Wikiskola - Användarbidrag [sv]

Diskussion:Procent Ma1c

2019-11-07T08:26:14Z

Ulrika: /* Film 1 */

== TE19A ==
=== Film 1 ===
Albin

== TE19B ==

== TE17A ==

=== Film 1 ===

{{#ev:youtube| jUxUqLBba8g |300 | right }}
Den här filmen är simpel men beskriver tydligt om vad Procent, Promille, PPM och Procentenheter är.
Man får en sammafattning om vad man kommer att lära sig inom procent.
Filmen har också med alla begrepp som man skulle lära sig om och då behöver man endast se ett videoklipp och slipper leta efter en annan för att lära sig om alla olika begreppen. Han förklarar långsamt och tydligt som gör det lättare att uppfatta vad han menar och på så sätt behöver man endast se den en enda gång.

Hampus E

=== Film 2 ===

{{#ev:youtube| YTKbLxekTtk |300 | right }}
Jag tycker att filmen bra förklarar vad de olika enheterna innebär.
Den berättar att det är 100, 1000, 1000000 del av ett tal.
Samt visar hur man kan räkna med de olika enheterna genom att omvandla/räkna med dem.
{{clear}}

=== Film 3 ===
Kort tydlig och effektiv, 10/10 would not watch again cuz i understood the first time.

=== Film 4 ===
Promille & ppm
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
videon är bra eftersom den innehåller relenanta begrepp och
använder sig av simpla och tydliga förklaringar

=== Film 5 ===

https://www.youtube.com/watch?v=YaWGDLO9jFM
Mycket bra genomgång. Läraren är inte allt för långsam, men han lyckas ändå gå igenom i de viktigaste grundläggande delarna ganska ingående. Han tar inte upp promille eller ppm dock.

=== Film 6 ===
''Daniel''
{{#ev:youtube|nk9VIsBo0lU|300|right}}
{{#ev:youtube|7D6w-AR9aSo|300|right}}
Första videon är väldigt simpel, tydlig, och kort, vilket gör att det blir väldigt enkelt att förstå vad procent, promille och ppm betyder och innebär. Dock skippar Mattebettan att gå igenom procentenheter, vilket är varför jag valde att ta med en annan video, som också är gjord av Mattebettan.

Början av den andra videon går igenom procentenheters betydelse och dess innebörd på ett simpelt sätt likt första videon, samt hur man räknar med procentenheter.
{{clear}}

=== Film 7 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Denna film är bra eftersom personen tar upp allt som vi behövde veta (promille, ppm och procentenheter)
Han pratar inte för snabbt och genomgången är grundläggande nog så att man kan använda informationen för att lösa uppgifter men inte för komplicerad så att man blir förvirrad och inte förstår.
Videon är inte heller så lång att man blir uttråkad och inte orkar kolla igenom hela men den hinner ändå gå igenom det mana behöver veta.

//Elin

=== Film 8 ===
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
Jag tycker att det här klippet är bra för att han enkelt och snabbt förklarar grunderna i ppm och promille. Det går inte heller smärtsamt långsamt så att man måste öka hastigheten. Jag tycker också att hans förklaring av tiondelsplatser, tusendelsplatser, tiotusendelsplatser osv., var väldigt praktisk och förenklade processen en hel del.

Humbla o hans

=== Film 9 ===
<i>Emil <b>M</b></i>, <i>Simon <b>H</b></i> och <i>Jesper <b>L</b></i><br>
[https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg Klicka här] för att komma till första videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=CzmnR__bgG0 Klicka här] för att komma till andra videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo Klicka här] för att komma till tredje videon.

=== Film 10 ===
===https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU===
kort och tydlig med bra exempel /Alfred B

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=7D6w-AR9aSo

Testen försvan tog mig 15 min att skriva gör inte om det

== TE17B ==

=== Film 1 ===
https://www.youtube.com/watch?v=E34zv3YdImU
Beskrivningarna är tydliga och exemplen är konkreta; filmen är troligtvis mycket givande för de som inte har extensiva kunskaper i procenträkning.

=== Film 2 ===
Promille och ppm https://www.youtube.com/watch?v=FqZpEm3lZSs

Filmen var intressant. Innan filmen visste jag inte var ppm var, men nu vet jag att det är miljondel. Bra beskrivet och rakt på sak.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 3 ===
Videon ger bra förståelse för vad alla begrepp som kan användas inom procentområdet, såsom procent, promille, PPM, procentenheter och formfaktor. Han visar tydligt med hur man kan skriva ppm med potenser. Han berättar också om ränta och hur det fungerar så genom att kolla på den här så får man dels en bra förståelse för alla begrepp som vi skulle kunna om och så lär vi oss om hur procent används när man räknar med räntor.

https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

=== Film 4 ===
Jag har valt denna film eftersom den går igenom begreppen i en hyfsat snabb hastighet. Det är även väldigt enkelt att följa med i vad han gör och det är därför svårt att bli förvirrad. Den är även inte extremt tråkig så att man tappar uppmärksamheten utan han byter ton vilket hjälper med koncentrationsnivån. https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

=== Film 5 ===

Procentenheter: https://www.youtube.com/watch?v=Y0OozDCtOxE

Han beskriver när man använder procentenheter i riktiga livet och det är bra.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 4 ===

[https://www.youtube.com/watch?v=9IfvCdeRGSU Youtube.procent/watch.com]

det var bra ljud i videon som det knappt var i någon annan,
den var lätt att förstå och man vart inte för uttråkad av den.
den förklarar bra och hen tog det i en bra fart så man hängde med.

=== Film 7 ===

https://youtu. be/nk9VIsBo0lU
Den här videon förklarar ppm, promille och procentbegreppet

https://youtu. be/o9jmb6jRKO4
Den här videon förklarar procentenheter.

Motivering:
De förklarar begreppen på en grundläggande nivå så att alla förstår, någon video var även på svenska vilket ökar förståelsen ännu mer för de som har svårt med engelska.

Grupp:
Maximilian, Ahmed & Kristofer

=== Film 9 ===

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Vi valde denna film för att den är väldigt välstrukturerad och den förklarar på ett väldigt bra sätt med exempel och digitala hjälpmedel i sin redovisning så att man enkelt förstår.
/Albin, Joakim, Simon, Erik G

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Personer med i gruppen: Martin, Sebbe och Lukas
Filmen som vi har valt är bra eftersom han visar utförliga förklaringar. Och förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Han nämner procent lite svagt och fokuserar på PPM, promille och procentenheter, men man förstår vad en procent är.

== TE17C ==

=== Film 1 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Vi valde Daniel Nilssons ,mer känd som Dalles, video för den var kort, punktlig och förklarade de tre begreppen i fråga. Hans ord är matematisk poesi som ger mig en ännu större förståelse för den magiska världen av matte. Han ger också oss som tittaren en viss respekt för matte genom att förklara dessa begrepps riktiga användningsområden. Hans röst är lite jobbig dock.

hälsningar lukas och Jonathan

=== Film 2 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Den filmen är den bästa vi kunde hitta eftersom den går igenom viktiga saker som Promille, PPM och procentenheter. Den är väldigt tydlig och har en bra struktur så att det är lätt att hänga med och förstå. Han sammanfattade väldigt bra och man slipper kolla om eftersom man förstod första gången. Videon är endast 5 minuter lång så man inte tröttnar, andra videos som också var runt 5 minuter långa var inte lika bra eftersom dem var mer otydliga och man orkade inte riktigt lyssna igenom den.

Charlie
Samuel

=== Film 3 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU - Mattebettan - Procent, promille, ppm – Mattebettan: Pratar tydligt och pedagogiskt. Ger tydliga exempel, mycket repetition så att det sätter sig. Väldigt strukturerad

https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo - 9 - Procent – Procentenheter – e1m0h: Pekar ut vanliga misstag och hur man räknar på enklast sätt. Enkelt att förstå. Teori till praktik, sätter exemplen i verkliga situationer så att det blir lätt att förstå. Pedagogisk röst och tydlig skrivstil.
/Hanna, Ellen & Elissa

=== Film 4 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Filmen är kortfattad och går bara igenom det man behöver veta om dessa begrepp. Den tar upp relevanta exempel som gör det lättare att förstå. Det som gjorde denna film bättre än de andra är att den är tydlig och inte för lång. Problemet är dock att den inte tar upp procentenheter, men vi tyckte att det var bättre att ta två bra filmer än en som inte var av samma kvalitet.

https://www.youtube.com/watch?v=47IUSWiiVdU
Denna film kompleterar det den förra filmen saknar, alltså procentenheter. Filmen förklarar utförligt skillnaden mellan procent och procentenheter samt hur man räknar ut dem. Allt framgår tydligt tack vare synergin mellan illustrationen och förklaringarna.

Av: Samuel H, Adam, Anton, Isak.

=== Film 5 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Vi valde denna film för att den är kort, genomförlig, visar exempel men är framför allt inte irriterande att titta på. Dock tar den inte upp procentenheter, men eftersom den innehöll allt annat var det nödvändigt att ta en till film.

https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs
Denna film går istället igenom procentenheter, och bara det. Den gör dock det kort och sammanfattat, vilket är praktiskt eftersom man behöver komplettera från Matte Bettans film. Den visar också hur man omräknar procentenheter till procent, vilket också är praktiskt.

Av Tom och Lucas B

=== Film 6 ===
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

Motivering: Vi valde den här videon eftersom den går igenom procent, promile och ppm. Videon förklarar kort och fort men på ett sätt så att man förstår nästa direkt.

Alexander, Elias och Sami

=== Film 7 ===
https://www.youtube.com/watch?v=5r79Vg4wIt4 Den här videon förklarar procent, promille och ppm
https://www.youtube.com/watch?v=Dp1Sj6M-vJI Den här videon förklarar procentenheter.

De här filmer handlar om procent, promille och ppm och procentenheter. De är bästa filmer tycker jag eftersom där förklarar begreppen med flera exemplar. De är tydliga och man kan förstå fort. Den andra videon förklarar skillnad mellan procent och procentenheter med exemplar.

/Abozar

=== Film 8 ===
Den är kortfattad men skippar ändå inte viktiga delar. Den är tydlig. Han skriver och ritar det han säger på ett bra och förståeligt sätt som utvecklar hans förklaring och tydlighet. Han förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Vi har märkt att många andra också har tagit den här videon, det är nog inte bara ett sammanträffande utan great minds think alike.
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
/Alve, Valdemar, Henrik

=== Film 9 ===

Matte Video
Namn: Hugo, Jacob och Berk

Video 1 (Procent, promille, ppm) = https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Video 2 = https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs

Varför: Video 1 är enkel och struktuerat. Hon förklarar så att vi som kollare förstår skillnaden mellan procent, promille och ppm. Att det är en hundradel, tusendel och miljondel. Video 2 är bra för hon visar ett exempel och visar tydligt vad som är en procent enhet och inte.

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Vi valde denna film eftersom att den förklarar allting väldigt bra vilket gör att man kan hänga med och förstå väldigt bra. Videon är bara 4 minuter lång så man tröttnar inte på att lyssna. Tycker dessutom att hon pratar väldigt tydligt jämfört med andra videor som man lätt tröttnar på.

Pontus och Ramtin

=== Film 11 ===

https://www.youtube.com/watch?v=7p9z0GJA4W8&index=1&list=PLC0uA88O8pF8uTSmO2hKEJE7aFYTGfzgP

−
Motivering: Den här filmen visar en formel hela tiden och visar även bra och många exempel. Han förklarar och visar upp skriftligt och löser uppgiften på ett enkelt och lätt försåtligt sätt. Videon är inte för lång och inte för kort heller. Han är tydlig med vad han vill få fram och snackar bara om ämnet och inte annat strunt.

−
Gruup: Noel, Waiz, Zaki och Khalil.

=== Film 12 ===
Sofia, Biniam, Sonja
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A
Den här personen började med att visa vad procent betyder på ett simpelt sätt så en person
som har aldrig sätt vad procent,han gick steg för steg och inte för snabbt så alla förstår. Han
gjorde exempel på hur man räknar i ppm,procent och procentenheter.

= Filmer som inte funkar m headertabs och ligger i flippmallar =

=== Flipp: Introduktion till procent ===

{{flipped2|
FwUvW_XY0BU |
Introduktion till Procent av Mikael Bondestam
}}

=== Promille och ppm ===

{{flipped2 | NUYUPPWhpPI |Mikael Bondestam om promille och ppm}}

=== Procentenheter ===

{{flipped2|uoH1cYnsp_g |

Mikael Bondestam om '''skillnaden mellan procent och procentenheter'''.

[[Fil:Procent_procentenheter.png|thumb|left| De ständigt i procentsammanhang aktuella Kristdemokraterna.]]
}}

=== Procentbegreppet och tre problemtyper ===

{{flipped2|NklKrH8rtBU |Bondestam om procenträkning med hjälp av förändringsfaktorn. }}

= Redovisning av uppgiften med Procentfilmer =

Klipp in länk och motivering under en rubrik. Det går bra att skapa nya rubriker också (Nivå 3).

Diskussion:Procent Ma1c

2019-11-07T08:25:04Z

Ulrika: /* TE19A */

== TE19A ==
=== Film 1 ===

== TE19B ==

== TE17A ==

=== Film 1 ===

{{#ev:youtube| jUxUqLBba8g |300 | right }}
Den här filmen är simpel men beskriver tydligt om vad Procent, Promille, PPM och Procentenheter är.
Man får en sammafattning om vad man kommer att lära sig inom procent.
Filmen har också med alla begrepp som man skulle lära sig om och då behöver man endast se ett videoklipp och slipper leta efter en annan för att lära sig om alla olika begreppen. Han förklarar långsamt och tydligt som gör det lättare att uppfatta vad han menar och på så sätt behöver man endast se den en enda gång.

Hampus E

=== Film 2 ===

{{#ev:youtube| YTKbLxekTtk |300 | right }}
Jag tycker att filmen bra förklarar vad de olika enheterna innebär.
Den berättar att det är 100, 1000, 1000000 del av ett tal.
Samt visar hur man kan räkna med de olika enheterna genom att omvandla/räkna med dem.
{{clear}}

=== Film 3 ===
Kort tydlig och effektiv, 10/10 would not watch again cuz i understood the first time.

=== Film 4 ===
Promille & ppm
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
videon är bra eftersom den innehåller relenanta begrepp och
använder sig av simpla och tydliga förklaringar

=== Film 5 ===

https://www.youtube.com/watch?v=YaWGDLO9jFM
Mycket bra genomgång. Läraren är inte allt för långsam, men han lyckas ändå gå igenom i de viktigaste grundläggande delarna ganska ingående. Han tar inte upp promille eller ppm dock.

=== Film 6 ===
''Daniel''
{{#ev:youtube|nk9VIsBo0lU|300|right}}
{{#ev:youtube|7D6w-AR9aSo|300|right}}
Första videon är väldigt simpel, tydlig, och kort, vilket gör att det blir väldigt enkelt att förstå vad procent, promille och ppm betyder och innebär. Dock skippar Mattebettan att gå igenom procentenheter, vilket är varför jag valde att ta med en annan video, som också är gjord av Mattebettan.

Början av den andra videon går igenom procentenheters betydelse och dess innebörd på ett simpelt sätt likt första videon, samt hur man räknar med procentenheter.
{{clear}}

=== Film 7 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Denna film är bra eftersom personen tar upp allt som vi behövde veta (promille, ppm och procentenheter)
Han pratar inte för snabbt och genomgången är grundläggande nog så att man kan använda informationen för att lösa uppgifter men inte för komplicerad så att man blir förvirrad och inte förstår.
Videon är inte heller så lång att man blir uttråkad och inte orkar kolla igenom hela men den hinner ändå gå igenom det mana behöver veta.

//Elin

=== Film 8 ===
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
Jag tycker att det här klippet är bra för att han enkelt och snabbt förklarar grunderna i ppm och promille. Det går inte heller smärtsamt långsamt så att man måste öka hastigheten. Jag tycker också att hans förklaring av tiondelsplatser, tusendelsplatser, tiotusendelsplatser osv., var väldigt praktisk och förenklade processen en hel del.

Humbla o hans

=== Film 9 ===
<i>Emil <b>M</b></i>, <i>Simon <b>H</b></i> och <i>Jesper <b>L</b></i><br>
[https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg Klicka här] för att komma till första videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=CzmnR__bgG0 Klicka här] för att komma till andra videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo Klicka här] för att komma till tredje videon.

=== Film 10 ===
===https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU===
kort och tydlig med bra exempel /Alfred B

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=7D6w-AR9aSo

Testen försvan tog mig 15 min att skriva gör inte om det

== TE17B ==

=== Film 1 ===
https://www.youtube.com/watch?v=E34zv3YdImU
Beskrivningarna är tydliga och exemplen är konkreta; filmen är troligtvis mycket givande för de som inte har extensiva kunskaper i procenträkning.

=== Film 2 ===
Promille och ppm https://www.youtube.com/watch?v=FqZpEm3lZSs

Filmen var intressant. Innan filmen visste jag inte var ppm var, men nu vet jag att det är miljondel. Bra beskrivet och rakt på sak.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 3 ===
Videon ger bra förståelse för vad alla begrepp som kan användas inom procentområdet, såsom procent, promille, PPM, procentenheter och formfaktor. Han visar tydligt med hur man kan skriva ppm med potenser. Han berättar också om ränta och hur det fungerar så genom att kolla på den här så får man dels en bra förståelse för alla begrepp som vi skulle kunna om och så lär vi oss om hur procent används när man räknar med räntor.

https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

=== Film 4 ===
Jag har valt denna film eftersom den går igenom begreppen i en hyfsat snabb hastighet. Det är även väldigt enkelt att följa med i vad han gör och det är därför svårt att bli förvirrad. Den är även inte extremt tråkig så att man tappar uppmärksamheten utan han byter ton vilket hjälper med koncentrationsnivån. https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

=== Film 5 ===

Procentenheter: https://www.youtube.com/watch?v=Y0OozDCtOxE

Han beskriver när man använder procentenheter i riktiga livet och det är bra.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 4 ===

[https://www.youtube.com/watch?v=9IfvCdeRGSU Youtube.procent/watch.com]

det var bra ljud i videon som det knappt var i någon annan,
den var lätt att förstå och man vart inte för uttråkad av den.
den förklarar bra och hen tog det i en bra fart så man hängde med.

=== Film 7 ===

https://youtu. be/nk9VIsBo0lU
Den här videon förklarar ppm, promille och procentbegreppet

https://youtu. be/o9jmb6jRKO4
Den här videon förklarar procentenheter.

Motivering:
De förklarar begreppen på en grundläggande nivå så att alla förstår, någon video var även på svenska vilket ökar förståelsen ännu mer för de som har svårt med engelska.

Grupp:
Maximilian, Ahmed & Kristofer

=== Film 9 ===

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Vi valde denna film för att den är väldigt välstrukturerad och den förklarar på ett väldigt bra sätt med exempel och digitala hjälpmedel i sin redovisning så att man enkelt förstår.
/Albin, Joakim, Simon, Erik G

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Personer med i gruppen: Martin, Sebbe och Lukas
Filmen som vi har valt är bra eftersom han visar utförliga förklaringar. Och förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Han nämner procent lite svagt och fokuserar på PPM, promille och procentenheter, men man förstår vad en procent är.

== TE17C ==

=== Film 1 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Vi valde Daniel Nilssons ,mer känd som Dalles, video för den var kort, punktlig och förklarade de tre begreppen i fråga. Hans ord är matematisk poesi som ger mig en ännu större förståelse för den magiska världen av matte. Han ger också oss som tittaren en viss respekt för matte genom att förklara dessa begrepps riktiga användningsområden. Hans röst är lite jobbig dock.

hälsningar lukas och Jonathan

=== Film 2 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Den filmen är den bästa vi kunde hitta eftersom den går igenom viktiga saker som Promille, PPM och procentenheter. Den är väldigt tydlig och har en bra struktur så att det är lätt att hänga med och förstå. Han sammanfattade väldigt bra och man slipper kolla om eftersom man förstod första gången. Videon är endast 5 minuter lång så man inte tröttnar, andra videos som också var runt 5 minuter långa var inte lika bra eftersom dem var mer otydliga och man orkade inte riktigt lyssna igenom den.

Charlie
Samuel

=== Film 3 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU - Mattebettan - Procent, promille, ppm – Mattebettan: Pratar tydligt och pedagogiskt. Ger tydliga exempel, mycket repetition så att det sätter sig. Väldigt strukturerad

https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo - 9 - Procent – Procentenheter – e1m0h: Pekar ut vanliga misstag och hur man räknar på enklast sätt. Enkelt att förstå. Teori till praktik, sätter exemplen i verkliga situationer så att det blir lätt att förstå. Pedagogisk röst och tydlig skrivstil.
/Hanna, Ellen & Elissa

=== Film 4 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Filmen är kortfattad och går bara igenom det man behöver veta om dessa begrepp. Den tar upp relevanta exempel som gör det lättare att förstå. Det som gjorde denna film bättre än de andra är att den är tydlig och inte för lång. Problemet är dock att den inte tar upp procentenheter, men vi tyckte att det var bättre att ta två bra filmer än en som inte var av samma kvalitet.

https://www.youtube.com/watch?v=47IUSWiiVdU
Denna film kompleterar det den förra filmen saknar, alltså procentenheter. Filmen förklarar utförligt skillnaden mellan procent och procentenheter samt hur man räknar ut dem. Allt framgår tydligt tack vare synergin mellan illustrationen och förklaringarna.

Av: Samuel H, Adam, Anton, Isak.

