessvärre försuttit den chansen, säger Ingela Gardner Sundström.

I och med att lärarfacken nu avvisat paketet, återstår som enda alternativ ett ettårigt avtal med en löneökningsnivå på 2,6 procent, i likhet med övriga arbetsmarknaden.

'''Fråga:''' Hur tänkte/räknade de när de kom fram till att en bra lärare kunde öka sin lön med 10 000 kr?

== Fler funktioner ==
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
[[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]

Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
{{wp}}

'''Begrepp'''

Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
kallas funktionen diskontinuerlig.

=== Testa själv ===

Rita dessa funktioner i GGB:

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg(x)

y = x0.5 (roten ur x)

y = (x + 2)0.5 (roten ur x)

=== Exempel 1 ===

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

=== Logaritmer på andra baser ===
[[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
[[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
{{clear}}

== Repetition ==

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

=== Övningar ===
* [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
* [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]

=== Lektioner ===

* '''Onsdag v 17'''
* To v 17 går bort pga NP Sv
* '''Må v 18''' Valborg = skoldag
** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
* Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====

* [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
* Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
* Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
<youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>

PolhemsJocke är en ny bekantskap:
<youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>

==== Torsdag v 18 ====

[[Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C]]

=== Prov ===

Den 4:e maj, v 18

Konjugatregeln

2013-03-03T19:59:30Z

Wedrawde: /* Konjugatregeln med <math> \LaTeX </math> */

=== Konjugatregeln ===

Så här ser den ut:

a2-b2 = (a-b)(a+b)

utför multiplikationen:

(a - b)(a + b) = a2 + ab - ba - b2

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

(a - b)(a + b) = a2 - b2

V.S.B.

=== Konjugatregeln med <math> <math>\LaTeX</math> </math> ===

Så här ser ''beviset'' ut med LaTeX:

<math> (a-b)\cdot(a+b) </math>

<math>= a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math>= a^2-b^2 </math>

<math>\blacksquare</math>

Tips för dem som upprätthåller Wikisidorna ( skriv såhär i Wikitexten och googla typsättning med TeX för råd ):

<math>(a-b)\cdot(a+b)</math>

<math> = a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math> = a^2-b^2 </math>

<math> \blacksquare </math>

=== Film ===

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>

=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===

'''Första beviset'''

[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]

'''Andra beviset'''

[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]

'''Visualisering'''

[[Fil:Konjugatregeln.gif]]

Här gäller:

<math>(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 </math>

Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

<math>(a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 </math>

<ggb_applet width="962" height="463" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Uppgifter ===

'''Övningar (utan räknare)'''

1. <math>1992\cdot 2008 = ?</math>

2. Lös <math>x^2-1=0</math> för alla reella x.

{{khanruta|'''Khan: Parentesmultiplikation'''

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.}}

'''Webbmatte'''

* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]

Konjugatregeln

2013-03-03T19:58:12Z

Wedrawde: /* Konjugatregeln med <math> \LaTeX </math> */

=== Konjugatregeln ===

Så här ser den ut:

a2-b2 = (a-b)(a+b)

utför multiplikationen:

(a - b)(a + b) = a2 + ab - ba - b2

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

(a - b)(a + b) = a2 - b2

V.S.B.

=== Konjugatregeln med <math> <math>\LaTeX</math> </math> ===

Så här ser ''beviset'' ut med LaTeX:

<math> (a-b)\cdot(a+b) </math>

<math>= a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math>= a^2-b^2 </math>

<math>\blacksquare</math>

Tips ( skriv såhär i Wikitexten och googla typsättning med TeX för råd ):

<math>(a-b)\cdot(a+b)</math>

<math> = a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math> = a^2-b^2 </math>

<math> \blacksquare </math>

=== Film ===

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>

=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===

'''Första beviset'''

[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]

'''Andra beviset'''

[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]

'''Visualisering'''

[[Fil:Konjugatregeln.gif]]

Här gäller:

<math>(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 </math>

Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

<math>(a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 </math>

<ggb_applet width="962" height="463" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Uppgifter ===

'''Övningar (utan räknare)'''

1. <math>1992\cdot 2008 = ?</math>

2. Lös <math>x^2-1=0</math> för alla reella x.

{{khanruta|'''Khan: Parentesmultiplikation'''

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.}}

'''Webbmatte'''

* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]

Konjugatregeln

2013-03-03T18:28:06Z

Wedrawde: /* Geometriskt bevis av konjugatregeln */

=== Konjugatregeln ===

Så här ser den ut:

a2-b2 = (a-b)(a+b)

utför multiplikationen:

(a - b)(a + b) = a2 + ab - ba - b2

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

(a - b)(a + b) = a2 - b2

V.S.B.