=== Film 5 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Vi valde denna film för att den är kort, genomförlig, visar exempel men är framför allt inte irriterande att titta på. Dock tar den inte upp procentenheter, men eftersom den innehöll allt annat var det nödvändigt att ta en till film.

https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs
Denna film går istället igenom procentenheter, och bara det. Den gör dock det kort och sammanfattat, vilket är praktiskt eftersom man behöver komplettera från Matte Bettans film. Den visar också hur man omräknar procentenheter till procent, vilket också är praktiskt.

Av Tom och Lucas B

=== Film 6 ===
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

Motivering: Vi valde den här videon eftersom den går igenom procent, promile och ppm. Videon förklarar kort och fort men på ett sätt så att man förstår nästa direkt.

Alexander, Elias och Sami

=== Film 7 ===
https://www.youtube.com/watch?v=5r79Vg4wIt4 Den här videon förklarar procent, promille och ppm
https://www.youtube.com/watch?v=Dp1Sj6M-vJI Den här videon förklarar procentenheter.

De här filmer handlar om procent, promille och ppm och procentenheter. De är bästa filmer tycker jag eftersom där förklarar begreppen med flera exemplar. De är tydliga och man kan förstå fort. Den andra videon förklarar skillnad mellan procent och procentenheter med exemplar.

/Abozar

=== Film 8 ===
Den är kortfattad men skippar ändå inte viktiga delar. Den är tydlig. Han skriver och ritar det han säger på ett bra och förståeligt sätt som utvecklar hans förklaring och tydlighet. Han förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Vi har märkt att många andra också har tagit den här videon, det är nog inte bara ett sammanträffande utan great minds think alike.
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
/Alve, Valdemar, Henrik

=== Film 9 ===

Matte Video
Namn: Hugo, Jacob och Berk

Video 1 (Procent, promille, ppm) = https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Video 2 = https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs

Varför: Video 1 är enkel och struktuerat. Hon förklarar så att vi som kollare förstår skillnaden mellan procent, promille och ppm. Att det är en hundradel, tusendel och miljondel. Video 2 är bra för hon visar ett exempel och visar tydligt vad som är en procent enhet och inte.

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Vi valde denna film eftersom att den förklarar allting väldigt bra vilket gör att man kan hänga med och förstå väldigt bra. Videon är bara 4 minuter lång så man tröttnar inte på att lyssna. Tycker dessutom att hon pratar väldigt tydligt jämfört med andra videor som man lätt tröttnar på.

Pontus och Ramtin

=== Film 11 ===

https://www.youtube.com/watch?v=7p9z0GJA4W8&index=1&list=PLC0uA88O8pF8uTSmO2hKEJE7aFYTGfzgP

−
Motivering: Den här filmen visar en formel hela tiden och visar även bra och många exempel. Han förklarar och visar upp skriftligt och löser uppgiften på ett enkelt och lätt försåtligt sätt. Videon är inte för lång och inte för kort heller. Han är tydlig med vad han vill få fram och snackar bara om ämnet och inte annat strunt.

−
Gruup: Noel, Waiz, Zaki och Khalil.

=== Film 12 ===
Sofia, Biniam, Sonja
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A
Den här personen började med att visa vad procent betyder på ett simpelt sätt så en person
som har aldrig sätt vad procent,han gick steg för steg och inte för snabbt så alla förstår. Han
gjorde exempel på hur man räknar i ppm,procent och procentenheter.

= Filmer som inte funkar m headertabs och ligger i flippmallar =

=== Flipp: Introduktion till procent ===

{{flipped2|
FwUvW_XY0BU |
Introduktion till Procent av Mikael Bondestam
}}

=== Promille och ppm ===

{{flipped2 | NUYUPPWhpPI |Mikael Bondestam om promille och ppm}}

=== Procentenheter ===

{{flipped2|uoH1cYnsp_g |

Mikael Bondestam om '''skillnaden mellan procent och procentenheter'''.

[[Fil:Procent_procentenheter.png|thumb|left| De ständigt i procentsammanhang aktuella Kristdemokraterna.]]
}}

=== Procentbegreppet och tre problemtyper ===

{{flipped2|NklKrH8rtBU |Bondestam om procenträkning med hjälp av förändringsfaktorn. }}

= Redovisning av uppgiften med Procentfilmer =

Klipp in länk och motivering under en rubrik. Det går bra att skapa nya rubriker också (Nivå 3).

Diskussion:Procent Ma1c

2019-10-30T12:05:16Z

Ulrika: /* TE18C */

== TE19A ==
== TE19B ==

== TE17A ==

=== Film 1 ===

{{#ev:youtube| jUxUqLBba8g |300 | right }}
Den här filmen är simpel men beskriver tydligt om vad Procent, Promille, PPM och Procentenheter är.
Man får en sammafattning om vad man kommer att lära sig inom procent.
Filmen har också med alla begrepp som man skulle lära sig om och då behöver man endast se ett videoklipp och slipper leta efter en annan för att lära sig om alla olika begreppen. Han förklarar långsamt och tydligt som gör det lättare att uppfatta vad han menar och på så sätt behöver man endast se den en enda gång.

Hampus E

=== Film 2 ===

{{#ev:youtube| YTKbLxekTtk |300 | right }}
Jag tycker att filmen bra förklarar vad de olika enheterna innebär.
Den berättar att det är 100, 1000, 1000000 del av ett tal.
Samt visar hur man kan räkna med de olika enheterna genom att omvandla/räkna med dem.
{{clear}}

=== Film 3 ===
Kort tydlig och effektiv, 10/10 would not watch again cuz i understood the first time.

=== Film 4 ===
Promille & ppm
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
videon är bra eftersom den innehåller relenanta begrepp och
använder sig av simpla och tydliga förklaringar

=== Film 5 ===

https://www.youtube.com/watch?v=YaWGDLO9jFM
Mycket bra genomgång. Läraren är inte allt för långsam, men han lyckas ändå gå igenom i de viktigaste grundläggande delarna ganska ingående. Han tar inte upp promille eller ppm dock.

=== Film 6 ===
''Daniel''
{{#ev:youtube|nk9VIsBo0lU|300|right}}
{{#ev:youtube|7D6w-AR9aSo|300|right}}
Första videon är väldigt simpel, tydlig, och kort, vilket gör att det blir väldigt enkelt att förstå vad procent, promille och ppm betyder och innebär. Dock skippar Mattebettan att gå igenom procentenheter, vilket är varför jag valde att ta med en annan video, som också är gjord av Mattebettan.

Början av den andra videon går igenom procentenheters betydelse och dess innebörd på ett simpelt sätt likt första videon, samt hur man räknar med procentenheter.
{{clear}}

=== Film 7 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Denna film är bra eftersom personen tar upp allt som vi behövde veta (promille, ppm och procentenheter)
Han pratar inte för snabbt och genomgången är grundläggande nog så att man kan använda informationen för att lösa uppgifter men inte för komplicerad så att man blir förvirrad och inte förstår.
Videon är inte heller så lång att man blir uttråkad och inte orkar kolla igenom hela men den hinner ändå gå igenom det mana behöver veta.

//Elin

=== Film 8 ===
https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg
Jag tycker att det här klippet är bra för att han enkelt och snabbt förklarar grunderna i ppm och promille. Det går inte heller smärtsamt långsamt så att man måste öka hastigheten. Jag tycker också att hans förklaring av tiondelsplatser, tusendelsplatser, tiotusendelsplatser osv., var väldigt praktisk och förenklade processen en hel del.

Humbla o hans

=== Film 9 ===
<i>Emil <b>M</b></i>, <i>Simon <b>H</b></i> och <i>Jesper <b>L</b></i><br>
[https://www.youtube.com/watch?v=lmCLXVRRwYg Klicka här] för att komma till första videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=CzmnR__bgG0 Klicka här] för att komma till andra videon.<br>
[https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo Klicka här] för att komma till tredje videon.

=== Film 10 ===
===https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU===
kort och tydlig med bra exempel /Alfred B

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=7D6w-AR9aSo

Testen försvan tog mig 15 min att skriva gör inte om det

== TE17B ==

=== Film 1 ===
https://www.youtube.com/watch?v=E34zv3YdImU
Beskrivningarna är tydliga och exemplen är konkreta; filmen är troligtvis mycket givande för de som inte har extensiva kunskaper i procenträkning.

=== Film 2 ===
Promille och ppm https://www.youtube.com/watch?v=FqZpEm3lZSs

Filmen var intressant. Innan filmen visste jag inte var ppm var, men nu vet jag att det är miljondel. Bra beskrivet och rakt på sak.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 3 ===
Videon ger bra förståelse för vad alla begrepp som kan användas inom procentområdet, såsom procent, promille, PPM, procentenheter och formfaktor. Han visar tydligt med hur man kan skriva ppm med potenser. Han berättar också om ränta och hur det fungerar så genom att kolla på den här så får man dels en bra förståelse för alla begrepp som vi skulle kunna om och så lär vi oss om hur procent används när man räknar med räntor.

https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

=== Film 4 ===
Jag har valt denna film eftersom den går igenom begreppen i en hyfsat snabb hastighet. Det är även väldigt enkelt att följa med i vad han gör och det är därför svårt att bli förvirrad. Den är även inte extremt tråkig så att man tappar uppmärksamheten utan han byter ton vilket hjälper med koncentrationsnivån. https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

=== Film 5 ===

Procentenheter: https://www.youtube.com/watch?v=Y0OozDCtOxE

Han beskriver när man använder procentenheter i riktiga livet och det är bra.

/Marcus Cazzola 17B

=== Film 4 ===

[https://www.youtube.com/watch?v=9IfvCdeRGSU Youtube.procent/watch.com]

det var bra ljud i videon som det knappt var i någon annan,
den var lätt att förstå och man vart inte för uttråkad av den.
den förklarar bra och hen tog det i en bra fart så man hängde med.

=== Film 7 ===

https://youtu. be/nk9VIsBo0lU
Den här videon förklarar ppm, promille och procentbegreppet

https://youtu. be/o9jmb6jRKO4
Den här videon förklarar procentenheter.

Motivering:
De förklarar begreppen på en grundläggande nivå så att alla förstår, någon video var även på svenska vilket ökar förståelsen ännu mer för de som har svårt med engelska.

Grupp:
Maximilian, Ahmed & Kristofer

=== Film 9 ===

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Vi valde denna film för att den är väldigt välstrukturerad och den förklarar på ett väldigt bra sätt med exempel och digitala hjälpmedel i sin redovisning så att man enkelt förstår.
/Albin, Joakim, Simon, Erik G

=== Film 11 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Personer med i gruppen: Martin, Sebbe och Lukas
Filmen som vi har valt är bra eftersom han visar utförliga förklaringar. Och förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Han nämner procent lite svagt och fokuserar på PPM, promille och procentenheter, men man förstår vad en procent är.

== TE17C ==

=== Film 1 ===

https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g

Vi valde Daniel Nilssons ,mer känd som Dalles, video för den var kort, punktlig och förklarade de tre begreppen i fråga. Hans ord är matematisk poesi som ger mig en ännu större förståelse för den magiska världen av matte. Han ger också oss som tittaren en viss respekt för matte genom att förklara dessa begrepps riktiga användningsområden. Hans röst är lite jobbig dock.

hälsningar lukas och Jonathan

=== Film 2 ===
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
Den filmen är den bästa vi kunde hitta eftersom den går igenom viktiga saker som Promille, PPM och procentenheter. Den är väldigt tydlig och har en bra struktur så att det är lätt att hänga med och förstå. Han sammanfattade väldigt bra och man slipper kolla om eftersom man förstod första gången. Videon är endast 5 minuter lång så man inte tröttnar, andra videos som också var runt 5 minuter långa var inte lika bra eftersom dem var mer otydliga och man orkade inte riktigt lyssna igenom den.

Charlie
Samuel

=== Film 3 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU - Mattebettan - Procent, promille, ppm – Mattebettan: Pratar tydligt och pedagogiskt. Ger tydliga exempel, mycket repetition så att det sätter sig. Väldigt strukturerad

https://www.youtube.com/watch?v=-4mU5r8QhCo - 9 - Procent – Procentenheter – e1m0h: Pekar ut vanliga misstag och hur man räknar på enklast sätt. Enkelt att förstå. Teori till praktik, sätter exemplen i verkliga situationer så att det blir lätt att förstå. Pedagogisk röst och tydlig skrivstil.
/Hanna, Ellen & Elissa

=== Film 4 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Filmen är kortfattad och går bara igenom det man behöver veta om dessa begrepp. Den tar upp relevanta exempel som gör det lättare att förstå. Det som gjorde denna film bättre än de andra är att den är tydlig och inte för lång. Problemet är dock att den inte tar upp procentenheter, men vi tyckte att det var bättre att ta två bra filmer än en som inte var av samma kvalitet.

https://www.youtube.com/watch?v=47IUSWiiVdU
Denna film kompleterar det den förra filmen saknar, alltså procentenheter. Filmen förklarar utförligt skillnaden mellan procent och procentenheter samt hur man räknar ut dem. Allt framgår tydligt tack vare synergin mellan illustrationen och förklaringarna.

Av: Samuel H, Adam, Anton, Isak.

=== Film 5 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU
Denna film går igenom procent, promille och ppm. Vi valde denna film för att den är kort, genomförlig, visar exempel men är framför allt inte irriterande att titta på. Dock tar den inte upp procentenheter, men eftersom den innehöll allt annat var det nödvändigt att ta en till film.

https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs
Denna film går istället igenom procentenheter, och bara det. Den gör dock det kort och sammanfattat, vilket är praktiskt eftersom man behöver komplettera från Matte Bettans film. Den visar också hur man omräknar procentenheter till procent, vilket också är praktiskt.

Av Tom och Lucas B

=== Film 6 ===
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A

Motivering: Vi valde den här videon eftersom den går igenom procent, promile och ppm. Videon förklarar kort och fort men på ett sätt så att man förstår nästa direkt.

Alexander, Elias och Sami

=== Film 7 ===
https://www.youtube.com/watch?v=5r79Vg4wIt4 Den här videon förklarar procent, promille och ppm
https://www.youtube.com/watch?v=Dp1Sj6M-vJI Den här videon förklarar procentenheter.

De här filmer handlar om procent, promille och ppm och procentenheter. De är bästa filmer tycker jag eftersom där förklarar begreppen med flera exemplar. De är tydliga och man kan förstå fort. Den andra videon förklarar skillnad mellan procent och procentenheter med exemplar.

/Abozar

=== Film 8 ===
Den är kortfattad men skippar ändå inte viktiga delar. Den är tydlig. Han skriver och ritar det han säger på ett bra och förståeligt sätt som utvecklar hans förklaring och tydlighet. Han förklarar värdet av varje enhet och hur man räknar med dom. Vi har märkt att många andra också har tagit den här videon, det är nog inte bara ett sammanträffande utan great minds think alike.
https://www.youtube.com/watch?v=jUxUqLBba8g
/Alve, Valdemar, Henrik

=== Film 9 ===

Matte Video
Namn: Hugo, Jacob och Berk

Video 1 (Procent, promille, ppm) = https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Video 2 = https://www.youtube.com/watch?v=7ha_u5ad-Rs

Varför: Video 1 är enkel och struktuerat. Hon förklarar så att vi som kollare förstår skillnaden mellan procent, promille och ppm. Att det är en hundradel, tusendel och miljondel. Video 2 är bra för hon visar ett exempel och visar tydligt vad som är en procent enhet och inte.

=== Film 10 ===
https://www.youtube.com/watch?v=nk9VIsBo0lU

Vi valde denna film eftersom att den förklarar allting väldigt bra vilket gör att man kan hänga med och förstå väldigt bra. Videon är bara 4 minuter lång så man tröttnar inte på att lyssna. Tycker dessutom att hon pratar väldigt tydligt jämfört med andra videor som man lätt tröttnar på.

Pontus och Ramtin

=== Film 11 ===

https://www.youtube.com/watch?v=7p9z0GJA4W8&index=1&list=PLC0uA88O8pF8uTSmO2hKEJE7aFYTGfzgP

−
Motivering: Den här filmen visar en formel hela tiden och visar även bra och många exempel. Han förklarar och visar upp skriftligt och löser uppgiften på ett enkelt och lätt försåtligt sätt. Videon är inte för lång och inte för kort heller. Han är tydlig med vad han vill få fram och snackar bara om ämnet och inte annat strunt.

−
Gruup: Noel, Waiz, Zaki och Khalil.

=== Film 12 ===
Sofia, Biniam, Sonja
https://www.youtube.com/watch?v=KjB78eNqb1A
Den här personen började med att visa vad procent betyder på ett simpelt sätt så en person
som har aldrig sätt vad procent,han gick steg för steg och inte för snabbt så alla förstår. Han
gjorde exempel på hur man räknar i ppm,procent och procentenheter.

= Filmer som inte funkar m headertabs och ligger i flippmallar =

=== Flipp: Introduktion till procent ===

{{flipped2|
FwUvW_XY0BU |
Introduktion till Procent av Mikael Bondestam
}}

=== Promille och ppm ===

{{flipped2 | NUYUPPWhpPI |Mikael Bondestam om promille och ppm}}

=== Procentenheter ===

{{flipped2|uoH1cYnsp_g |

Mikael Bondestam om '''skillnaden mellan procent och procentenheter'''.

[[Fil:Procent_procentenheter.png|thumb|left| De ständigt i procentsammanhang aktuella Kristdemokraterna.]]
}}

=== Procentbegreppet och tre problemtyper ===

{{flipped2|NklKrH8rtBU |Bondestam om procenträkning med hjälp av förändringsfaktorn. }}

= Redovisning av uppgiften med Procentfilmer =

Klipp in länk och motivering under en rubrik. Det går bra att skapa nya rubriker också (Nivå 3).

Vektorer

2019-10-21T09:13:39Z

Ulrika: /* Aktivitet */

__NOTOC__
=Teori=
[[Fil:Normalkrafter på bil.png|200px|höger | Kraftverkan på en bil i Algodoo]]
{{malruta | Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett
koordinatsystem.
}}

===Användningen av vektorer===
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

''Texten från Wikipedia''
{{clear}}

===Representation av vektorer===
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>

Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som

:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>

''Texten från Wikipedia - Vektor''

===Vektorer mellan två punkter===

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>

===Likadana, parallella och motsatta vektorer===

Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="430px" height="260px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |'''Motsatta vektorer''':
Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. <math> \mathbf{- a} </math> är motsatt <math> \mathbf{a} </math>
}}
{{sats| '''Sats''':

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.
}}

===Längden av en vektor===
[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och skrivs ofta med beloppstecken som <math> |\overrightarrow{AB}| </math>.

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

{{viktigt|'''Storleken av en vektor''':
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

: vektorns längd är <math> \sqrt{(längden~i~x-led)^2+ (längden~i~y-led)^2} </math>

I bilden till höger är vektorns längd : vektorns längd är <math> \sqrt{5^2+ 2^2} </math>
}}
{{clear}}

===Vektorer i koordinatsystem===
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]

{{defruta| '''Enhetsvektorer'''

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.
}}

{{clear}}

=Exempel=

{{exruta| '''Längden av en vektor'''

[[Fil:Vektor AB längd.PNG|200px|höger]]

Vad är längden av vektor <math>u</math>

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

: <math> |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} </math>
}}

=Aktivitet=

===Mini-GeoGebra-lektioner===

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eJnukkc3/width/873/height/512/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="873px" height="512px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=Uppgifter=

===Begrepp===

{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''

# Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
# Hur lång är en enhetsvektor?
# För en tvådimensionell vektor <math>v</math> gäller <math>v =(4,5)</math>. Beräkna <math>|v|</math>.

CC [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer/uppgifter#/exercises/9137/9138 Matteboken.se]
|
# Riktning
# Enhetsvektorn har längden 1
# <math>|v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41}</math>
}}
{{clear}}

===Procedurer===

{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''

[[Fil:Vektor_u.PNG|200px|höger]]

# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Vilka av följande vektorer är parallella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math>
# Vilka av vektorerna är likadana?

{{clear}}
|
: 1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.

: <math> |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 </math>

Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.

: 2, Längden är <math> \sqrt{58} </math>

3, 4) TBD
}}

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
|}

===Vektorer i fler dimensioner===

I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>

eller

:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
</math>

:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>

===Tillämpningar i massor===

'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

[http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh TED Lessons - What is a vector]

'''Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?'''

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara [http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem trefas] elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

'''Den vetgirige''' tar en titt på [http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve engelska] och [http://sv.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier-kurva svenska] wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].

==Exit ticket==

Exit ticket: Vektorers representation

<headertabs />

Grafisk ekvationslösning

2019-09-19T06:32:59Z

Ulrika: /* Uppgifter */

= Teori =

{{malruta | Grafisk ekvationslösning

Vi ska lära oss hur man ritar ekvationens vänsterled och högerled var för sig i ett koordinatsystem. Grafernas skärningspunkt utgör då ekvationens lösning.
}}

En ekvation består av två uttryck (med åtminstone någon variabel) med ett likhetstecken mellan. Om man istället ser varje uttryck som funktioner f(x) och g(x) kommer det att finns ett (eller flera, möjligen inget) x-värde där funktionerna har samma värde. Det x-värdet utgör ekvationens lösning.

Om man ritar graferna för funktionerna kommer x-värdet som motsvarar ekvationens lösning att markera skärningspunkten mellan graferna.

{{exruta|'''Demonstration''':

Visa hur vi tar isär ekvationen <math> 2.3x-4.9 = 2.5 - 0.4x </math> och lägger in de två funktionerna i GeoGebra.

: <math> V.L~=~2.3x-4.9 </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.3x-4.9 </math>

: <math> H.L~=~ 2.5 - 0.4x </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.5 - 0.4x </math>

Skärningspunkten hittar du antingen genom att skriva in kommandot skärning[f,g] eller använda geometriverktyget för skärningspunkt.

x-koordinaten för skärningspunkten motsvarar ekvationens lösning.
}}

= Aktivitet - GeoGebra =

'''Diskussion''': Vilka slutsatser kan vi dra?

<html>
<iframe scrolling="no" title="Equation solver" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D9zzZf47/width/612/height/497/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="612px" height="497px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

'''Enskild aktivitet''': Nu övar ni själva på dessa ekvationer:

# Lös ekvationen <math>0.36x + 1.56 = -0.5x + 5</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>-5x/3 - 8 = 2</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math> 2(2x+3) = 4(3-2x)</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>x+1 = x^2</math> grafiskt.
# För vilket värde på <math>x</math> är <math> \sqrt{x} = 3</math>?
# För <math>(x-2)(x+3) = 0 </math> har höger led funktionen <math>g(x) = 0 </math> Vad innebär det? Hur kan du förklara sambandet mellan graferna, det algebraiska uttrycket i vänster led och ekvationen?

'''Kluring:'''
# Vad har <math>0.5 x + 0.5 = x^{0.5}</math> för lösning?
# Vad har <math>0.5 x + 0.3 = x^{0.5}</math> för lösning?

'''Tips!''' Pröva gärna
# <math>0.5 x = \frac{1}{x}</math>
# <math>x^{0.5} = 6-x</math>
# <math>0.5 = \sin x</math>

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/HMu89rP7SV9jVTyr?ref{{=}}Link Grafisk ekvationslösning] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Balansmetoden Balansmetoden] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Undersök ===

[https://www.geogebra.org/m/Dv3VKCSb#material/janxjF4N Quiz: Graphing Linear Equations (V1). Author: Tim Brzezinski]

En GeoGebra Book med mycket material om [https://www.geogebra.org/m/w4DnWSFy Equations and Expressions]. En del av klurigheten är hur man ska förstå övningarna. :-)

=== Lär dig mer GeoGebra ===

Lite länkar på denna sida: [[GeoGebra]]

== Öva själv ==

Leta upp övningar med ekvationer på Khan Academy.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Grafisk ekvationslösning

2019-09-19T06:32:31Z

Ulrika: /* Uppgifter */

= Teori =

{{malruta | Grafisk ekvationslösning

Vi ska lära oss hur man ritar ekvationens vänsterled och högerled var för sig i ett koordinatsystem. Grafernas skärningspunkt utgör då ekvationens lösning.
}}

En ekvation består av två uttryck (med åtminstone någon variabel) med ett likhetstecken mellan. Om man istället ser varje uttryck som funktioner f(x) och g(x) kommer det att finns ett (eller flera, möjligen inget) x-värde där funktionerna har samma värde. Det x-värdet utgör ekvationens lösning.

Om man ritar graferna för funktionerna kommer x-värdet som motsvarar ekvationens lösning att markera skärningspunkten mellan graferna.

{{exruta|'''Demonstration''':

Visa hur vi tar isär ekvationen <math> 2.3x-4.9 = 2.5 - 0.4x </math> och lägger in de två funktionerna i GeoGebra.

: <math> V.L~=~2.3x-4.9 </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.3x-4.9 </math>

: <math> H.L~=~ 2.5 - 0.4x </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.5 - 0.4x </math>

Skärningspunkten hittar du antingen genom att skriva in kommandot skärning[f,g] eller använda geometriverktyget för skärningspunkt.

x-koordinaten för skärningspunkten motsvarar ekvationens lösning.
}}

= Aktivitet - GeoGebra =

'''Diskussion''': Vilka slutsatser kan vi dra?

<html>
<iframe scrolling="no" title="Equation solver" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D9zzZf47/width/612/height/497/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="612px" height="497px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

'''Enskild aktivitet''': Nu övar ni själva på dessa ekvationer:

# Lös ekvationen <math>0.36x + 1.56 = -0.5x + 5</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>-5x/3 - 8 = 2</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math> 2(2x+3) = 4(3-2x)</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>x+1 = x^2</math> grafiskt.
# För vilket värde på <math>x</math> är <math> \sqrt{x} = 3</math>?
# För <math>(x-2)(x+3) = 0 </math> har höger led funktionen <math>g(x) = 0 </math> Vad innebär det? Hur kan du förklara sambandet mellan graferna, det algebraiska uttrycket i vänster led och ekvationen?

'''Kluring:'''
# Vad har <math>0.5 x + 0.5 = x^{0.5}</math> för lösning?
# Vad har <math>0.5 x + 0.3 = x^{0.5}</math> för lösning?

'''Tips!''' Pröva gärna
# <math>0.5 x = frac{1}{x}</math>
# <math>x^{0.5} = 6-x</math>
# <math>0.5 = sin (x)</math>

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/HMu89rP7SV9jVTyr?ref{{=}}Link Grafisk ekvationslösning] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Balansmetoden Balansmetoden] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Undersök ===

[https://www.geogebra.org/m/Dv3VKCSb#material/janxjF4N Quiz: Graphing Linear Equations (V1). Author: Tim Brzezinski]

En GeoGebra Book med mycket material om [https://www.geogebra.org/m/w4DnWSFy Equations and Expressions]. En del av klurigheten är hur man ska förstå övningarna. :-)

=== Lär dig mer GeoGebra ===

Lite länkar på denna sida: [[GeoGebra]]

== Öva själv ==

Leta upp övningar med ekvationer på Khan Academy.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Grafisk ekvationslösning

2019-09-19T06:31:45Z

Ulrika: /* Uppgifter */

= Teori =

{{malruta | Grafisk ekvationslösning

Vi ska lära oss hur man ritar ekvationens vänsterled och högerled var för sig i ett koordinatsystem. Grafernas skärningspunkt utgör då ekvationens lösning.
}}

En ekvation består av två uttryck (med åtminstone någon variabel) med ett likhetstecken mellan. Om man istället ser varje uttryck som funktioner f(x) och g(x) kommer det att finns ett (eller flera, möjligen inget) x-värde där funktionerna har samma värde. Det x-värdet utgör ekvationens lösning.

Om man ritar graferna för funktionerna kommer x-värdet som motsvarar ekvationens lösning att markera skärningspunkten mellan graferna.

{{exruta|'''Demonstration''':

Visa hur vi tar isär ekvationen <math> 2.3x-4.9 = 2.5 - 0.4x </math> och lägger in de två funktionerna i GeoGebra.

: <math> V.L~=~2.3x-4.9 </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.3x-4.9 </math>

: <math> H.L~=~ 2.5 - 0.4x </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.5 - 0.4x </math>

Skärningspunkten hittar du antingen genom att skriva in kommandot skärning[f,g] eller använda geometriverktyget för skärningspunkt.

x-koordinaten för skärningspunkten motsvarar ekvationens lösning.
}}

= Aktivitet - GeoGebra =

'''Diskussion''': Vilka slutsatser kan vi dra?

<html>
<iframe scrolling="no" title="Equation solver" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D9zzZf47/width/612/height/497/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="612px" height="497px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

'''Enskild aktivitet''': Nu övar ni själva på dessa ekvationer:

# Lös ekvationen <math>0.36x + 1.56 = -0.5x + 5</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>-5x/3 - 8 = 2</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math> 2(2x+3) = 4(3-2x)</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>x+1 = x^2</math> grafiskt.
# För vilket värde på <math>x</math> är <math> \sqrt{x} = 3</math>?
# För <math>(x-2)(x+3) = 0 </math> har höger led funktionen <math>g(x) = 0 </math> Vad innebär det? Hur kan du förklara sambandet mellan graferna, det algebraiska uttrycket i vänster led och ekvationen?

'''Kluring:'''
# Vad har <math>0.5 x + 0.5 = x^{0.5}</math> för lösning?
# Vad har <math>0.5 x + 0.3 = x^{0.5}</math> för lösning?

'''Tips!''' Pröva gärna
# <math>0.5 x = 1/x</math>
# <math>x<sup>0.5</sup> = 6-x</math>
# <math>0.5 = sin(x)</math>

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/HMu89rP7SV9jVTyr?ref{{=}}Link Grafisk ekvationslösning] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Balansmetoden Balansmetoden] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Undersök ===

[https://www.geogebra.org/m/Dv3VKCSb#material/janxjF4N Quiz: Graphing Linear Equations (V1). Author: Tim Brzezinski]

En GeoGebra Book med mycket material om [https://www.geogebra.org/m/w4DnWSFy Equations and Expressions]. En del av klurigheten är hur man ska förstå övningarna. :-)

=== Lär dig mer GeoGebra ===

Lite länkar på denna sida: [[GeoGebra]]

== Öva själv ==

Leta upp övningar med ekvationer på Khan Academy.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Grafisk ekvationslösning

2019-09-19T06:17:43Z

Ulrika: /* Uppgifter */

= Teori =

{{malruta | Grafisk ekvationslösning

Vi ska lära oss hur man ritar ekvationens vänsterled och högerled var för sig i ett koordinatsystem. Grafernas skärningspunkt utgör då ekvationens lösning.
}}

En ekvation består av två uttryck (med åtminstone någon variabel) med ett likhetstecken mellan. Om man istället ser varje uttryck som funktioner f(x) och g(x) kommer det att finns ett (eller flera, möjligen inget) x-värde där funktionerna har samma värde. Det x-värdet utgör ekvationens lösning.

Om man ritar graferna för funktionerna kommer x-värdet som motsvarar ekvationens lösning att markera skärningspunkten mellan graferna.

{{exruta|'''Demonstration''':

Visa hur vi tar isär ekvationen <math> 2.3x-4.9 = 2.5 - 0.4x </math> och lägger in de två funktionerna i GeoGebra.

: <math> V.L~=~2.3x-4.9 </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.3x-4.9 </math>

: <math> H.L~=~ 2.5 - 0.4x </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.5 - 0.4x </math>

Skärningspunkten hittar du antingen genom att skriva in kommandot skärning[f,g] eller använda geometriverktyget för skärningspunkt.

x-koordinaten för skärningspunkten motsvarar ekvationens lösning.
}}

= Aktivitet - GeoGebra =

'''Diskussion''': Vilka slutsatser kan vi dra?

<html>
<iframe scrolling="no" title="Equation solver" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D9zzZf47/width/612/height/497/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="612px" height="497px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

'''Enskild aktivitet''': Nu övar ni själva på dessa ekvationer:

# Lös ekvationen <math>0.36x + 1.56 = -0.5x + 5</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>-5x/3 - 8 = 2</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math> 2(2x+3) = 4(3-2x)</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>x+1 = x^2</math> grafiskt.
# För vilket värde på <math>x</math> är <math> \sqrt{x} = 3</math>?
# För <math>(x-2)(x+3) = 0 </math> har höger led funktionen <math>g(x) = 0 </math> Vad innebär det? Hur kan du förklara sambandet mellan graferna, det algebraiska uttrycket i vänster led och ekvationen?

'''Kluring:'''
# Vad har <math>0.5 x + 0.5 = x^{0.5}</math> för lösning?
# Vad har <math>0.5 x + 0.3 = x^{0.5}</math> för lösning?

'''Tips!''' Pröva gärna
# 0.5 x = 1/x,
# x<sup>0.5</sup> = 6-x
# 0.5 = sin(x)

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/HMu89rP7SV9jVTyr?ref{{=}}Link Grafisk ekvationslösning] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Balansmetoden Balansmetoden] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Undersök ===

[https://www.geogebra.org/m/Dv3VKCSb#material/janxjF4N Quiz: Graphing Linear Equations (V1). Author: Tim Brzezinski]

En GeoGebra Book med mycket material om [https://www.geogebra.org/m/w4DnWSFy Equations and Expressions]. En del av klurigheten är hur man ska förstå övningarna. :-)

=== Lär dig mer GeoGebra ===

Lite länkar på denna sida: [[GeoGebra]]

== Öva själv ==

Leta upp övningar med ekvationer på Khan Academy.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Grafisk ekvationslösning

2019-09-19T06:16:58Z

Ulrika: /* Uppgifter */

= Teori =

{{malruta | Grafisk ekvationslösning

Vi ska lära oss hur man ritar ekvationens vänsterled och högerled var för sig i ett koordinatsystem. Grafernas skärningspunkt utgör då ekvationens lösning.
}}

En ekvation består av två uttryck (med åtminstone någon variabel) med ett likhetstecken mellan. Om man istället ser varje uttryck som funktioner f(x) och g(x) kommer det att finns ett (eller flera, möjligen inget) x-värde där funktionerna har samma värde. Det x-värdet utgör ekvationens lösning.

Om man ritar graferna för funktionerna kommer x-värdet som motsvarar ekvationens lösning att markera skärningspunkten mellan graferna.

{{exruta|'''Demonstration''':

Visa hur vi tar isär ekvationen <math> 2.3x-4.9 = 2.5 - 0.4x </math> och lägger in de två funktionerna i GeoGebra.

: <math> V.L~=~2.3x-4.9 </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.3x-4.9 </math>

: <math> H.L~=~ 2.5 - 0.4x </math> - skriv in det i GeoGebra.
: Den kommer nu att heta <math>f(x)~=~2.5 - 0.4x </math>

Skärningspunkten hittar du antingen genom att skriva in kommandot skärning[f,g] eller använda geometriverktyget för skärningspunkt.

x-koordinaten för skärningspunkten motsvarar ekvationens lösning.
}}

= Aktivitet - GeoGebra =

'''Diskussion''': Vilka slutsatser kan vi dra?

<html>
<iframe scrolling="no" title="Equation solver" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D9zzZf47/width/612/height/497/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="612px" height="497px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

'''Enskild aktivitet''': Nu övar ni själva på dessa ekvationer:

# Lös ekvationen <math>0,36x + 1,56 = -0,5x + 5</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>-5x/3 - 8 = 2</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math> 2(2x+3) = 4(3-2x)</math> grafiskt.
# Lös ekvationen <math>x+1 = x^2</math> grafiskt.
# För vilket värde på <math>x</math> är <math> \sqrt{x} = 3</math>?
# För <math>(x-2)(x+3) = 0 </math> har höger led funktionen <math>g(x) = 0 </math> Vad innebär det? Hur kan du förklara sambandet mellan graferna, det algebraiska uttrycket i vänster led och ekvationen?

'''Kluring:'''
# Vad har <math>0,5 x + 0.5 = x^{0,5}</math> för lösning?
# Vad har <math>0,5 x + 0.3 = x^{0,5}</math> för lösning?

'''Tips!''' Pröva gärna
# 0,5 x = 1/x,
# x<sup>0,5</sup> = 6-x
# 0,5 = sin(x)

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/HMu89rP7SV9jVTyr?ref{{=}}Link Grafisk ekvationslösning] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Balansmetoden Balansmetoden] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Undersök ===

[https://www.geogebra.org/m/Dv3VKCSb#material/janxjF4N Quiz: Graphing Linear Equations (V1). Author: Tim Brzezinski]

En GeoGebra Book med mycket material om [https://www.geogebra.org/m/w4DnWSFy Equations and Expressions]. En del av klurigheten är hur man ska förstå övningarna. :-)

=== Lär dig mer GeoGebra ===

Lite länkar på denna sida: [[GeoGebra]]

== Öva själv ==

Leta upp övningar med ekvationer på Khan Academy.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Omskrivning av formler

2019-09-17T08:10:29Z

Ulrika: /* Omvandla pund till sek */

=Teori=

{{malruta | Omskrivning av formler

Du ska lära dig att skriva om formler och lösa ut en variabel (vilken som helst).
}}

[[Bild:SVT-triangel.png|thumb|En '''SVT-triangel''' med divisionsstreck och multiplikationstecken utsatta]]
[[Fil:Ohm's law triangle.PNG|200px|right|Det är inte ovanligt att elektriker använder sig av en sådan triangel för att förstå Ohms lag.]]

Inom matematik, fysik, kemi, ekonomi, mm finner vi många formler. Formler beskriver samband eller lagar.

Det finns trianglar som hjälper till att visa formler för s, v, t som bilden till höger men det är egentligen onödigt. Det finns väldigt många formler och det är väldigt opraktiskt att ha speciella bilder för varje formel. Det är enklare att vi lär oss hur vi skriver om formeler och löser ut den variabel som vi behöver beräkna.

Vi kan slå upp formlerna i formelsamlingar eller på nätet och då finns den i en standardform, exempelvis:

:<math> s = v t </math> där s är sträckan, v är hastigheten och t är tiden.

eller

:<math> U = R I </math> där U är spänningen, R är resistansen och I är strömmen.

===Metod===

Att lösa ut en annan variabel än den som redan står till vänster i formeln handlar om att balansera formeln precis som när vi förenklar ekvationer.

:<math> s = v t \qquad</math> kan lika gärna skrivas

:<math> v = \frac{s}{t} \qquad</math> eller

:<math> t = \frac{s}{v} \qquad</math>

<br>

{{viktigt| '''Trianglar duger inte'''

Som vi förklarar ovan är det ingen hållbar lösning att hålla på med trianglar.

'''Lär dig hur du skriver om formler istället!'''
}}
{{clear}}

=Aktivitet=
{{#ev:youtube |HwKWx75baMQ |400 |right |av Tomas Sverin}}
Vi skriver om

:<math> U = R I </math>

och ni prövar själva på en enkel formel (lös ut m respektive g)

:<math> F = m g </math>

Och en lite svårare:

Lös ut r ur gravitationsformeln

:<math> F = G \frac{m M}{r^2} </math>

Leta gärna fler [[Formelsamling_Fysik_1_Heureka|fysikformler]] och lös ut valfria storheter
{{clear}}

=Pund med Python=

[[Kategori:Python]]
[[Kategori:Ma1c]]
[[Kategori:Aritmetik]]
[[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

==Omvandla pund till sek==

{{uppgruta|'''Omvandla pund till sek'''

Följande program omvandlar 21 brittiska pund (GBP) till svenska kronor (SEK).

# På vilket sätt kan man ändra den befintliga koden för att omvandla 1000 SEK till GBP?
# På vilket sätt kan man omvandla 50 euro (EUR) till SEK?
# På vilket sätt kan man omvandla valfri summa EUR till SEK?
}}

==Koden==

<pre>
# vi omvandlar 21 GBP till SEK
antalgbp = 21

# växelkurs
gbpsek = 11.6

print(antalgbp, "Brittiska pund är")
sek = antalgbp * gbpsek
helasek = int (sek)

print("ungefär", helasek, "svenska kronor")

# Resultatet visas så länge vi vill
input ("Tryck Enter för att avsluta programmet")
</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

=Python - Tryckomvandling=

[[Kategori:Python]]
[[Kategori:Ma1c]]
[[Kategori:Algebra]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar.
Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
}}
==Omvandla trycket==
[[Fil:Python-basic-image-exercise-67.png|400px|höger|Tryckomvandling.]]

===Skapa formler för enhetsomvandlingar===

Det här Pythonprogrammet omvandlar tryck från kPa till PSI, mmHg och atm. Din uppgift är att göra om formlerna så det omvandlar från och till andra enheter. Det kan lätt göras om till et program som omvandlar mellan andra typer av enheter.

{{uppgruta| '''Tryckomvandling'''

# Kör programmet och testa med att ange några olika tryck.
# Jämför med värdena i en tabell
# Var i programmet sker omvandlingen?
# Hur ser formlerna ut?
# Hur skulle formlerna se ut om programmet ska omvandla mm kvicksilver till kPa?
# Gör om programmet så det omvandlar mm kvicksilver till kPa, PSI och atm.
}}
{{clear}}

==Python-koden==

<pre>
kpa = float(input("Input pressure in in kilopascals> "))
psi = kpa / 6.89475729
mmhg = kpa * 760 / 101.325
atm = kpa / 101.325
print("The pressure in pounds per square inch: %.2f psi" % (psi))
print("The pressure in millimeter of mercury: %.2f mmHg" % (mmhg))
print("Atmosphere pressure: %.2f atm." % (atm))
</pre>

Uppgiften är inspirerad av [https://www.w3resource.com/python-exercises/python-basic-exercise-67.php w3resource]

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{Sway | [https://sway.com/EcBFrnmjZDtX5e5l?ref{{=}}Link Omskrivning av formler] }}<br />
{{wplink| [https://en.wikipedia.org/wiki/Formula Formula] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/formler-och-ekvationer Formler och ekvationer] }}<br />
|}

==Exit ticket==

Lapptest

:Centrepetalacceleration:

:<math>F=\frac{m v^2}{r}</math>

Lös ut r.

Lös ut v.

<headertabs />

Skapa uttryck

2019-09-12T08:19:58Z

Ulrika: /* Programmering */

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi ska lära oss att skapa algebraiska uttryck utifrån problembeskrivningar i text och bild.

Dessutom ska vi börja använda '''matematikverktyget GeoGebra'''.
}}

{{#ev:youtube | r4edNRPj0cs | 400 | right | Skapa uttryck och los problem med ekvationer, av Stina Boström}}
{{#ev:youtube | ypra1GxWc4M | 400 | right | Dalles matte - Algebraiska uttryck och ekvationerr, av Daniel Nilsson}}

=== Algebraiska uttryck ===

För att förklara begreppen uttryck och variabel är det enklast att titta på ett exempel, där vi introducerar de båda begreppen:

En bokklubb erbjuder sina medlemmar att beställa böcker billigt. Bokklubben har en medlemsavgift på 100 kronor och utöver det kostar varje bok man som medlem beställer 20 kronor styck. Om vi ställer upp en tabell över hur mycket det kostar att köpa ett visst antal böcker, skulle det kunna se ut så här:

{| class="wikitable"
|-
! Antal böcker!! Kostnad (kr)
|-
| 1 ||100+20⋅1=120
|-
| 2 ||100+20⋅2=140
|-
| 3 ||100+20⋅3=160
|-
| 4 ||100+20⋅4=180
|-
| 5 ||100+20⋅5=200
|-
| 6 ||100+20⋅6=220
|-
| 7 ||100+20⋅7=240
|}

Vi har en fast kostnad, medlemsavgiften på 100 kronor, och en kostnad som varierar med antalet böcker man beställer. För att lättare kunna beskriva vad det kostar, oavsett vilket antal böcker man beställer, benämner vi antalet beställda böcker med x.