=== Konjugatregeln med <math> <math>\LaTeX</math> </math> ===

Så här ser ''beviset'' ut:

<math>(a-b)\cdot(a+b) </math>

<math>= a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math>= a^2-b^2 </math>

<math>\blacksquare</math>

=== Film ===

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>

=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===

'''Första beviset'''

[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]

'''Andra beviset'''

[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]

'''Visualisering'''

[[Fil:Konjugatregeln.gif]]

Här gäller:

<math>(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 </math>

Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

<math>(a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 </math>

<ggb_applet width="962" height="463" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Uppgifter ===

'''Övningar (utan räknare)'''

1. <math>1992\cdot 2008 = ?</math>

2. Lös <math>x^2-1=0</math> för alla reella x.

{{khanruta|'''Khan: Parentesmultiplikation'''

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.}}

'''Webbmatte'''

* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]

Konjugatregeln

2013-03-03T18:19:55Z

Wedrawde: /* Geometriskt bevis av konjugatregeln */

=== Konjugatregeln ===

Så här ser den ut:

a2-b2 = (a-b)(a+b)

utför multiplikationen:

(a - b)(a + b) = a2 + ab - ba - b2

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

(a - b)(a + b) = a2 - b2

V.S.B.

=== Konjugatregeln med <math> <math>\LaTeX</math> </math> ===

Så här ser ''beviset'' ut:

<math>(a-b)\cdot(a+b) </math>

<math>= a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 </math>

<math>= a^2-b^2 </math>

<math>\blacksquare</math>

=== Film ===

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

<youtube>TmLbY5t3N5o</youtube><youtube>_cf5hMjgNR0</youtube>

=== Geometriskt bevis av konjugatregeln ===

'''Första beviset'''

[[Fil:Difference_of_two_squares.png]]

'''Andra beviset'''

[[Fil:800px-Difference_of_two_squares_geometric_proof.png]]

'''Visualisering'''

[[Fil:Konjugatregeln.gif]]

Här gäller:

<math>(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 </math>

Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

(a-b)(a+b) = a² - b²

<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/4.2/unsigned/"
width="1669" height="929">
<param name="ggbBase64" value="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" />
<param name="java_arguments" value="-Xmx1024m -Djnlp.packEnabled=true" />
<param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_algos.jar, geogebra_export.jar, geogebra_javascript.jar, jlatexmath.jar, jlm_greek.jar, jlm_cyrillic.jar, geogebra_properties.jar" />
<param name="cache_version" value="4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0, 4.2.23.0" />
<param name="showResetIcon" value="false" />
<param name="enableRightClick" value="false" />
<param name="errorDialogsActive" value="true" />
<param name="enableLabelDrags" value="false" />
<param name="showMenuBar" value="false" />
<param name="showToolBar" value="false" />
<param name="showToolBarHelp" value="false" />
<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="useBrowserForJS" value="true" />
<param name="allowRescaling" value="true" />
Detta är en Java Applet skapad med GeoGebra från www.geogebra.org - det verkar som om du inte har Java installerat på din dator, vänligen besök www.java.com

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com
</applet>

=== Uppgifter ===

'''Övningar (utan räknare)'''

1. <math>1992\cdot 2008 = ?</math>

2. Lös <math>x^2-1=0</math> för alla reella x.

{{khanruta|'''Khan: Parentesmultiplikation'''

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

[http://www.khanacademy.org/exercise/multiplying_expressions_1 Khan om hur man multiplicerar binom] ska du verkligen öva på.}}

'''Webbmatte'''

* [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&page_id_to_fetch=671&lang=arabic Konjugatregeln på Webbmatte]

Konjugatregeln

2013-03-03T18:05:04Z

Wedrawde: /* Uppgifter */

Konjugatregeln

2013-03-03T18:00:30Z

Wedrawde:

Konjugatregeln

2013-03-03T17:57:10Z

Wedrawde: /* Geometriskt bevis av konjugatregeln */