Bokstaven <math>x</math> är då en variabel, eftersom dess värde (som anger antalet beställda böcker) varierar. Medlemsavgiften på 100 kronor förändras inte och kallas därför för en konstant, likaså kostnaden på 20 kronor som tillkommer för varje bok som beställs.

Kostnaden för ett godtyckligt antal böcker x kan vi skriva som

: <math>100+20⋅x</math>

vilket kallas ett uttryck.

Ett utryck som innehåller minst en variabel kallas för ett algebraiskt uttryck.

''Texten ovan från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Matteboken.se]''
{{clear}}

= Aktivitet - GeoGebra =

== GeoGebra ==

[[File:011cm 001.jpg|300px | right]]
[[Fil:Start graphing.PNG|300px|höger]]
[[File:Två_räta_linjer.PNG|300px | right]]

GeoGebra är ett matematikprogram som är open source och har fler än 100 miljoner användare. Idag ska du lära dig att göra dina första konstruktioner. Vi kommer att använda det regelbundet i alla mattekurser och du får använda det på vissa delar av dina kommande prov, inklusive nationella proven.

Gå in på [https://www.geogebra.org/ GeoGebra.org]. och skapa ett konto.

=== En taxiresa ===

{{uppgruta| '''Vad kostar taxiresan?'''
* En resa med Taxi Furir kostar 77 kr i framkörningsavgift och 17 kr per kilometer x. Skriv en formel för kostnaden y, om man åker ett visst antal kilometer.
* Skriv in formeln i inmatningsfältet till GeoGebra. Studera grafen. Hur långt kan man åka för 500 kronor?
* Om du istället anlitar Taxi Ploj är framkörningsavgiften noll kr men kilometer avgiften 24 kr. När får man bästa priset med respektive bolag.
}}

=== Så här gör du i GeoGebra ===

# Gå in på [https://www.geogebra.org/ GeoGebra.org] och klicka på Start Graphing.
# skriv ditt uttryck i inmatningsfönstret och tryck Enter. GeoGebra tolkar det som en funktion.
# Zooma ut genom att trycka på '''Shift''' och dra med högerklick (två fingrar) i axlarna.
# Skriv in ditt andra uttryck
# Läs av skärningspunkten.

{{viktigt| '''Funktioner i geoGebra'''

Du kan skriva in en funktion <math>y = 3 x + 4</math> i GeoGebra men om du bara skriver <math>3 x + 4</math> döper GeoGebra din funktion till <math>f(x) = 3 x + 4</math>. Nästa funktion döps till <math>g(x)</math> osv. Man behöver inte använda gångertecken, ett mellanrum räcker.
}}

= Programmering =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Åka taxi ==

{{uppgruta|'''Taxiresor'''

# Kör programmet och kontrollräkna att programmet gör rätt genom att sätta in olika värden.
# Undersök koden. Hitta var i programmet beräkningarna sker.
# Ändra i koden så att programmet räknar på annan kilometerkostnad och framkörningsavgift.
# Skriv om koden till ett program som beräknar priset för en resa där du matar in taxibolagets framkörningsavgift, kilometerpris samt hur långt du vill åka.
}}

== Koden ==

<pre>
def start():
while True:
choice = input("Vill du räkna kostnad på distans eller distans på kostnad? (km / kr) ")
if choice.lower() == "kr":
calc_dist()
elif choice.lower() == "km":
calc_cost()
else:
continue
break

def calc_cost():
distance = float(input("Ange distans i km: "))
if(distance <= 0):
print("Du kan inte ange noll eller ett negativt tal")
return

furir_cost = 17 * distance + 77
ploj_cost = 24 * distance

print("Furir kostar %.2f kr"%furir_cost)
print("Ploj kostar %.2f kr"%ploj_cost)

if furir_cost < ploj_cost:
print("Furir är %.2f kr billigare än Ploj"%(ploj_cost - furir_cost))
elif furir_cost > ploj_cost:
print("Ploj är %.2f kr billigare än Furir"%(furir_cost - ploj_cost))
elif furir_cost == ploj_cost:
print("De är lika dyra")

def calc_dist():
cost = float(input("Ange kostnad i kr: "))
if(cost <= 0):
print("Du kan inte ange noll eller ett negativt tal")
return

furir_distance = (cost - 77) / 17
furir_distance = furir_distance if furir_distance > 0 else 0
ploj_distance = cost / 24

if(furir_distance == 0):
print("Du har inte tillräckligt med pengar för att åka med Furir-taxi")
else:
print("Du kan ta dig %.2f km med Furir-taxi"%furir_distance)
print("Du kan ta dig %.2f km med Ploj-taxi"%ploj_distance)

if furir_distance < ploj_distance:
print("Med Ploj-taxi kan du ta dig %.2f km mer än Furir-taxi"%(ploj_distance - furir_distance))
elif furir_distance > ploj_distance:
print("Med Furir-taxi kan du ta dig %.2f km mer än Ploj-taxi"%(furir_distance - ploj_distance))
else:
print("De är lika dyra")

if __name__ == "__main__":
start()
</pre>

=== Credit ===

Sven skrev det här programmet när Tomas gick igenom GeoGebra med klassen. Movitz hjälpte honom sen att snygga till det.

= Uppgifter att lösa med GeoGebra =

<pdf>Fil:Lös_rätalinjen-uppgifter_med_GeoGebra.pdf</pdf>

= Uppgifter =

{{uppgruta| '''Hur gammal är Alfons?'''

: Hitta ett uttryck för följande:

Om Alfons vore ett år äldre skulle Erika vara fyra gånger så gammal och tillsammans vore de 40 år?
}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/fCSSFr5FC0ucUv1Y?ref{{=}}Link Skapa uttryck]}}<br />
{{wplink| [https://en.wikipedia.org/wiki/Expression_(mathematics) Expressions (Mathematics)] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler] }}<br />
|}

* {{svwp |Rektangel}}
* {{svwp |Matematiskt_uttryck}}
* Glosförhör i Canvas (baserat på glosorna från lektionen innan).
* GeoGebra.org. Välj Graphing calculator.

== Exit ticket ==

Finns ej än.
<headertabs />

Skapa uttryck

2019-09-12T06:55:06Z

Ulrika: /* Programmering */

= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi ska lära oss att skapa algebraiska uttryck utifrån problembeskrivningar i text och bild.

Dessutom ska vi börja använda '''matematikverktyget GeoGebra'''.
}}

{{#ev:youtube | r4edNRPj0cs | 400 | right | Skapa uttryck och los problem med ekvationer, av Stina Boström}}
{{#ev:youtube | ypra1GxWc4M | 400 | right | Dalles matte - Algebraiska uttryck och ekvationerr, av Daniel Nilsson}}

=== Algebraiska uttryck ===

För att förklara begreppen uttryck och variabel är det enklast att titta på ett exempel, där vi introducerar de båda begreppen:

En bokklubb erbjuder sina medlemmar att beställa böcker billigt. Bokklubben har en medlemsavgift på 100 kronor och utöver det kostar varje bok man som medlem beställer 20 kronor styck. Om vi ställer upp en tabell över hur mycket det kostar att köpa ett visst antal böcker, skulle det kunna se ut så här:

{| class="wikitable"
|-
! Antal böcker!! Kostnad (kr)
|-
| 1 ||100+20⋅1=120
|-
| 2 ||100+20⋅2=140
|-
| 3 ||100+20⋅3=160
|-
| 4 ||100+20⋅4=180
|-
| 5 ||100+20⋅5=200
|-
| 6 ||100+20⋅6=220
|-
| 7 ||100+20⋅7=240
|}

Vi har en fast kostnad, medlemsavgiften på 100 kronor, och en kostnad som varierar med antalet böcker man beställer. För att lättare kunna beskriva vad det kostar, oavsett vilket antal böcker man beställer, benämner vi antalet beställda böcker med x.

Bokstaven <math>x</math> är då en variabel, eftersom dess värde (som anger antalet beställda böcker) varierar. Medlemsavgiften på 100 kronor förändras inte och kallas därför för en konstant, likaså kostnaden på 20 kronor som tillkommer för varje bok som beställs.

Kostnaden för ett godtyckligt antal böcker x kan vi skriva som

: <math>100+20⋅x</math>

vilket kallas ett uttryck.

Ett utryck som innehåller minst en variabel kallas för ett algebraiskt uttryck.

''Texten ovan från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Matteboken.se]''
{{clear}}

= Aktivitet - GeoGebra =

== GeoGebra ==

[[File:011cm 001.jpg|300px | right]]
[[Fil:Start graphing.PNG|300px|höger]]
[[File:Två_räta_linjer.PNG|300px | right]]

GeoGebra är ett matematikprogram som är open source och har fler än 100 miljoner användare. Idag ska du lära dig att göra dina första konstruktioner. Vi kommer att använda det regelbundet i alla mattekurser och du får använda det på vissa delar av dina kommande prov, inklusive nationella proven.

Gå in på [https://www.geogebra.org/ GeoGebra.org]. och skapa ett konto.

=== En taxiresa ===

{{uppgruta| '''Vad kostar taxiresan?'''
* En resa med Taxi Furir kostar 77 kr i framkörningsavgift och 17 kr per kilometer x. Skriv en formel för kostnaden y, om man åker ett visst antal kilometer.
* Skriv in formeln i inmatningsfältet till GeoGebra. Studera grafen. Hur långt kan man åka för 500 kronor?
* Om du istället anlitar Taxi Ploj är framkörningsavgiften noll kr men kilometer avgiften 24 kr. När får man bästa priset med respektive bolag.
}}

=== Så här gör du i GeoGebra ===

# Gå in på [https://www.geogebra.org/ GeoGebra.org] och klicka på Start Graphing.
# skriv ditt uttryck i inmatningsfönstret och tryck Enter. GeoGebra tolkar det som en funktion.
# Zooma ut genom att trycka på '''Shift''' och dra med högerklick (två fingrar) i axlarna.
# Skriv in ditt andra uttryck
# Läs av skärningspunkten.

{{viktigt| '''Funktioner i geoGebra'''

Du kan skriva in en funktion <math>y = 3 x + 4</math> i GeoGebra men om du bara skriver <math>3 x + 4</math> döper GeoGebra din funktion till <math>f(x) = 3 x + 4</math>. Nästa funktion döps till <math>g(x)</math> osv. Man behöver inte använda gångertecken, ett mellanrum räcker.
}}

= Programmering =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Åka taxi ==

{{uppgruta|'''Taxiresor'''

# Kör programmet och kontrollräkna att programmet gör rätt genom att sätta in olika värden.
# Undersök koden. Hitta var i programmet beräkningarna sker.
# Ändra i koden så att programmet räknar på annan kilometerkostnad och framkörningsavgift.
# Skriv om koden till ett program som beräknar priset för en resa där du matar in taxibolagets framkörningsavgift, kilometerpris samt hur långt du vill åka.
}}

== Koden ==

<pre>
def start():
while True:
choice = input("Vill du räkna kostnad på distans eller distans på kostnad? (km / kr) ")
if choice.lower() == "kr":
calc_dist()
elif choice.lower() == "km":
calc_cost()
else:
continue
break

def calc_cost():
distance = float(input("Ange distans i km: "))
if(distance <= 0):
print("Du kan inte ange noll eller ett negativt tal")
return

furir_cost = 17 * distance + 77
ploj_cost = 24 * distance

print("Furir kostar %.2f kr"%furir_cost)
print("Ploj kostar %.2f kr"%ploj_cost)

if furir_cost < ploj_cost:
print("Furir är %.2f kr billigare än Ploj"%(ploj_cost - furir_cost))
elif furir_cost > ploj_cost:
print("Ploj är %.2f kr billigare än Furir"%(furir_cost - ploj_cost))
elif furir_cost == ploj_cost:
print("De är lika dyra")

def calc_dist():
cost = float(input("Ange kostnad i kr: "))
if(cost <= 0):
print("Du kan inte ange noll eller ett negativt tal")
return

furir_distance = (cost - 77) / 17
furir_distance = furir_distance if furir_distance > 0 else 0
ploj_distance = cost / 24

if(furir_distance == 0):
print("Du har inte tillräckligt med pengar för att åka med Furir-taxi")
else:
print("Du kan ta dig %.2f km med Furir-taxi"%furir_distance)
print("Du kan ta dig %.2f km med Ploj-taxi"%ploj_distance)

if furir_distance < ploj_distance:
print("Med Furir-taxi kan du ta dig %.2f km mer än Ploj-taxi"%(ploj_distance - furir_distance))
elif furir_distance > ploj_distance:
print("Med Ploj-taxi kan du ta dig %.2f km mer än Furir-taxi"%(furir_distance - ploj_distance))
else:
print("De är lika dyra")

if __name__ == "__main__":
start()
</pre>

=== Credit ===

Sven skrev det här programmet när Tomas gick igenom GeoGebra med klassen. Movitz hjälpte honom sen att snygga till det.

= Uppgifter =

{{uppgruta| '''Hur gammal är Alfons?'''

: Hitta ett uttryck för följande:

Om Alfons vore ett år äldre skulle Erika vara fyra gånger så gammal och tillsammans vore de 40 år?
}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/fCSSFr5FC0ucUv1Y?ref{{=}}Link Skapa uttryck]}}<br />
{{wplink| [https://en.wikipedia.org/wiki/Expression_(mathematics) Expressions (Mathematics)] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler] }}<br />
|}

* {{svwp |Rektangel}}
* {{svwp |Matematiskt_uttryck}}
* Glosförhör i Canvas (baserat på glosorna från lektionen innan).
* GeoGebra.org. Välj Graphing calculator.

== Exit ticket ==

Finns ej än.
<headertabs />

Algebra och modeller

2019-09-11T13:17:54Z

Ulrika: /* Teori */

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebra och modeller

Vi ska lära oss lite grunder i GeoGebra. Dessutom ska vi öva oss på att skapa uttryck och att använda dem vid modellering.
}}

=== Matematisk modellering ===

En beskrivning av en situation är en modell, använder vi matematik för att beskriva situationen så har vi en matematisk modell. Det vi vill att våra matematiska modeller ska göra är att assistera och hjälpa oss i våra beräkningar och förutsägelser. En matematisk modell kan ta ett avancerat system eller process, och beskriva den på ett enklare sätt.

Modellering kommer sällan ensamt, för att kunna skapa en modell med bra överensstämmelse, så behöver vi först läsa om det problem, process eller system vi har och som vi vill skapa en matematisk modell för. När vi har modellen, så vill vi uppskatta vårt resultat med hjälp av modellen, och se om det är några ändringar som behöver göras. Vi behöver sedan utvärdera och validera. När vi väl validerat, så vill vi beräkna. Det här kan vi göra flera gånger. Modellera, uppskatta, utvärdera och beräkna. När vi känner oss trygga med vår matematiska modell, och upplever att den ger en god uppskattning av verkligheten, så kan vi beskriva vår modell.

En del modellering går snabbt, annan modellering går mer långsamt. En del modeller kommer självklart, medan andra tar tid att få på plats.

=== Uttryck och modeller ===

Matematisk modellering har använts för att lösa problem, inte bara inom teknik och fysik, men även i biologi och sjukvård.

När vi har ett problem som vi kan beskriva med ett algebraiskt uttryck har vi en modell av problemet.

Att arbeta med modelleringsuppgifter i undervisningen innebär att elever utifrån olika vardagliga
och andra utommatematiska situationer skapar och använder en matematisk modell.
Det innefattar att tolka resultat som den matematiska modellen ger samt utvärdera modellen
och att klargöra dess begränsningar och förutsättningar. Modelleringsprocessen innebär
ett utforskande arbetssätt där elever prövar, diskuterar och justerar sin modell. Det är
ett arbetssätt som leder till ett aktivt lärande och ett mer produktivt sätt att tänka i matematik
(Lesh & Zawojewski, 2007). Genom modelleringsaktiviteter kan elever även på ett naturligt
sätt komma i kontant med situationer som visar olika tillämpningar av matematik
och dess betydelse för andra ämnesområden.

{{exruta| '''Modelluppgift 1 - Matsalsbordets area'''

Ebbe och Siri besöker en möbelaffär för att köpa ett matbord och vill att bordsskivan
ska ha form av en kvadrat. I möbelaffären finns matbord med rektangulära bordsskivor
men inget där bordsskivan är en kvadrat. De bestämmer sig då för att köpa det
matbord där bordskivan är mest lik en kvadrat. Hjälp dem att bestämma en metod för
att avgöra vilken bordsskiva som är mest lik en kvadrat.
}}

{{exruta| '''Modelluppgift 2 - knutar på rep'''

Slå en knut på ett rep. Hur mycket kortare blir repet? Slå fler knutar på repet och mät repets
längd för varje ny knut. Upprepa för rep av olika tjocklek. Ställ upp en matematisk modell
som för varje rep anger hur mycket kortare repet blir då man slår x knutar på repet. Vilka
förutsättningar krävs för att modellerna ska fungera? Hur stort kan x vara?
}}

''Texten ovan från [http://hkr.diva-portal.org/smash/get/diva2:789898/FULLTEXT01.pdf Skolverket].''

= Aktivitet =

==== Förbered dig för GeoGebrauppgiften ====

Det är viktigt att du följer instruktionerna till punkt och pricka. Fråga om något är oklart.

Skapa en modell (på papper)
# Om en rektangel med sidorna a och b har omkretsen 40 cm kan du skapa ett uttryck där b skrivs som en funktion av a
# Skriv ner uttrycket
# Kontrollera att ditt uttryck för b stämmer.

Nu har du en modell som du är bekant med. För att förstå den bättre ska du nu skapa en dynamisk modell i GeoGebra. Följ instruktionerna på nästa flik.

= GeoGebra =

=== Rektangelns area ===

{{uppgruta|'''Rita rektanglar'''

Gå till GeoGebra.org. Välj Start Graphing.

* En rektangel har sidan a och omkretsen 40.
* Skapa ett uttryck för rektangelns andra sida.
* Skapa en glidare för sidlängden a.
* Skapa rektangeln i GeoGebra och dra litet i glidaren.
* Vad kommer du till för slutsatser. När har rektangeln störst area? Diskutera med en kamrat.

'''Detaljerad instruktion''' finns nedan.
}}
{{clear}}

=== Detaljerad instruktion för att rita rektangeln ===

# Gå till [https://www.geogebra.org/?lang=sv GeoGebra]
# Skapa en glidare och döp den till a (om den inte blivit det automatiskt)
# Använd verktyget Sträcka med bestämd längd. Skapa en sträcka med längden a. Nu kan du variera längden med hjälp av glidaren.
# Ändra egenskapern på sidan a så att längden visas.
# Vrid sträckan 90<sup>o</sup> genom att ta tag i högra punkten och dra.
# Från förra sträckans startpunkt drar du nu en ny sträcka med bestämd längd. Men denna gång skriver du in ditt uttryck som motsvara b
# Skapa den andra sträckan som motsvarar b
# Förbind de återstående punkterna så de har en rektangel
# För att få fram arean måste du rita en polygon med hörnen i dina rektangelpunkter.
# Markera hela rektangel och ställ in att egenskaperna för att värdet area ska visas.
# Dra i glidaren och undersök hur arean ändras.
# Vilken form ger den största arean?

{{viktigt| '''Dynamiska modeller'''

Sidan a var en parameter i den modell som du skapade genom uttrycket 20-a för sträckan b som funktion av a. På det viset kan du undersöka rektangelns egenskaper vid olika former.
}}

=== GeoGebra ===

{{#ev:youtube | uRRS6Gesxcw | 400 |right |En dynamisk rektangel med given omkrets.}}
'''Film:''' [https://www.youtube.com/watch?v=uRRS6Gesxcw Skapa uttryck], av Håkan Elderstig

Vi ska använda uttryck (och formler) för att skapa modeller som vi undersöker i GeoGebra. Nedan visar jag några exempel på rektanglar som skapats på olika sätt. Till höger finns en film som visar hur glidaren används för att ändra formen.

{{clear}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="rektanglar" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CQmPE4gJ/width/657/height/574/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="657px" height="574px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/V1RZewjYnTvwvaBk?ref{{=}}Link Algebra och modellerk]}}<br />
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/6d9f789b-cca6-42be-82e6-9b247de088c2 Formulera uttryck: Bra exempel] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler (igen)] }}<br />
|}

=== Läs ===

* [https://www.geogebra.org/b/JV45hyEh#material/xMHv8tVY GeoGebra Geometry Quickstart]
* [http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2126_13_3.pdf Matematiska modeller och modellering – vad är det?]
* [http://hkr.diva-portal.org/smash/get/diva2:789898/FULLTEXT01.pdf Lärportalen för matematik, matematiska modeller]

=== Theo Jansen ===

Att arbeta med uttryck, koefficienter och parametrar som vi gjort ovan är ett kraftfullt verktyg för att skapa dynamiska modeller och konstruktioner Titta på Theo Jansens [http://www.strandbeest.com/ Strandbeest] nedan.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mNheeHTS/width/748/height/397/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="748px" height="397px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/MYGJ9jrbpvg" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</html>

== Exit ticket ==

KM: Exit ticket: Uttryck
<headertabs />

Fil:Korsord information gap.pdf

2019-09-10T07:16:47Z

Ulrika:

Begrepp inom algebran

2019-09-10T07:16:39Z

Ulrika: /* Korsord */

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran.
Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran.
Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.
}}

=== Algebraiska regler ===

{{defruta | '''Samma regler inom aritmetiken som i algebran'''<br />

: '''Kommutativa lagen.'''
Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla element <math>x</math> och : <math>y</math> i <math>S</math> gäller att

: <math>x \star y = y \star x</math>.<br />

: '''Associativa lagen.'''
En binär operator * på en mängd ''S'' kallas '''associativ''' om det '''för alla''' ''x'', ''y'' och ''z'' i ''S'' gäller att
:(''x'' * ''y'') * ''z'' {{=}} ''x'' * (''y'' * ''z'').
Om så är fallet kan man använda beteckningen ''x'' * ''y'' * ''z'', eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.<br />

: '''Distributiva lagen.'''
En operator, <math>\,*</math>, sägs vara '''distributiv''' med avseende på en annan operator, +, om det för alla ''x'', ''y'' och ''z'' i en mängd ''S'' gäller att
: <math>\, x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>
: och
:<math>\, (y + z) * x = (y * x) + (z * x)</math><br />

: '''Prioriteringsreglerna'''

: Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.

: '''Potenslagarna'''
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
:
* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

}}

= Korsord =

<pdf>Fil:Korsord_nc.pdf</pdf>

= Korsord 2 =

<pdf>Fil:Korsord_information_gap_nc.pdf</pdf>

= Korsord 3=

<pdf>Fil:Korsord_information_gap.pdf</pdf>

= Aktivitet =

=== Algebraiska begrepp ===

{{uppgruta | Googla något av begreppen i listan och lär dig mer.

Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.
}}

'''Lär dig dessa begrepp och matematikord'''

{| class{{=}}"wikitable"
|-
! Ord !! Betydelse
|-
| bestäm || fastställa värdet av
|-
| beräkna || räkna ut värdet av
|-
| bryt ut|| den distributiva lagen "baklänges"
|-
| grad|| vinkelenhet
|-
| ekvation || två uttryck med ett likhetstecken mellan
|-
| faktorisera || dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
|-
| flytta över || förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
|-
| formel || en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
|-
| funktion || ett samband mellan två eller flera variabler, ex <math>y = 3 x - 2</math>
|-
| förenkla || minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
|-
| förkorta || plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
|-
| höger led || termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
|-
| koefficient|| det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
|-
| konstant || en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis <math> \pi </math>
|-
| lös ut || se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
|-
| modell|| en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
|-
| operator || tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis <math> +, -, *, /</math>
|-
| upphöjt|| någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
|-
| uttryck || en kombination av tal, variabler och operatorer
|-
| variabel || en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
|-
| vänster led || termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
|-
| värdet av || att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är
|}

=== Finn regeln ===

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

{| class="wikitable"
|-
! Förenkling !! Skriv regeln
|-
| <math>{(x^3)}^4 = x^{12}</math> || _______________________
|-
| <math>x^0 = 1 </math> || _______________________
|-
| 2 + 3 * 4 = 14 || _______________________
|-
| <math>{ \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7}</math> || _______________________
|-
| <math>x^2 \cdot x^5 = x^{7}</math> || _______________________
|-
| <math>{(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} </math> || _______________________
|-
| <math>{x^5 \over x^3} = x^{2}</math> || _______________________

|}

= Pund med Python =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Omvandla pund till sek ==

{{uppgruta|'''Omvandla pund till sek'''

Följande program omvandlar 21 brittiska pund (GBP) til svenska kronor (SEK).

# På vilket sätt kan man ändra den befintliga koden för att omvandla 1000 SEK till GBP?
# På vilket sätt kan man omvandla 50 euro (EUR) till SEK?
# På vilket sätt kan man omvandla valfri summa EUR till SEK?
}}

== Koden ==

<pre>
# vi omvandlar 21 GBP till SEK
antalgbp = 21

# växelkurs
gbpsek = 11.6

print(antalgbp, "Brittiska pund är")
sek = antalgbp * gbpsek
helasek = int (sek)

print("ungefär", helasek, "svenska kronor")

# Resultatet visas så länge vi vill
input ("Tryck Enter för att avsluta programmet")
</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

== Öva förenkling ==

Demonstrationsexempel för förenkling:

: <math> 5x - 2y - x +3 </math>

: <math> 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 </math>

: <math> \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7}</math>

: <math> \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 }</math>

== Lär mer ==

=== Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===

{| align="right"
|-
| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
|}
: [https://www.youtube.com/watch?v=6JBVYoNmUJw&t=17s Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler]
: [https://www.youtube.com/watch?v=ok4gAxSWPQM&t=8s Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck]
{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |left}}
{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |left}}
<html><div style="clear:both"></div></html>

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsuppgifter_p%C3%A5_f%C3%B6renklingar.pdf Övningsblad förenklingar]
{{clear}}

=== Förenkla avancerat exempel. ===

: [https://www.youtube.com/watch?v=dwzEVOvIUBU Matematik 1c A Algebra förenkla avancerat exempel]
{{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsblad_i_faktorisering_2.pdf Övningsblad 2 faktorisering]

{{clear}}

== Exit ticket ==

<headertabs />

Fil:Korsord information gap nc.pdf

2019-09-10T07:14:39Z

Ulrika:

Begrepp inom algebran

2019-09-10T07:14:09Z

Ulrika:

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran.
Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran.
Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.
}}

=== Algebraiska regler ===

{{defruta | '''Samma regler inom aritmetiken som i algebran'''<br />

: '''Kommutativa lagen.'''
Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla element <math>x</math> och : <math>y</math> i <math>S</math> gäller att

: <math>x \star y = y \star x</math>.<br />

: '''Associativa lagen.'''
En binär operator * på en mängd ''S'' kallas '''associativ''' om det '''för alla''' ''x'', ''y'' och ''z'' i ''S'' gäller att
:(''x'' * ''y'') * ''z'' {{=}} ''x'' * (''y'' * ''z'').
Om så är fallet kan man använda beteckningen ''x'' * ''y'' * ''z'', eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.<br />

: '''Distributiva lagen.'''
En operator, <math>\,*</math>, sägs vara '''distributiv''' med avseende på en annan operator, +, om det för alla ''x'', ''y'' och ''z'' i en mängd ''S'' gäller att
: <math>\, x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>
: och
:<math>\, (y + z) * x = (y * x) + (z * x)</math><br />

: '''Prioriteringsreglerna'''

: Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.

: '''Potenslagarna'''
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
:
* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

}}

= Korsord =

<pdf>Fil:Korsord_nc.pdf</pdf

= Aktivitet =

=== Algebraiska begrepp ===

{{uppgruta | Googla något av begreppen i listan och lär dig mer.

Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.
}}

'''Lär dig dessa begrepp och matematikord'''

{| class{{=}}"wikitable"
|-
! Ord !! Betydelse
|-
| bestäm || fastställa värdet av
|-
| beräkna || räkna ut värdet av
|-
| bryt ut|| den distributiva lagen "baklänges"
|-
| grad|| vinkelenhet
|-
| ekvation || två uttryck med ett likhetstecken mellan
|-
| faktorisera || dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
|-
| flytta över || förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
|-
| formel || en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
|-
| funktion || ett samband mellan två eller flera variabler, ex <math>y = 3 x - 2</math>
|-
| förenkla || minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
|-
| förkorta || plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
|-
| höger led || termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
|-
| koefficient|| det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
|-
| konstant || en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis <math> \pi </math>
|-
| lös ut || se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
|-
| modell|| en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
|-
| operator || tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis <math> +, -, *, /</math>
|-
| upphöjt|| någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
|-
| uttryck || en kombination av tal, variabler och operatorer
|-
| variabel || en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
|-
| vänster led || termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
|-
| värdet av || att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är
|}

=== Finn regeln ===

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

{| class="wikitable"
|-
! Förenkling !! Skriv regeln
|-
| <math>{(x^3)}^4 = x^{12}</math> || _______________________
|-
| <math>x^0 = 1 </math> || _______________________
|-
| 2 + 3 * 4 = 14 || _______________________
|-
| <math>{ \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7}</math> || _______________________
|-
| <math>x^2 \cdot x^5 = x^{7}</math> || _______________________
|-
| <math>{(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} </math> || _______________________
|-
| <math>{x^5 \over x^3} = x^{2}</math> || _______________________

|}

= Pund med Python =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Omvandla pund till sek ==

{{uppgruta|'''Omvandla pund till sek'''

Följande program omvandlar 21 brittiska pund (GBP) til svenska kronor (SEK).

# På vilket sätt kan man ändra den befintliga koden för att omvandla 1000 SEK till GBP?
# På vilket sätt kan man omvandla 50 euro (EUR) till SEK?
# På vilket sätt kan man omvandla valfri summa EUR till SEK?
}}

== Koden ==

<pre>
# vi omvandlar 21 GBP till SEK
antalgbp = 21

# växelkurs
gbpsek = 11.6

print(antalgbp, "Brittiska pund är")
sek = antalgbp * gbpsek
helasek = int (sek)

print("ungefär", helasek, "svenska kronor")

# Resultatet visas så länge vi vill
input ("Tryck Enter för att avsluta programmet")
</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

== Öva förenkling ==

Demonstrationsexempel för förenkling:

: <math> 5x - 2y - x +3 </math>

: <math> 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 </math>

: <math> \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7}</math>

: <math> \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 }</math>

== Lär mer ==

=== Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===

{| align="right"
|-
| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
|}
: [https://www.youtube.com/watch?v=6JBVYoNmUJw&t=17s Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler]
: [https://www.youtube.com/watch?v=ok4gAxSWPQM&t=8s Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck]
{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |left}}
{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |left}}
<html><div style="clear:both"></div></html>

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsuppgifter_p%C3%A5_f%C3%B6renklingar.pdf Övningsblad förenklingar]
{{clear}}

=== Förenkla avancerat exempel. ===

: [https://www.youtube.com/watch?v=dwzEVOvIUBU Matematik 1c A Algebra förenkla avancerat exempel]
{{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsblad_i_faktorisering_2.pdf Övningsblad 2 faktorisering]

{{clear}}

== Exit ticket ==

<headertabs />

Fil:Korsord nc.pdf

2019-09-10T07:12:59Z

Ulrika:

Begrepp inom algebran

2019-09-09T13:03:46Z

Ulrika: /* Aktivitet */

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran.
Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran.
Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.
}}

=== Algebraiska regler ===

{{defruta | '''Samma regler inom aritmetiken som i algebran'''<br />

: '''Kommutativa lagen.'''
Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla element <math>x</math> och : <math>y</math> i <math>S</math> gäller att

: <math>x \star y = y \star x</math>.<br />

: '''Associativa lagen.'''
En binär operator * på en mängd ''S'' kallas '''associativ''' om det '''för alla''' ''x'', ''y'' och ''z'' i ''S'' gäller att
:(''x'' * ''y'') * ''z'' {{=}} ''x'' * (''y'' * ''z'').
Om så är fallet kan man använda beteckningen ''x'' * ''y'' * ''z'', eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.<br />

: '''Distributiva lagen.'''
En operator, <math>\,*</math>, sägs vara '''distributiv''' med avseende på en annan operator, +, om det för alla ''x'', ''y'' och ''z'' i en mängd ''S'' gäller att
: <math>\, x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>
: och
:<math>\, (y + z) * x = (y * x) + (z * x)</math><br />

: '''Prioriteringsreglerna'''

: Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.

: '''Potenslagarna'''
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
:
* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

}}

= Aktivitet =

=== Algebraiska begrepp ===

{{uppgruta | Googla något av begreppen i listan och lär dig mer.

Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.
}}

'''Lär dig dessa begrepp och matematikord'''

{| class{{=}}"wikitable"
|-
! Ord !! Betydelse
|-
| bestäm || fastställa värdet av
|-
| beräkna || räkna ut värdet av
|-
| bryt ut|| den distributiva lagen "baklänges"
|-
| grad|| vinkelenhet
|-
| ekvation || två uttryck med ett likhetstecken mellan
|-
| faktorisera || dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
|-
| flytta över || förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
|-
| formel || en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
|-
| funktion || ett samband mellan två eller flera variabler, ex <math>y = 3 x - 2</math>
|-
| förenkla || minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
|-
| förkorta || plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
|-
| höger led || termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
|-
| koefficient|| det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
|-
| konstant || en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis <math> \pi </math>
|-
| lös ut || se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
|-
| modell|| en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
|-
| operator || tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis <math> +, -, *, /</math>
|-
| upphöjt|| någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
|-
| uttryck || en kombination av tal, variabler och operatorer
|-
| variabel || en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
|-
| vänster led || termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
|-
| värdet av || att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är
|}

=== Finn regeln ===

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

{| class="wikitable"
|-
! Förenkling !! Skriv regeln
|-
| <math>{(x^3)}^4 = x^{12}</math> || _______________________
|-
| <math>x^0 = 1 </math> || _______________________
|-
| 2 + 3 * 4 = 14 || _______________________
|-
| <math>{ \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7}</math> || _______________________
|-
| <math>x^2 \cdot x^5 = x^{7}</math> || _______________________
|-
| <math>{(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} </math> || _______________________
|-
| <math>{x^5 \over x^3} = x^{2}</math> || _______________________

|}

= Pund med Python =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Omvandla pund till sek ==

{{uppgruta|'''Omvandla pund till sek'''

Följande program omvandlar 21 brittiska pund (GBP) til svenska kronor (SEK).

# På vilket sätt kan man ändra den befintliga koden för att omvandla 1000 SEK till GBP?
# På vilket sätt kan man omvandla 50 euro (EUR) till SEK?
# På vilket sätt kan man omvandla valfri summa EUR till SEK?
}}

== Koden ==

<pre>
# vi omvandlar 21 GBP till SEK
antalgbp = 21

# växelkurs
gbpsek = 11.6

print(antalgbp, "Brittiska pund är")
sek = antalgbp * gbpsek
helasek = int (sek)

print("ungefär", helasek, "svenska kronor")

# Resultatet visas så länge vi vill
input ("Tryck Enter för att avsluta programmet")
</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

== Öva förenkling ==

Demonstrationsexempel för förenkling:

: <math> 5x - 2y - x +3 </math>

: <math> 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 </math>

: <math> \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7}</math>

: <math> \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 }</math>

== Lär mer ==

=== Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===

{| align="right"
|-
| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
|}
: [https://www.youtube.com/watch?v=6JBVYoNmUJw&t=17s Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler]
: [https://www.youtube.com/watch?v=ok4gAxSWPQM&t=8s Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck]
{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |left}}
{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |left}}
<html><div style="clear:both"></div></html>

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsuppgifter_p%C3%A5_f%C3%B6renklingar.pdf Övningsblad förenklingar]
{{clear}}

=== Förenkla avancerat exempel. ===

: [https://www.youtube.com/watch?v=dwzEVOvIUBU Matematik 1c A Algebra förenkla avancerat exempel]
{{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsblad_i_faktorisering_2.pdf Övningsblad 2 faktorisering]

{{clear}}

== Exit ticket ==

<headertabs />

Begrepp inom algebran

2019-09-09T12:58:20Z

Ulrika: /* Aktivitet */

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Algebraiska uttryck

Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran.
Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran.
Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.
}}

=== Algebraiska regler ===

{{defruta | '''Samma regler inom aritmetiken som i algebran'''<br />

: '''Kommutativa lagen.'''
Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla element <math>x</math> och : <math>y</math> i <math>S</math> gäller att

: <math>x \star y = y \star x</math>.<br />

: '''Associativa lagen.'''
En binär operator * på en mängd ''S'' kallas '''associativ''' om det '''för alla''' ''x'', ''y'' och ''z'' i ''S'' gäller att
:(''x'' * ''y'') * ''z'' {{=}} ''x'' * (''y'' * ''z'').
Om så är fallet kan man använda beteckningen ''x'' * ''y'' * ''z'', eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.<br />

: '''Distributiva lagen.'''
En operator, <math>\,*</math>, sägs vara '''distributiv''' med avseende på en annan operator, +, om det för alla ''x'', ''y'' och ''z'' i en mängd ''S'' gäller att
: <math>\, x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>
: och
:<math>\, (y + z) * x = (y * x) + (z * x)</math><br />

: '''Prioriteringsreglerna'''

: Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.

: '''Potenslagarna'''
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
:
* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

}}

= Aktivitet =

=== Algebraiska begrepp ===

{{uppgruta | Googla något av begreppen i listan och lär dig mer.

Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.
}}

'''Lär dig dessa begrepp och matematikord'''

{| class{{=}}"wikitable"
|-
! Ord !! Betydelse
|-
| bestäm || räkna ut värdet av
|-
| beräkna || räkna ut värdet av
|-
| bryt ut|| den distributiva lagen "baklänges"
|-
| grad|| vinkelenhet
|-
| ekvation || två uttryck med ett likhetstecken mellan
|-
| faktorisera || dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
|-
| flytta över || förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
|-
| formel || en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
|-
| funktion || ett samband mellan två eller flera variabler, ex <math>y = 3 x - 2</math>
|-
| förenkla || minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
|-
| förkorta || plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
|-
| höger led || termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
|-
| koefficient|| det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
|-
| konstant || en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis <math> \pi </math>
|-
| lös ut || se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
|-
| modell|| en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
|-
| operator || tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis <math> +, -, *, /</math>
|-
| upphöjt|| någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
|-
| uttryck || en kombination av tal, variabler och operatorer
|-
| variabel || en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
|-
| vänster led || termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
|-
| värdet av || att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är
|}

=== Finn regeln ===

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

{| class="wikitable"
|-
! Förenkling !! Skriv regeln
|-
| <math>{(x^3)}^4 = x^{12}</math> || _______________________
|-
| <math>x^0 = 1 </math> || _______________________
|-
| 2 + 3 * 4 = 14 || _______________________
|-
| <math>{ \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7}</math> || _______________________
|-
| <math>x^2 \cdot x^5 = x^{7}</math> || _______________________
|-
| <math>{(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} </math> || _______________________
|-
| <math>{x^5 \over x^3} = x^{2}</math> || _______________________

|}

= Pund med Python =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Använd uttryck i ett Pythonprogram.'''

Målet är att du ska se hur uttrycket används i programmet och hur du kan modifiera uttrycket för att ändra vad programmet gör. Du kan modifiera programmets matematiska del utan att kunna särskilt mycket kod.
}}

== Omvandla pund till sek ==

{{uppgruta|'''Omvandla pund till sek'''

Följande program omvandlar 21 brittiska pund (GBP) til svenska kronor (SEK).

# På vilket sätt kan man ändra den befintliga koden för att omvandla 1000 SEK till GBP?
# På vilket sätt kan man omvandla 50 euro (EUR) till SEK?
# På vilket sätt kan man omvandla valfri summa EUR till SEK?
}}

== Koden ==

<pre>
# vi omvandlar 21 GBP till SEK
antalgbp = 21

# växelkurs
gbpsek = 11.6

print(antalgbp, "Brittiska pund är")
sek = antalgbp * gbpsek
helasek = int (sek)

print("ungefär", helasek, "svenska kronor")

# Resultatet visas så länge vi vill
input ("Tryck Enter för att avsluta programmet")
</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

== Öva förenkling ==

Demonstrationsexempel för förenkling:

: <math> 5x - 2y - x +3 </math>

: <math> 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 </math>

: <math> \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7}</math>

: <math> \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 }</math>

== Lär mer ==

=== Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===

{| align="right"
|-
| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
|}
: [https://www.youtube.com/watch?v=6JBVYoNmUJw&t=17s Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler]
: [https://www.youtube.com/watch?v=ok4gAxSWPQM&t=8s Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck]
{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |left}}
{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |left}}
<html><div style="clear:both"></div></html>

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsuppgifter_p%C3%A5_f%C3%B6renklingar.pdf Övningsblad förenklingar]
{{clear}}

=== Förenkla avancerat exempel. ===

: [https://www.youtube.com/watch?v=dwzEVOvIUBU Matematik 1c A Algebra förenkla avancerat exempel]
{{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}

=== Öva själv ===

* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsblad_i_faktorisering_2.pdf Övningsblad 2 faktorisering]

{{clear}}

== Exit ticket ==

<headertabs />

Diskussion:Delbarhet

2019-08-26T12:20:10Z

Ulrika: /* Aktivitet */

== Aktivitet ==

Grundrecept för chokladbollar (måste kolla upp hur mycket ingredienser som behöver inköpas för 40 bollar vilket sedan blir startvärdet för elevberäkningar)

INGREDIENSER (blir cirka 20 bollar):
* 1 dl socker
* 1 dl smakneutral kokosolja
* 3 dl havregryn
* 2 msk kaffe
* 2 msk kakaopulver
* Riven kokos att rulla i.

* Varje kokosboll kräver
* 5 ml socker (dvs 1 tsk)
* 5 ml kokosolja (dvs 1 tsk)
* 15 ml havregryn (dvs 1 msk)
* 1,5 ml kaffe (dvs 1,5 krm)
* 1,5 ml kakaopulver (dvs 1,5 krm)

=== Handla ===

Så vi behöver alltså köpa totalt:
* 8 dl smakneutral kokosolja
* 8 dl socker (det är ju typ ett kilo)
* 24 dl havregryn (om vi har elever med celiaki så behöver vi köpa glutenfri havre, men det kanske räcker om ena paketet är det och så får just den gruppen där det gäller använda sig av den?)
* 2,4 dl kakaopulver
* Kanske 2 paket kokosflingor (bör räcka, kanske 3 för att vara säker?)
* Kaffe finns ju på skolan.

== Extra aktiviteter ==
Finn tio tal som är delbara med 2, tio tal som är delbara med 3, tio tal som är delbara med 5, tio tal som är delbara med 10. Vad har respektive grupp gemensamt?

<html><iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zxJYJBka/width/1024/height/572/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1024px" height="572px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

Delbarhet

2019-08-26T12:19:40Z

Ulrika: /* Aktivitet */

= Teori =

{{malruta | Delbarhet

Du kommer att lära dig vad delbarhet innebär och hur vi kan jobba med delbarhet för att t.ex. omvandla recept.
}}

Delbarhet är en matematisk operation

{{defruta|
Definition '''delbarhet''':

Ett heltal a är delbart med ett heltal b (b ≠ 0) om
a / b {{=}} c
sådant att kvoten c är ett heltal.
}}

=== Några olika delare ===
När vi vill hitta delar så ser vi att det finns vissa mönster i hur talen beter sig. I tabellen nedan ser vi några av de delare som är lättast att identifiera. Att kunna identifiera delare så som 2, 3 och 5 är grundläggande.


{| class="wikitable"
! Delare
! Krav
! Exempel
|-
|id=1| '''1'''
| Inga speciella krav. Alla heltal är delbara med 1.
| 2 är delbart med 1.
|-
|id=2| '''2'''
| Den sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6, eller 8).
| 1294: 4 är jämn.
|-
|id=3| '''3'''
| Summera talets siffror. Resultatet måste vara delbart med 3.
| 405 → 4 + 0 + 5 = 9 och 636 → 6 + 3 + 6 = 15 vilka båda är delbara med 3.<br>16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 kan summeras till 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, som är delbart med 3.
|-
|id=5| '''5'''
| Den sista siffran är 0 eller 5.
| 495: den sista siffran är 5.
|-
|id=6| '''6'''
| Det är delbart med 2 och med 3.
| 1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, så det är delbart med 3 och den sista siffran i 1458 är jämn, alltså är talet delbart med 6.
|-
|id=9| '''9'''
| Summera siffrorna i talet. Resultatet måste vara delbart med 9.
| 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
|-
|id=10| '''10'''
| Sista siffran i talet är 0.
| 130: den sista siffran är 0.
|-
|id=15| '''15'''
| Talet är delbart med 3 och med 5.
| 390: det är delbart med 3 och med 5.
|-
|id=18| '''18'''
| Det är delbart med 2 och med 9.
| 342: talet är delbart med 2 och med 9.
|-
|id=20| '''20'''
| Det är delbart med 10 och tiotalet är jämnt.
| 360: det är delbart med 10 och 6 är jämn.
|-
|id=30| '''30'''
| Det är delbart med 3 och med 10.
| 270: talet är delbart med 3 och med 10.
|}

= Aktivitet =

Receptomvandling i grupper om 4 personer. Om klassen ska tillverka 40 stycken chokladbollar, hur mycket ingredienser behövs för varje grupp och boll. Varje grupp måste redovisa tydliga beräkningar för att hämta ut ingredienser.

{{uppgruta |
Om klassen ska göra 40 bollar, hur ska vi fördela arbetet på 8 grupper? Hur mycket ingredienser behöver respektive grupp gå fram för att hämta? För att få "checka ut" ingredienserna ska en korrekt och tydlig uträkning visas som "betalning".

'''Ingredienser'''

Så per klass blir det 40 bollar:
Varje klass behöver:
* 2 dl socker
* 2 dl neutral olja
* 6 dl havregryn
* 60 ml kaffe
* 60 ml kakaopulver
* Kokos att rulla i

Kokossocker är dyrare men mindre sött och de blir inte lika sockerstissiga. Men vanligt strösocker funkar lika bra.

Kokosolja är lättare att hantera än margarin då det inte härsknar i rumstemperatur, och inte är lika... äckligt på händerna.

'''OBS!''' Vi vill se bråk. I köket talar man om halva matskedar etc.

Tänk på att i köket använder man '''måttsatser'''. En matsked är 15 ml. En tesked är 5 ml.

'''Lämna in era uträkningar för att få hämta ut ingredienser.'''
}}

'''GÖR SÅ HÄR:'''
# Mixa alla torra ingredienser (förutom riven kokos),
# addera sedan kaffe och kokosolja och knåda ihop.
# Rulla bollar i riven kokos och ställ in i kylen i en stund.

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/xzaoYyWYEqpcBAyX?ref{{=}}Link Delbarhet] }}<br />
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/de0141d0-8305-4de8-ba6b-130c50c16105 Delbarhet] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/delbarhet Delbarhet] }}<br />
|}

<headertabs />

Diskussion:Tal och talmängder

2019-08-20T08:10:58Z

Ulrika: /* Tveksamt material */

== Kommentarer klassrum ==
Komplexa tal
Irrationella tal i talmängdslistan

== Tveksamt material ==

<html> <iframe scrolling="no" title="Classifying Rational Numbers" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Ck8DHNm3/width/772/height/414/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="772px" height="414px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

==== Begreppen på engelska ====

--[[Användare:Hakan|Håkan Elderstig]] ([[Användardiskussion:Hakan|diskussion]]) 15 augusti 2017 kl. 09.58 (UTC) Det kan vara svårt nog med begreppen på svenska. Whole numbers är inte i linje med teorin.

<html><iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Vv5cQRBB/width/908/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="908px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Tal och talmängder

2019-08-20T08:04:24Z

Ulrika: /* Uppgifter */

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}

===Tal===

[[Fil:Number.svg|höger|50px]]
[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]

'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''

===Talmängder===
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
|+Grundläggande
|-
!<center><math>\mathbb{N}</math></center>
! Naturliga tal 
|0, 1, 2, 3, 4, … ''eller'' 1, 2, 3, 4, …
|-
!<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
! Heltal 
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
! Rationella tal 
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
|-
!<center><math>\mathbb{R}</math></center>
! Reella tal 
|De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje
|-.
!<center><math>\mathbb{C}</math></center>
! Komplexa tal 
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
|}

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

====Naturliga tal====

[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
{{clear}}

====Heltal====

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>

====Rationella tal====

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

:<math>\frac{T}{N}</math>

där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).

====Irrationella tal====

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella

====Reella tal====

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).

=Aktivitet=

===Inledning===

Namnrunda + bästa matematikområdet.
Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

===Laborativ/fysisk matematik===

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

#Tallinje:
##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
##Hur långa ni är.
#4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
#Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
#Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.

===Tänkbara frågor och diskussioner===

'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...

===EPA===

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

=Uppgifter=

{{uppgruta| '''Talmängder'''

Vilken talmängd tillhör respektive tal?
:
<math>
\\ 1
\\ -5
\\ \frac{2}{35}
\\ 3,000789
\\ \pi
</math>
}}

=Öva själv i en GeoGebra=

<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
|}

[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]

{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}

===Öva mer===

{{Khanruta |
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
}}

===Läs mer===

*Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
*[[Avrundning]]
*{{svwp|Irrationella_tal}}
*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]

'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
{{clear}}

===Kluring===

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]

{{clear}}

==Exit ticket==

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

<headertabs />

Tal och talmängder

2019-08-20T08:03:37Z

Ulrika: /* Uppgifter */

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}

===Tal===

[[Fil:Number.svg|höger|50px]]
[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]

'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''

===Talmängder===
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
|+Grundläggande
|-
!<center><math>\mathbb{N}</math></center>
! Naturliga tal 
|0, 1, 2, 3, 4, … ''eller'' 1, 2, 3, 4, …
|-
!<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
! Heltal 
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
! Rationella tal 
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
|-
!<center><math>\mathbb{R}</math></center>
! Reella tal 
|De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje
|-.
!<center><math>\mathbb{C}</math></center>
! Komplexa tal 
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
|}

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

====Naturliga tal====

[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
{{clear}}

====Heltal====

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>

====Rationella tal====

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

:<math>\frac{T}{N}</math>

där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).

====Irrationella tal====

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella

====Reella tal====

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).

=Aktivitet=

===Inledning===

Namnrunda + bästa matematikområdet.
Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

===Laborativ/fysisk matematik===

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

#Tallinje:
##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
##Hur långa ni är.
#4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
#Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
#Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.

===Tänkbara frågor och diskussioner===

'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...

===EPA===

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

=Uppgifter=

{{uppgruta| '''Talmängder'''

Vilken talmängd tillhör respektive tal?
<math>
\\
\\ 1
\\ -5
\\ \frac{2}{35}
\\ 3,000789
\\ \pi
</math>
}}

=Öva själv i en GeoGebra=

<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
|}

[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]

{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}

===Öva mer===

{{Khanruta |
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
}}

===Läs mer===

*Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
*[[Avrundning]]
*{{svwp|Irrationella_tal}}
*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]

'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
{{clear}}

===Kluring===

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]

{{clear}}

==Exit ticket==

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

<headertabs />

Tal och talmängder

2019-08-20T08:01:05Z

Ulrika: /* Uppgifter */

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}

===Tal===

[[Fil:Number.svg|höger|50px]]
[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]

'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''

===Talmängder===
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
|+Grundläggande
|-
!<center><math>\mathbb{N}</math></center>
! Naturliga tal 
|0, 1, 2, 3, 4, … ''eller'' 1, 2, 3, 4, …
|-
!<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
! Heltal 
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
! Rationella tal 
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
|-
!<center><math>\mathbb{R}</math></center>
! Reella tal 
|De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje
|-.
!<center><math>\mathbb{C}</math></center>
! Komplexa tal 
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
|}

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

====Naturliga tal====

[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
{{clear}}

====Heltal====

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>

====Rationella tal====

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

:<math>\frac{T}{N}</math>

där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).

====Irrationella tal====

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella

====Reella tal====

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).

=Aktivitet=

===Inledning===

Namnrunda + bästa matematikområdet.
Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

===Laborativ/fysisk matematik===

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

#Tallinje:
##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
##Hur långa ni är.
#4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
#Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
#Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.

===Tänkbara frågor och diskussioner===

'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...

===EPA===

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

=Uppgifter=

{{uppgruta| '''Talmängder'''

Vilken talmängd tillhör respektive tal?
<math>
: 1
: -5
: 2/35
: 3,000789
: pi
</math>
}}

=Öva själv i en GeoGebra=

<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
|}

[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]

{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}

===Öva mer===

{{Khanruta |
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
}}

===Läs mer===

*Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
*[[Avrundning]]
*{{svwp|Irrationella_tal}}
*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]

'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
{{clear}}

===Kluring===

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]

{{clear}}

==Exit ticket==

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

<headertabs />

Tal och talmängder

2019-08-20T06:45:23Z

Ulrika: /* Aktivitet */

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}

===Tal===

[[Fil:Number.svg|höger|50px]]
[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]

'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''

===Talmängder===
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
|+Grundläggande
|-
!<center><math>\mathbb{N}</math></center>
! Naturliga tal 
|0, 1, 2, 3, 4, … ''eller'' 1, 2, 3, 4, …
|-
!<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
! Heltal 
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
! Rationella tal 
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
|-
!<center><math>\mathbb{R}</math></center>
! Reella tal 
|Gränsen för en konvergent följd av rationella tal
|-
!<center><math>\mathbb{C}</math></center>
! Komplexa tal 
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
|}

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

====Naturliga tal====

[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
{{clear}}

====Heltal====

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>

====Rationella tal====

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

:<math>\frac{T}{N}</math>

där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).

====Irrationella tal====

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella

====Reella tal====

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).

=Aktivitet=

===Inledning===

Namnrunda + bästa matematikområdet.
Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

===Laborativ/fysisk matematik===

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

#Tallinje:
##Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
##Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
##Hur långa ni är.
#4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
#Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
#Stå upp - sitt ner. Heltal - rationella tal.

===Tänkbara frågor och diskussioner===

'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...

===EPA===

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

=Uppgifter=

{{uppgruta| '''Talmängder'''

Vilken talmängd tillhör respektive tal?

: 1
: -5
: 2/35
: 3,000789
: pi
}}

=Öva själv i en GeoGebra=

<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

=Lär mer=

{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
|}

[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]

{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}

===Öva mer===

{{Khanruta |
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
}}

===Läs mer===

*Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
*[[Avrundning]]
*{{svwp|Irrationella_tal}}
*[http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
*[http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]

'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
{{clear}}

===Kluring===

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]

{{clear}}

==Exit ticket==

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

<headertabs />

Tal och talmängder

2019-08-20T06:31:27Z

Ulrika: /* Aktivitet */

__NOTOC__

= Teori =

{{malruta | Talmängder

Du ska lära dig vad som kännetecknar naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal och komplexa tal.

Vi kommer särskilt att öva på räkning med negativa tal och bråk.}}

=== Tal ===

[[Fil:Number.svg|höger|50px]]
[[Fil:NumberSetinC.svg|miniatyr|Delmängder till komplexa tal.]]

'''Tal''' är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. Inom matematiken är definitionen av tal vidare och inkluderar bland annat naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal med mera.

Aritmetik (räknelära) behandlar räknande och innefattar grundläggande egenskaper hos tal, som hur de skrivs och hur de fungerar under addition, subtraktion, multiplikation och division; även andra räkne-operationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer tillhör aritmetiken. Hur vi hanterar tal, hur de skrivs och vilka egenskaper de har, ligger under aritmetiken.

Algebra kan definieras som en utvidgning av aritmetiken och kan beskrivas som förhållanden, vilka uppkommer, när ett ändligt antal räkneoperationer utförs på en ändlig mängd av tal. Algebran ger oss en metodik för hur tal förhåller sig till varandra.

Tal ska inte förväxlas med siffra eller nummer som har helt andra funktioner. Ibland kallas räkneuppgifter för "tal", då i meningar som ''Löste du talet?''

=== Talmängder ===
Tal brukar delas in i fem grundläggande mängder (grupper). Det ger oss kategorier där talen har liknande egenskaper:

{|class="wikitable" style="text-align: center; width: 450px; height: 200px;"
|+ Grundläggande
|-
!<center><math>\mathbb{N}</math></center>
! Naturliga tal 
|0, 1, 2, 3, 4, … ''eller'' 1, 2, 3, 4, …
|-
!<center><math>\mathbb{Z}</math></center>
! Heltal 
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<center><math>\mathbb{Q}</math></center>
! Rationella tal 
|<math>\frac{a}{b}</math> där ''a'' och ''b'' är heltal och ''b'' inte är 0
|-
!<center><math>\mathbb{R}</math></center>
! Reella tal 
|Gränsen för en konvergent följd av rationella tal
|-
!<center><math>\mathbb{C}</math></center>
! Komplexa tal 
|''a'' + ''bi'' eller ''a'' + ''ib'' där ''a'' och ''b'' är reella tal och ''i'' är imaginära enheten
|}

De naturliga talen är en delmängd av heltalen det vill säga alla naturliga tal är även heltal, skillnaden i detta fall är dock att heltalen även innefattar negativa tal. Heltalen i sin tur är en delmängd av de rationella talen, de rationella talen är en delmängd av de reella talen, och de reella talen är en delmängd av de komplexa talen.

==== Naturliga tal ====

[[Fil:Äpplen, foto av alers.jpg|miniatyr|Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.]]

Naturliga tal är de icke-negativa talen {0, 1, 2, 3, …} eller alternativt de positiva talen {1, 2, 3, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker.

Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''N''' i fetstil användas).

Enligt den definition som görs i ''Matematikterminologi i skolan'', utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

{{#ev:youtube|urwq1tCL3GU|300|left|Prioriteringsregler|frame}}
{{clear}}

==== Heltal ====

Heltal innefattar talet noll (0) samt de positiva och negativa talen {…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Mängden av heltalen betecknas ℤ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Z''' i fetstil användas), från det tyska ordet ''Zahlen'' (som betyder "tal").

Mängden av heltalen är uppräkneligt oändlig.

När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal (de reella talen) eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.

<center>[[Fil:Number-line.gif|Heltalen kan tänkas vara punkter på en tallinje som sträcker ut sig oändligt långt åt både det positiva och det negativa hållet]]</center>

==== Rationella tal ====

Rationella tal, "bråktal", är de tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

:<math>\frac{T}{N}</math>

där heltalet ''T'' är bråkets ''täljare'' och heltalet ''N'' bråkets ''nämnare''.

Mängden av de rationella talen betecknas ℚ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''Q''' i fetstil används).

==== Irrationella tal ====

Irrationella tal är tal som inte kan uttryckas som bråk, det vill säga tal som inte kan skrivas som a/b, där a och b är heltal. Dess motsats är rationella tal. De irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Därav är pi ett exempel på ett irrationellt tal. Informellt uttryckt är nästan alla reella tal irrationella

==== Reella tal ====

Reella tal innefattar de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Mängden av de reella talen betecknas ℝ (eller, av vissa typografiska skäl kan ett vanligt '''R''' i fetstil användas).

= Aktivitet =

=== Inledning ===

Namnrunda + bästa matematikområdet.
Tänk på ett tal mellan 1 och 10.

Rationell betyder förnuftig, se [https://sv.wiktionary.org/wiki/rationell Wiktionary]

Vi kan representera tal genom att placera oss på olika sätt i klassrummet. Varje övning följs av en diskussion där vi lyfter fram olika typer av tal.

=== Laborativ/fysisk matematik ===

Vi ska representera tal genom att placera oss i klassrummet.

# Tallinje:
## Ställ er i ordning utifrån vilket datum ni är födda. (0-31).
## Antal bokstäver i förnamnet subtraherat med antal bokstäver i efternamnet.
## Hur långa ni är.
# 4-corners. Vilket lag håller du på i svensk fotboll? (Djurgården, AIK, Hammarby, övriga).
# Graderingslinje. Hur kul tycker du att matematik är? (0-100).
# Stå upp - sitt ner. Reella tal - icke reella tal.

=== Tänkbara frågor och diskussioner ===

'''Tallinjen''': om flera personer har samma födelsedag, hur ställer de sig då? I klump eller bredvid varandra? Har de ställt sig med ett prortionellt avstånd mellan sig där det är större lucka mellan representerade tal?

'''4-corners''': Vad är Hammarby för tal? Kommer eleverna fram till att de representerar rationella tal?

'''Graderingslinje''' Andra exempel på frågor kan vara ...

=== EPA ===

Hur många bilar måste Tesla tillverka för att leva upp till sitt börsvärde på samma sätt som exempelvis General Motors?

= Uppgifter =

{{uppgruta| '''Talmängder'''

Vilken talmängd tillhör respektive tal?

: 1
: -5
: 2/35
: 3,000789
: pi
}}

= Öva själv i en GeoGebra =

<html> <iframe scrolling="no" title="Laboration: Talmängder" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f8KA5MSb/width/771/height/432/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="771px" height="432px" style="border:0px;"> </iframe> </html>

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/V2lUHWcw7YfdO9dw?ref{{=}}Link Talmängder] }}<br />
{{wplink|[https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal Reella tal]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/heltal-och-naturliga-tal Tal] }}
|}

[https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q Problems with Zero - Numberphile]

{{#ev:youtube| BRRolKTlF6Q | 340 | right |Problems with Zero - Numberphile}}

=== Öva mer ===

{{Khanruta |
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-negatives/e/number_line_3 Missing Number]
: [https://www.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-numbers Classify numbers]
}}

=== Läs mer ===
* Stora delar av texten ovan har hämtats från Wikipedia: {{svwp|Tal}}
* [[Avrundning]]
* {{svwp|Irrationella_tal}}
* [http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html Wolfram Alpha om irrationella tal]
* [http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/Matematik_A/Algebra#Tal_och_r.C3.A4kning Tal och räkning i Wikibooks]

'''Lång lista med väldigt många tal:''' [http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?]
{{clear}}

=== Kluring ===

Vilken talmängd hör Pythonprogrammet till?

[[Fil:Python tal.PNG|400px|vänster]]

{{clear}}

== Exit ticket ==

Kunskapsmatrisen: Exit ticket: Taluppfattning

<headertabs />

Potensekvationer

2019-07-22T13:29:50Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Potensekvationer

Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer.
}}

'''Potensekvationen''':

En potensekvation är en typ av ekvation där minst en [[Potenser|potens]] ingår, och basen är vår variabel, medan exponenten är ett känt reellt tal.

Ekvationen
<math> x^a = b </math>

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är a ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3

'''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

: <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math>

: <math>x = b^{1/a}</math>

{{viktigt|
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ.

'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{1/2}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math>
}}

= Exempel =

'''Exempel 1''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

Observera den '''negativa roten'''.

'''Exempel 2''':

: <math>x^3 = 8</math>

: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math>

: <math>x = 2</math>

'''Exempel 3''':

: <math>x^2 = -1 </math>

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Undersök GGB:n. ===

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

# <math> x^2 = 4 </math>
# <math> x^2 = 9 </math>
# <math> x^3 = 8 </math>
# <math> x^4 = 6 </math>
# <math> x^3 = 27 </math>
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math>
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math>

GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>'''
{{clear}}
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.
<br />

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra - Öva själv =

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bGwnsSMg/width/770/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="770px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/TKMKBxDc/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Potensekvationer 2

<html>
<iframe scrolling="no" title="potensekvationer 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HHsDJyuv/width/1000/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Python - Gissa talet =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Det är lämpligt att starta lektionen med detta program.

Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion.
}}

== Gissa talet ==

{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''

# Kör programmet tillsammans med en kompis.
# Kör det flera gånger.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
}}

== Python-koden ==

<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
if guess == "exit":
break
# räkna gissningar
guess = int(guess)
count += 1

# jämför gissning med tal
if guess < number:
print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
elif guess > number:
print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
else:
print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
print("Talet är:",number,)
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")

# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?'''

# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math>
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math>
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

}}

= Lär mer =

{|wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br />
|}

=== Lär mer GeoGebra ===

Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Potensekvationer

2019-07-22T13:27:16Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Potensekvationer

Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer.
}}

'''Potensekvationen''':

En potensekvation är en typ av ekvation där minst en [[Potenser|potens]] ingår.

Ekvationen
<math> x^a = b </math>

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är a ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3

'''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

: <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math>

: <math>x = b^{1/a}</math>

{{viktigt|
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ.

'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{1/2}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math>
}}

= Exempel =

'''Exempel 1''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

Observera den '''negativa roten'''.

'''Exempel 2''':

: <math>x^3 = 8</math>

: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math>

: <math>x = 2</math>

'''Exempel 3''':

: <math>x^2 = -1 </math>

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Undersök GGB:n. ===

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

# <math> x^2 = 4 </math>
# <math> x^2 = 9 </math>
# <math> x^3 = 8 </math>
# <math> x^4 = 6 </math>
# <math> x^3 = 27 </math>
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math>
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math>

GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>'''
{{clear}}
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.
<br />

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra - Öva själv =

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bGwnsSMg/width/770/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="770px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/TKMKBxDc/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Potensekvationer 2

<html>
<iframe scrolling="no" title="potensekvationer 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HHsDJyuv/width/1000/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Python - Gissa talet =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Det är lämpligt att starta lektionen med detta program.

Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion.
}}

== Gissa talet ==

{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''

# Kör programmet tillsammans med en kompis.
# Kör det flera gånger.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
}}

== Python-koden ==

<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
if guess == "exit":
break
# räkna gissningar
guess = int(guess)
count += 1

# jämför gissning med tal
if guess < number:
print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
elif guess > number:
print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
else:
print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
print("Talet är:",number,)
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")

# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?'''

# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math>
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math>
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

}}

= Lär mer =

{|wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br />
|}

=== Lär mer GeoGebra ===

Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Potensekvationer

2019-07-22T13:26:31Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Potensekvationer

Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer.
}}

'''Potensekvationen''':

En potensekvation är en typ av ekvation där minst en [[potens|title=Potenser]] ingår.

Ekvationen
<math> x^a = b </math>

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är a ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3

'''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

: <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math>

: <math>x = b^{1/a}</math>

{{viktigt|
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ.

'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{1/2}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math>
}}

= Exempel =

'''Exempel 1''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

Observera den '''negativa roten'''.

'''Exempel 2''':

: <math>x^3 = 8</math>

: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math>

: <math>x = 2</math>

'''Exempel 3''':

: <math>x^2 = -1 </math>

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Undersök GGB:n. ===

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

# <math> x^2 = 4 </math>
# <math> x^2 = 9 </math>
# <math> x^3 = 8 </math>
# <math> x^4 = 6 </math>
# <math> x^3 = 27 </math>
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math>
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math>

GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>'''
{{clear}}
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.
<br />

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra - Öva själv =

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bGwnsSMg/width/770/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="770px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/TKMKBxDc/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Potensekvationer 2

<html>
<iframe scrolling="no" title="potensekvationer 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HHsDJyuv/width/1000/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Python - Gissa talet =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Det är lämpligt att starta lektionen med detta program.

Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion.
}}

== Gissa talet ==

{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''

# Kör programmet tillsammans med en kompis.
# Kör det flera gånger.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
}}

== Python-koden ==

<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
if guess == "exit":
break
# räkna gissningar
guess = int(guess)
count += 1

# jämför gissning med tal
if guess < number:
print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
elif guess > number:
print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
else:
print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
print("Talet är:",number,)
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")

# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?'''

# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math>
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math>
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

}}

= Lär mer =

{|wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br />
|}

=== Lär mer GeoGebra ===

Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Potensekvationer

2019-07-22T13:25:49Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Potensekvationer

Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer.
}}

'''Potensekvationen''':

En potensekvation är en typ av ekvation där minst en [[potens|https://wikiskola.se/index.php?title=Potenser]] ingår.

Ekvationen
<math> x^a = b </math>

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är a ofta 2, 3, 1/2 eller 1/3

'''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

: <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math>

: <math>x = b^{1/a}</math>

{{viktigt|
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ.

'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{1/2}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math>
}}

= Exempel =

'''Exempel 1''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

Observera den '''negativa roten'''.

'''Exempel 2''':

: <math>x^3 = 8</math>

: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math>

: <math>x = 2</math>

'''Exempel 3''':

: <math>x^2 = -1 </math>

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Undersök GGB:n. ===

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

# <math> x^2 = 4 </math>
# <math> x^2 = 9 </math>
# <math> x^3 = 8 </math>
# <math> x^4 = 6 </math>
# <math> x^3 = 27 </math>
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math>
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math>

GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>'''
{{clear}}
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.
<br />

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra - Öva själv =

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bGwnsSMg/width/770/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="770px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/TKMKBxDc/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Potensekvationer 2

<html>
<iframe scrolling="no" title="potensekvationer 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HHsDJyuv/width/1000/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Python - Gissa talet =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Det är lämpligt att starta lektionen med detta program.

Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion.
}}

== Gissa talet ==

{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''

# Kör programmet tillsammans med en kompis.
# Kör det flera gånger.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
}}

== Python-koden ==

<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
if guess == "exit":
break
# räkna gissningar
guess = int(guess)
count += 1

# jämför gissning med tal
if guess < number:
print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
elif guess > number:
print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
else:
print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
print("Talet är:",number,)
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")

# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?'''

# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math>
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math>
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

}}

= Lär mer =

{|wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br />
|}

=== Lär mer GeoGebra ===

Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Potensekvationer

2019-07-22T13:25:08Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Potensekvationer

Vi ska lära oss hur man löser potensekvationer.
}}

'''Potensekvationen''':

En potensekvation är en typ av ekvation där minst en [[potens|https://wikiskola.se/index.php?title=Potenser]] ingår.

Ekvationen
<math> x^a = b </math>

där a och b är reella tal, är en potensekvation.

När vi möter potensekvationer i Matematik 1c är a ofta <math>2, 3, 1/2 eller 1/3</math>

'''Lösning''': balansera ekvation genom exponentiering ("upphöjning").

: <math>(x^a)^{1/a} = b^{1/a}</math>

: <math>x = b^{1/a}</math>

{{viktigt|
'''Observera''': Vid jämna exponenter finns det två lösningar, en positiv och en negativ.

'''Exempel på en potensekvation med negativ rot''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{1/2}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

: Alltså: <math>x_1 = - 2,~x_2 = 2</math>
}}

= Exempel =

'''Exempel 1''':

: <math>x^2 = 4</math>

: <math>x = \pm4 ^{\frac{1}{2}}</math>

: <math>x = \pm 2</math>

Observera den '''negativa roten'''.

'''Exempel 2''':

: <math>x^3 = 8</math>

: <math>x = 8^{\frac{1}{3}}</math>

: <math>x = 2</math>

'''Exempel 3''':

: <math>x^2 = -1 </math>

Denna ekvation saknar reella lösningar. Vi kan inte ta roten ur ett negativt tal (ännu, vi lär oss det i ma2c) för då bildas imaginära tal.
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Undersök GGB:n. ===

Använd GeoGebran Nedan för att lösa följande uppgifter:

# <math> x^2 = 4 </math>
# <math> x^2 = 9 </math>
# <math> x^3 = 8 </math>
# <math> x^4 = 6 </math>
# <math> x^3 = 27 </math>
# <math> x^{1.5} = 5.5 </math>
# <math> 2 \cdot x^2 = 8 </math>

GeoGebran visar '''<math> x^a = b </math>'''
{{clear}}
'''Tips''': Du kan skala en axel genom att trycka Shift och klicka och dra i axeln.
<br />

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VZjfJN2x/width/701/height/498/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="701px" height="498px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra - Öva själv =

Potensekvationer, av Svetlana Yushmanova.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bGwnsSMg/width/770/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="770px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Potensekvationer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/TKMKBxDc/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Potensekvationer 2

<html>
<iframe scrolling="no" title="potensekvationer 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HHsDJyuv/width/1000/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Python - Gissa talet =

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Det är lämpligt att starta lektionen med detta program.

Målet är att du ska köra programmet och spela spelet Gissa talet för att komma till insikt om något som du har nytta av på denna lektion.
}}

== Gissa talet ==

{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''

# Kör programmet tillsammans med en kompis.
# Kör det flera gånger.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
}}

== Python-koden ==

<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
if guess == "exit":
break
# räkna gissningar
guess = int(guess)
count += 1

# jämför gissning med tal
if guess < number:
print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
elif guess > number:
print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
else:
print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
print("Talet är:",number,)
print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")

# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

</pre>

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

= Uppgifter =

GeoGebra är ett dynamiskt verktyg vilket innebär att du kan pröva vad som händer om man varierar en parameter. Till detta används glidare (sliders).

{{uppgruta|'''När är funktionen definierad för negativa x-värden?'''

# Skapa en glidare som heter k i Geogebra. Skriv helt enkelt k och klicka Skapa glidare. Glidaren kommer kommer automatiskt att ha intervallet <math>-5 \leq k \leq 5 </math>
# Skapa funktionen <math>f(x) = x^k</math>
# För vilka värden på k är funktionen definierad för negativa värden på x?

}}

= Lär mer =

{|wikitable align=right
|-
| {{Sway | [https://sway.com/PR1MAbs7WLqAa1ES?ref{{=}}Link Potensekvationer] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens Potenser ] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/potensekvationer Potensekvationer] }}<br />
|}

=== Lär mer GeoGebra ===

Sidan [[GeoGebra]] ger länkar till tutorials och en långfilm med Jonas Hall.

== Exit ticket ==

<headertabs />

Algebra och modeller

2019-07-22T12:46:51Z

Ulrika: /* Teori */

= Teori =

{{malruta | Algebra och modeller

Vi ska lära oss lite grunder i GeoGebra. Dessutom ska vi öva oss på att skapa uttryck och att använda dem vid modellering.
}}

=== Matematisk modellering ===

En beskrivning av en situation är en modell, använder vi matematik för att beskriva situationen så har vi en matematisk modell. Det vi vill att våra matematiska modeller ska göra är att assistera och hjälpa oss i våra beräkningar och förutsägelser. En matematisk modell kan ta ett avancerat system eller process, och beskriva den på ett enklare sätt.

Modellering kommer sällan ensamt, för att kunna skapa en modell med bra överensstämmelse, så behöver vi först läsa om det problem, process eller system vi har och som vi vill skapa en matematisk modell för. När vi har modellen, så vill vi uppskatta vårt resultat med hjälp av modellen, och se om det är några ändringar som behöver göras. Vi behöver sedan utvärdera och validera. När vi väl validerat, så vill vi beräkna. Det här kan vi göra flera gånger. Modellera, uppskatta, utvärdera och beräkna. När vi känner oss trygga med vår matematiska modell, och upplever att den ger en god uppskattning av verkligheten, så kan vi beskriva vår modell.

En del modellering går snabbt, annan modellering går mer långsamt. En del modeller kommer självklart, medan andra tar tid att få på plats.

=== Uttryck och modeller ===

Matematisk modellering har använts för att lösa problem, inte bara inom teknik och fysik, men även i biologi och sjukvård.

När vi har ett problem som vi kan beskriva med ett algebraiskt uttryck har vi en modell av problemet.

Att arbeta med modelleringsuppgifter i undervisningen innebär att elever utifrån olika vardagliga
och andra utommatematiska situationer skapar och använder en matematisk modell.
Det innefattar att tolka resultat som den matematiska modellen ger samt utvärdera modellen
och att klargöra dess begränsningar och förutsättningar. Modelleringsprocessen innebär
ett utforskande arbetssätt där elever prövar, diskuterar och justerar sin modell. Det är
ett arbetssätt som leder till ett aktivt lärande och ett mer produktivt sätt att tänka i matematik
(Lesh & Zawojewski, 2007). Genom modelleringsaktiviteter kan elever även på ett naturligt
sätt komma i kontant med situationer som visar olika tillämpningar av matematik
och dess betydelse för andra ämnesområden.

{{exruta| '''Modelluppgift 1 - Matsalsbordets area'''

Ebbe och Siri besöker en möbelaffär för att köpa ett matbord och vill att bordsskivan
ska ha form av en kvadrat. I möbelaffären finns matbord med rektangulära bordsskivor
men inget där bordsskivan är en kvadrat. De bestämmer sig då för att köpa det
matbord där bordskivan är mest lik en kvadrat. Hjälp dem att bestämma en metod för
att avgöra vilken bordsskiva som är mest lik en kvadrat.
}}

{{exruta| '''Modelluppgift 2 - knutar på rep'''

Slå en knut på ett rep. Hur mycket kortare blir repet? Slå fler knutar på repet och mät repets
längd för varje ny knut. Upprepa för rep av olika tjocklek. Ställ upp en matematisk modell
som för varje rep anger hur mycket kortare repet blir då man slår x knutar på repet. Vilka
förutsättningar krävs för att modellerna ska fungera? Hur stort kan x vara?
}}

''Texten ovan från [http://hkr.diva-portal.org/smash/get/diva2:789898/FULLTEXT01.pdf Skolverkket].''

= Aktivitet =

==== Förbered dig för GeoGebrauppgiften ====

Det är viktigt att du följer instruktionerna till punkt och pricka. Fråga om något är oklart.

Skapa en modell (på papper)
# Om en rektangel med sidorna a och b har omkretsen 40 cm kan du skapa ett uttryck där b skrivs som en funktion av a
# Skriv ner uttrycket
# Kontrollera att ditt uttryck för b stämmer.

Nu har du en modell som du är bekant med. För att förstå den bättre ska du nu skapa en dynamisk modell i GeoGebra. Följ instruktionerna på nästa flik.

= GeoGebra =

=== Rektangelns area ===

{{uppgruta|'''Rita rektanglar'''

Gå till GeoGebra.org. Välj Start Graphing.

* En rektangel har sidan a och omkretsen 40.
* Skapa ett uttryck för rektangelns andra sida.
* Skapa en glidare för sidlängden a.
* Skapa rektangeln i GeoGebra och dra litet i glidaren.
* Vad kommer du till för slutsatser. När har rektangeln störst area? Diskutera med en kamrat.

'''Detaljerad instruktion''' finns nedan.
}}
{{clear}}

=== Detaljerad instruktion för att rita rektangeln ===

# Gå till [https://www.geogebra.org/?lang=sv GeoGebra]
# Skapa en glidare och döp den till a (om den inte blivit det automatiskt)
# Använd verktyget Sträcka med bestämd längd. Skapa en sträcka med längden a. Nu kan du variera längden med hjälp av glidaren.
# Ändra egenskapern på sidan a så att längden visas.
# Vrid sträckan 90<sup>o</sup> genom att ta tag i högra punkten och dra.
# Från förra sträckans startpunkt drar du nu en ny sträcka med bestämd längd. Men denna gång skriver du in ditt uttryck som motsvara b
# Skapa den andra sträckan som motsvarar b
# Förbind de återstående punkterna så de har en rektangel
# För att få fram arean måste du rita en polygon med hörnen i dina rektangelpunkter.
# Markera hela rektangel och ställ in att egenskaperna för att värdet area ska visas.
# Dra i glidaren och undersök hur arean ändras.
# Vilken form ger den största arean?

{{viktigt| '''Dynamiska modeller'''

Sidan a var en parameter i den modell som du skapade genom uttrycket 20-a för sträckan b som funktion av a. På det viset kan du undersöka rektangelns egenskaper vid olika former.
}}

=== GeoGebra ===

{{#ev:youtube | uRRS6Gesxcw | 400 |right |En dynamisk rektangel med given omkrets.}}
'''Film:''' [https://www.youtube.com/watch?v=uRRS6Gesxcw Skapa uttryck], av Håkan Elderstig

Vi ska använda uttryck (och formler) för att skapa modeller som vi undersöker i GeoGebra. Nedan visar jag några exempel på rektanglar som skapats på olika sätt. Till höger finns en film som visar hur glidaren används för att ändra formen.

{{clear}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="rektanglar" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CQmPE4gJ/width/657/height/574/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="657px" height="574px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/V1RZewjYnTvwvaBk?ref{{=}}Link Algebra och modellerk]}}<br />
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/6d9f789b-cca6-42be-82e6-9b247de088c2 Formulera uttryck: Bra exempel] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler Uttryck och variabler (igen)] }}<br />
|}

=== Läs ===

* [https://www.geogebra.org/b/JV45hyEh#material/xMHv8tVY GeoGebra Geometry Quickstart]
* [http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2126_13_3.pdf Matematiska modeller och modellering – vad är det?]
* [http://hkr.diva-portal.org/smash/get/diva2:789898/FULLTEXT01.pdf Lärportalen för matematik, matematiska modeller]

=== Theo Jansen ===

Att arbeta med uttryck, koefficienter och parametrar som vi gjort ovan är ett kraftfullt verktyg för att skapa dynamiska modeller och konstruktioner Titta på Theo Jansens [http://www.strandbeest.com/ Strandbeest] nedan.

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mNheeHTS/width/748/height/397/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="748px" height="397px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

<html>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/MYGJ9jrbpvg" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</html>

== Exit ticket ==

KM: Exit ticket: Uttryck
<headertabs />

Jämföra integraler numeriskt

2019-06-03T13:28:33Z

Ulrika: Ändrat för att tydliggöra över/undersumma

[[Kategori:Python]]
[[Kategori:Ma3c]]
[[Kategori:Integraler]]
[[Kategori:Ma4]]

==Uppgift==
Skapa ett program som numeriskt beräknar en av användaren given integral med hjälp av Riemannsumma, trapetsmetoden samt tar fram intervallet i vilken integralen ligger med över- & undersumma, för att sedan jämföra dessa tre metoder.
==Program==
Hämta funktionen (börja gärna med polynomfunktioner som är lätta att hantera), integralens nedre gräns, övre gräns samt steglängden från användaren. Beräkna sedan integralen med respektive metod, och ge tillbaka de numeriska värdena till användaren, tydligt kopplade till vilken metod som gav vilket resultat.

{| class="wikitable"
|-
|<pre>Input:
”Skriv in funktionen med avseende på x, f(x): ”

Input:
”Ange integralens nedre gräns: ”

Input:
”Ange integralens övre gräns: ”

Input:
”Ange önskad steglängd: ”
</pre>
||
<pre>Output:
”Med Riemannsumma blir resultatet: ”

Output:
”Med trapetsmetoden blir resultatet: ”

Output:
”Med över- och undersumma blir intervallet: ”
</pre>
|-
| colspan="2" |
<pre>Felhantering:

Kontrollera att nedre gränsen är mindre än övre gränsen
Kontrollera att funktionen endast består av en variabel
Kontrollera att steglängden kommer att fungera
</pre>
|-
| colspan="2" |
<pre>Programfunktioner:

Definiera variabler
Definiera funktioner för att beräkna med respektive metod
Hämta information från användaren
Beräkna integralen med hjälp av de olika metoderna
Ge tillbaka resultatet till användaren
Låt programmet köra igen
</pre>
|}

==Undersökning==
Ta sedan, med hjälp av programmet, reda på under vilka förutsättningar dessa metoder får samma numeriska värde, och när metoderna stämmer överens med det värde ni får analytiskt.

Likformighet och kongruens

2018-03-29T08:47:34Z

Ulrika: /* Aktivitet */

{{malruta | Likformighet och kongruens

Vi ska bekanta oss med begreppen likformighet och kongruens vilket ger oss flera verktyg för att lösa geometriska problem med trianglar. I nästa lektion kommer vi att få tillgång till topptriangelsatsen och transversalsatsen som bygger på likformighet.<br />Centralt Innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om '''likformighet''', '''kongruens''' och vinklar.
}}

== Teori ==

=== Likformighet ===

{{lm2c| Likformighet 71 -74}}

'''Khan Academy:''' [http://www.khanacademy.org/exercise/similar_triangles_2 likformiga trianglar]

{{#ev:youtube|7bO0TmJ6Ba4|400|right}}
[[Fil:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|300px|Alla figurer av samma färg är likformiga.]]
<br />

{{defruta| '''likformighet'''

Likfromighet är två objekter som har exakt samma form, men är inte lika stora (se bild ⇒⇒).

Två trianglar är likformiga om något av följande är uppfyllt:
VVV: Motsvarande vinklar är lika.
SSS: Förhållandet mellan de tre sidparen är lika
SVS: Förhållandet mellan två sidpar är lika och mellanliggande vinkel är samma
}}

==== '''Exempel (Uppgift) ''' ====

[[Fil:Likformighet.png|thumb|center|Exempel]]
[[Fil:Likformighet3.png|thumb|349px|center|Formeln]]

ADE bas/ABC bas betyder att vi tar måtten på sträcken DE från den lilla triangeln och dela den med måtten på sträcken BC från den stora triangeln samt ADE sida/ABC sida betyder att vi tar måtten på sträcken AE från den lilla triangeln och dela den med sträcken AC från den stora triangeln, och det blir alltså summan på AE och EC. Man kan också använda formeln genom att dela den stora triangeln med den lilla istället, och svaret blir detsamma.

[[Fil:Likformighet2.png|thumb|372px|center|]]
[[Fil:Likformighet4.png|thumb|185px|center|Svaret]]

==== '''Användningsområden''' ====

Man kan tex. använda likformighet i avbildningar när man ska rita kartor och jorden på olika skalor, dvs. 1:2, exempelvis:-

[[File:Dog Silhouette 01.svg|400px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:1

[[File:Dog Silhouette 01.svg|200px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:2. Areaskalan är 1:4

=== Kongruens ===

[[Fil:Kongruens_ja.png|thumb|300px|konguenta - samma form och lika stora]]
[[Fil:Kongruens_nej.png|thumb|300px|Icke-kongruenta - olika storlek]]

{{defruta|'''<big>Kongruens</big>'''

Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

Två trianglar är kongruenta om något av följande tre fall gäller:
# Två sidor och mellanliggande vinkel (SVS {{=}} Sida-Vinkel-Sida)
# De tre sidorna (SSS {{=}} Sida-Sida-Sida)
# Två vinklar och mellanliggande sida (VSV {{=}} Vinkel-Sida-Vinkel)

Termen '''kongruens''' används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade.

Två geometriska figurer är kongruenta, om och endast om, de kan fås att sammanfalla genom translation, rotation och spegling. Detta kan jämföras med den inom geometrin använda termen likformighet, vilken används om figurer av samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. För bevarad likformighet är således även skalning tillåten.
}}
{{clear}}

<gallery>
kongruens-1.svg|Två plangeometriska figurer som kan fås att sammanfalla genom spegling, rotation och translation
kongruens-2.svg|Spegling
kongruens-3.svg|Rotation
kongruens-4.svg|Translation
</gallery>

{{clear|left}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Trianglar]]

{{svwp|Kongruens_(geometri)}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Likformighet och kongruens i GeoGebra'''

# Rita två trianglar i Geogebra.
# Sträckorna heter förmodligen f g h, respektive i j k. (alternativt a b c, respektive d e f)
# Skapa kvoterna f/i, g/j, h/k. (alternativt a/d, b/e, c/f)
# Dra ut kvoterna på arbetsytan.
# Jämka trianglarna så att alla kvoterna blir ett. Du har nu två kongruenta trianglar.
# Jämka nu så att kvoten blir lika (kan vara ett annat tal än 1) för alla tre paren av sträckor. Du har nu två trianglar som är likformiga.

}}

== Skala ==

<html>
<iframe scrolling="no" title="Färdighetsträning: skala"src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/s2yq47NA/width/1392/height/463/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1392px" height="463px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{clear}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/e9d669a1-d510-49c0-8931-a0aa76bda5cc Likformighet och kongruens] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/likformighet-och-kongruens Likformighet och kongruens] }}<br />
|}

==== Länkar ====

* {{svwp|Kongruens}}
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Kongruens-Matteboken ]
* [http://www.matteguiden.se/matte-b/geometri/likformighet Matteguiden]
* [http://sv.wikipedia.org/wiki/Likformighet Wikipedia]
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Matteboken]

'''Bilder'''
* [http://i39.tinypic.com/rvwv1s.jpg Bild 1 - kongruens ]
* [http://oi41.tinypic.com/dopiqx.jpg Bild 2 - icke kongruens]
{{clear}}

== Exit ticket ==

Likformighet och kongruens

2018-03-29T08:41:50Z

Ulrika: /* Aktivitet */

{{malruta | Likformighet och kongruens

Vi ska bekanta oss med begreppen likformighet och kongruens vilket ger oss flera verktyg för att lösa geometriska problem med trianglar. I nästa lektion kommer vi att få tillgång till topptriangelsatsen och transversalsatsen som bygger på likformighet.<br />Centralt Innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om '''likformighet''', '''kongruens''' och vinklar.
}}

== Teori ==

=== Likformighet ===

{{lm2c| Likformighet 71 -74}}

'''Khan Academy:''' [http://www.khanacademy.org/exercise/similar_triangles_2 likformiga trianglar]

{{#ev:youtube|7bO0TmJ6Ba4|400|right}}
[[Fil:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|300px|Alla figurer av samma färg är likformiga.]]
<br />

{{defruta| '''likformighet'''

Likfromighet är två objekter som har exakt samma form, men är inte lika stora (se bild ⇒⇒).

Två trianglar är likformiga om något av följande är uppfyllt:
VVV: Motsvarande vinklar är lika.
SSS: Förhållandet mellan de tre sidparen är lika
SVS: Förhållandet mellan två sidpar är lika och mellanliggande vinkel är samma
}}

==== '''Exempel (Uppgift) ''' ====

[[Fil:Likformighet.png|thumb|center|Exempel]]
[[Fil:Likformighet3.png|thumb|349px|center|Formeln]]

ADE bas/ABC bas betyder att vi tar måtten på sträcken DE från den lilla triangeln och dela den med måtten på sträcken BC från den stora triangeln samt ADE sida/ABC sida betyder att vi tar måtten på sträcken AE från den lilla triangeln och dela den med sträcken AC från den stora triangeln, och det blir alltså summan på AE och EC. Man kan också använda formeln genom att dela den stora triangeln med den lilla istället, och svaret blir detsamma.

[[Fil:Likformighet2.png|thumb|372px|center|]]
[[Fil:Likformighet4.png|thumb|185px|center|Svaret]]

==== '''Användningsområden''' ====

Man kan tex. använda likformighet i avbildningar när man ska rita kartor och jorden på olika skalor, dvs. 1:2, exempelvis:-

[[File:Dog Silhouette 01.svg|400px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:1

[[File:Dog Silhouette 01.svg|200px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:2. Areaskalan är 1:4

=== Kongruens ===

[[Fil:Kongruens_ja.png|thumb|300px|konguenta - samma form och lika stora]]
[[Fil:Kongruens_nej.png|thumb|300px|Icke-kongruenta - olika storlek]]

{{defruta|'''<big>Kongruens</big>'''

Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

Två trianglar är kongruenta om något av följande tre fall gäller:
# Två sidor och mellanliggande vinkel (SVS {{=}} Sida-Vinkel-Sida)
# De tre sidorna (SSS {{=}} Sida-Sida-Sida)
# Två vinklar och mellanliggande sida (VSV {{=}} Vinkel-Sida-Vinkel)

Termen '''kongruens''' används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade.

Två geometriska figurer är kongruenta, om och endast om, de kan fås att sammanfalla genom translation, rotation och spegling. Detta kan jämföras med den inom geometrin använda termen likformighet, vilken används om figurer av samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. För bevarad likformighet är således även skalning tillåten.
}}
{{clear}}

<gallery>
kongruens-1.svg|Två plangeometriska figurer som kan fås att sammanfalla genom spegling, rotation och translation
kongruens-2.svg|Spegling
kongruens-3.svg|Rotation
kongruens-4.svg|Translation
</gallery>

{{clear|left}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Trianglar]]

{{svwp|Kongruens_(geometri)}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Likformighet och kongruens i GeoGebra'''

# Rita två trianglar i Geogebra.
# Sträckorna heter förmodligen f g h, respektive i j k.
# Skapa kvoterna f/i, g/j, h/k.
# Dra ut kvoterna på arbetsytan.
# Jämka trianglarna så att kvoterna blir ett. Då har du två kongruenta trianglar.
# Jämka nu så att kvoten blir lika för alla tre paren av sträckor. Då har du två trianglar som (blott) är likformiga.

}}

== Skala ==

<html>
<iframe scrolling="no" title="Färdighetsträning: skala"src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/s2yq47NA/width/1392/height/463/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1392px" height="463px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{clear}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/e9d669a1-d510-49c0-8931-a0aa76bda5cc Likformighet och kongruens] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/likformighet-och-kongruens Likformighet och kongruens] }}<br />
|}

==== Länkar ====

* {{svwp|Kongruens}}
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Kongruens-Matteboken ]
* [http://www.matteguiden.se/matte-b/geometri/likformighet Matteguiden]
* [http://sv.wikipedia.org/wiki/Likformighet Wikipedia]
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Matteboken]

'''Bilder'''
* [http://i39.tinypic.com/rvwv1s.jpg Bild 1 - kongruens ]
* [http://oi41.tinypic.com/dopiqx.jpg Bild 2 - icke kongruens]
{{clear}}

== Exit ticket ==

Likformighet och kongruens

2018-03-29T08:39:23Z

Ulrika: /* Aktivitet */

{{malruta | Likformighet och kongruens

Vi ska bekanta oss med begreppen likformighet och kongruens vilket ger oss flera verktyg för att lösa geometriska problem med trianglar. I nästa lektion kommer vi att få tillgång till topptriangelsatsen och transversalsatsen som bygger på likformighet.<br />Centralt Innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om '''likformighet''', '''kongruens''' och vinklar.
}}

== Teori ==

=== Likformighet ===

{{lm2c| Likformighet 71 -74}}

'''Khan Academy:''' [http://www.khanacademy.org/exercise/similar_triangles_2 likformiga trianglar]

{{#ev:youtube|7bO0TmJ6Ba4|400|right}}
[[Fil:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|300px|Alla figurer av samma färg är likformiga.]]
<br />

{{defruta| '''likformighet'''

Likfromighet är två objekter som har exakt samma form, men är inte lika stora (se bild ⇒⇒).

Två trianglar är likformiga om något av följande är uppfyllt:
VVV: Motsvarande vinklar är lika.
SSS: Förhållandet mellan de tre sidparen är lika
SVS: Förhållandet mellan två sidpar är lika och mellanliggande vinkel är samma
}}

==== '''Exempel (Uppgift) ''' ====

[[Fil:Likformighet.png|thumb|center|Exempel]]
[[Fil:Likformighet3.png|thumb|349px|center|Formeln]]

ADE bas/ABC bas betyder att vi tar måtten på sträcken DE från den lilla triangeln och dela den med måtten på sträcken BC från den stora triangeln samt ADE sida/ABC sida betyder att vi tar måtten på sträcken AE från den lilla triangeln och dela den med sträcken AC från den stora triangeln, och det blir alltså summan på AE och EC. Man kan också använda formeln genom att dela den stora triangeln med den lilla istället, och svaret blir detsamma.

[[Fil:Likformighet2.png|thumb|372px|center|]]
[[Fil:Likformighet4.png|thumb|185px|center|Svaret]]

==== '''Användningsområden''' ====

Man kan tex. använda likformighet i avbildningar när man ska rita kartor och jorden på olika skalor, dvs. 1:2, exempelvis:-

[[File:Dog Silhouette 01.svg|400px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:1

[[File:Dog Silhouette 01.svg|200px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:2. Areaskalan är 1:4

=== Kongruens ===

[[Fil:Kongruens_ja.png|thumb|300px|konguenta - samma form och lika stora]]
[[Fil:Kongruens_nej.png|thumb|300px|Icke-kongruenta - olika storlek]]

{{defruta|'''<big>Kongruens</big>'''

Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

Två trianglar är kongruenta om något av följande tre fall gäller:
# Två sidor och mellanliggande vinkel (SVS {{=}} Sida-Vinkel-Sida)
# De tre sidorna (SSS {{=}} Sida-Sida-Sida)
# Två vinklar och mellanliggande sida (VSV {{=}} Vinkel-Sida-Vinkel)

Termen '''kongruens''' används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade.

Två geometriska figurer är kongruenta, om och endast om, de kan fås att sammanfalla genom translation, rotation och spegling. Detta kan jämföras med den inom geometrin använda termen likformighet, vilken används om figurer av samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. För bevarad likformighet är således även skalning tillåten.
}}
{{clear}}

<gallery>
kongruens-1.svg|Två plangeometriska figurer som kan fås att sammanfalla genom spegling, rotation och translation
kongruens-2.svg|Spegling
kongruens-3.svg|Rotation
kongruens-4.svg|Translation
</gallery>

{{clear|left}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Trianglar]]

{{svwp|Kongruens_(geometri)}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Likformighet och kongruens i GeoGebra'''

# Rita två trianglar i Geogebra.
# Sträckorna heter förmodligen a b c, respektive d e f.
# Skapa kvoterna a/d, b/e, c/f.
# Dra ut kvoterna på arbetsytan.
# Jämka trianglarna så att kvoterna blir ett. Då har du två kongruenta trianglar.
# Jämka nu så att kvoten blir lika för alla tre paren av sträckor. Då har du två trianglar som (blott) är likformiga.

}}

== Skala ==

<html>
<iframe scrolling="no" title="Färdighetsträning: skala"src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/s2yq47NA/width/1392/height/463/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1392px" height="463px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{clear}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/e9d669a1-d510-49c0-8931-a0aa76bda5cc Likformighet och kongruens] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/likformighet-och-kongruens Likformighet och kongruens] }}<br />
|}

==== Länkar ====

* {{svwp|Kongruens}}
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Kongruens-Matteboken ]
* [http://www.matteguiden.se/matte-b/geometri/likformighet Matteguiden]
* [http://sv.wikipedia.org/wiki/Likformighet Wikipedia]
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Matteboken]

'''Bilder'''
* [http://i39.tinypic.com/rvwv1s.jpg Bild 1 - kongruens ]
* [http://oi41.tinypic.com/dopiqx.jpg Bild 2 - icke kongruens]
{{clear}}

== Exit ticket ==

Likformighet och kongruens

2018-03-29T08:38:26Z

Ulrika: /* Aktivitet */

{{malruta | Likformighet och kongruens

Vi ska bekanta oss med begreppen likformighet och kongruens vilket ger oss flera verktyg för att lösa geometriska problem med trianglar. I nästa lektion kommer vi att få tillgång till topptriangelsatsen och transversalsatsen som bygger på likformighet.<br />Centralt Innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om '''likformighet''', '''kongruens''' och vinklar.
}}

== Teori ==

=== Likformighet ===

{{lm2c| Likformighet 71 -74}}

'''Khan Academy:''' [http://www.khanacademy.org/exercise/similar_triangles_2 likformiga trianglar]

{{#ev:youtube|7bO0TmJ6Ba4|400|right}}
[[Fil:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|300px|Alla figurer av samma färg är likformiga.]]
<br />

{{defruta| '''likformighet'''

Likfromighet är två objekter som har exakt samma form, men är inte lika stora (se bild ⇒⇒).

Två trianglar är likformiga om något av följande är uppfyllt:
VVV: Motsvarande vinklar är lika.
SSS: Förhållandet mellan de tre sidparen är lika
SVS: Förhållandet mellan två sidpar är lika och mellanliggande vinkel är samma
}}

==== '''Exempel (Uppgift) ''' ====

[[Fil:Likformighet.png|thumb|center|Exempel]]
[[Fil:Likformighet3.png|thumb|349px|center|Formeln]]

ADE bas/ABC bas betyder att vi tar måtten på sträcken DE från den lilla triangeln och dela den med måtten på sträcken BC från den stora triangeln samt ADE sida/ABC sida betyder att vi tar måtten på sträcken AE från den lilla triangeln och dela den med sträcken AC från den stora triangeln, och det blir alltså summan på AE och EC. Man kan också använda formeln genom att dela den stora triangeln med den lilla istället, och svaret blir detsamma.

[[Fil:Likformighet2.png|thumb|372px|center|]]
[[Fil:Likformighet4.png|thumb|185px|center|Svaret]]

==== '''Användningsområden''' ====

Man kan tex. använda likformighet i avbildningar när man ska rita kartor och jorden på olika skalor, dvs. 1:2, exempelvis:-

[[File:Dog Silhouette 01.svg|400px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:1

[[File:Dog Silhouette 01.svg|200px|Bilden från Wikimedia Commons]]

Hund i längdskala 1:2. Areaskalan är 1:4

=== Kongruens ===

[[Fil:Kongruens_ja.png|thumb|300px|konguenta - samma form och lika stora]]
[[Fil:Kongruens_nej.png|thumb|300px|Icke-kongruenta - olika storlek]]

{{defruta|'''<big>Kongruens</big>'''

Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

Två trianglar är kongruenta om något av följande tre fall gäller:
# Två sidor och mellanliggande vinkel (SVS {{=}} Sida-Vinkel-Sida)
# De tre sidorna (SSS {{=}} Sida-Sida-Sida)
# Två vinklar och mellanliggande sida (VSV {{=}} Vinkel-Sida-Vinkel)

Termen '''kongruens''' används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade.

Två geometriska figurer är kongruenta, om och endast om, de kan fås att sammanfalla genom translation, rotation och spegling. Detta kan jämföras med den inom geometrin använda termen likformighet, vilken används om figurer av samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. För bevarad likformighet är således även skalning tillåten.
}}
{{clear}}

<gallery>
kongruens-1.svg|Två plangeometriska figurer som kan fås att sammanfalla genom spegling, rotation och translation
kongruens-2.svg|Spegling
kongruens-3.svg|Rotation
kongruens-4.svg|Translation
</gallery>

{{clear|left}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Trianglar]]

{{svwp|Kongruens_(geometri)}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Likformighet och kongruens i GeoGebra'''

# Rita två trianglar i Geogebra.
# Sträckorna heter förmodligen a b c, respektive d e f.
# skapa kvoterna a/d, b/e, c/f.
# Dra ut kvoterna på arbetsytan.
# Jämka trianglarna så att kvoterna blir ett. Då har du två kongruenta trianglar.
# Jämka nu så att kvoten blir lika för alla tre paren av sträckor. Då har du två trianglar som (blott) är likformiga.

}}

== Skala ==

<html>
<iframe scrolling="no" title="Färdighetsträning: skala"src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/s2yq47NA/width/1392/height/463/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1392px" height="463px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{clear}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/e9d669a1-d510-49c0-8931-a0aa76bda5cc Likformighet och kongruens] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/likformighet-och-kongruens Likformighet och kongruens] }}<br />
|}

==== Länkar ====

* {{svwp|Kongruens}}
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Kongruens-Matteboken ]
* [http://www.matteguiden.se/matte-b/geometri/likformighet Matteguiden]
* [http://sv.wikipedia.org/wiki/Likformighet Wikipedia]
* [http://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7-9/plangeometri/kongruens-och-likformighet Matteboken]

'''Bilder'''
* [http://i39.tinypic.com/rvwv1s.jpg Bild 1 - kongruens ]
* [http://oi41.tinypic.com/dopiqx.jpg Bild 2 - icke kongruens]
{{clear}}

== Exit ticket ==

Parabeln

2018-03-19T11:40:21Z

Ulrika: /* Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje */

{{malruta | '''Parabelns ekvation'''

Centralt Innehåll:
*Begreppet kurva, räta linjens och '''parabelns ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.
}}

== Teori ==

=== Hur man konstruerar en parabel ===

En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.

[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/p6SH4P7E/width/714/height/397/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="714px" height="397px" style="border:0px;"> </iframe>
</html><br>

Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100

{{clear}}

{{#ev:youtube| 2mKfzOAnUDw|400|right|Lösning av problem.}}

{{defruta|

En '''parabel''' är den kurva där varje punkt på kurvan har samma avstånd till en given punkt (brännpunkten eller fokus) och till en given rät linje (styrlinjen).}}
<br>
Alla inkommande strålar i parabelns plan som infaller i parabelns öppna del och som är parallella med parabelns symmetrilinje reflekteras mot samma punkt, brännpunkten. Denna ligger på symmetriaxeln ett kort stycke från parabelns vertex.
<br>

=== Mer om parabeln ===
[[Bild:Parabel.svg|miniatyr|En parabel. '''F''' är brännpunkten (''focus''), '''I''' är styrlinjen (''directrix'') och '''A''' är extrempunkten (''vertex''). Avståndet till brännpunkten är lika med avståndet till styrlinjen för varje punkt på parabeln.]]

{{defruta|

: Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln. Ett annat ord för styrlinje är direktris.
: Brännpunkt kallas också fokus.
: Brännpunkten (fokuspunkten) är den punkt där alla parallellt infallande ljusstrålar sammanfaller.
}}

{{uppgruta|'''Fundera''':
# Vad är inte en parabel?
# Vad är skillnaden på parabel och parabol?
}}
{{clear}}

== Aktiviteter ==

=== Praktisk övning med penna och snöre ===

{{uppgruta| '''Hur gjorde man förr?'''

Konstruera parablar med hjälp av snöre, penna, fokalpunkt och styrlinje.

}}

=== En PhET-simulering ===

PhET står för Physics, Education & Technology och är en avdelning vid universitetet i Colorado och de tillverkar många fina simuleringar inom matematik, fysik och kemi.

Parabeln kan skrivas som en funktion <math>y = ax^2 + bx +c </math> men det talar vi om senare i kursen.

<html><iframe src="https://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600" scrolling="no" allowfullscreen></iframe></html>

{{uppgruta| '''Återskapa pHET-en ovan i GeoGebra'''

Målet är att skapa en snygga applikation som kommunicerar matematik genom att den som använder din GeoGebraapplikation ska lära sig något.

Skriv in funktionen på allmän form. Låt glidarna skapas.

Placera ut objekten snyggt. Sätt färg. Välj textstorlek och tjocklek på kurvan.

Skriv en förklarande text så att användaren får en uppgift att utföra och lär sig något.

När du har en snygg applikationen visar du den för någon i rummet som inte sett den innan och ber om respons.

Nu tar du responsen och förbättrar din applikation och sedan sparar du den på din profil.
}}

=== Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===

[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

{{uppgruta| '''Använd algebra för att hitta funktionen till parabeln given till höger utifrån given styrlinje och fokuspunkt'''

Vi ska använda oss av algebra för att ta fram funktionen till den givna parabeln i figuren till höger, utifrån att vi vet dess styrlinje och fokuspunkt.

'''OBS!''' Du behöver '''inte''' använda GeoGebra till detta.

# Markera '''en ''godtycklig'' punkt (x,y)''' på grafen, du behöver inte ange dess värde.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till linjen'''. Använd avståndsformeln.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till fokus'''. Använd avståndsformeln.
# För en parabel är avståndet från en punkt (x, y) till fokus det samma som avståndet från samma punkt (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''avståndsuttrycken från 2 och 3 lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fått fram beskriver parabeln. Testa att rita ut den.
}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/iAbzxDUvVtR0U8xk Parabeln]}}<br />
|-
| {{gleerups| Det saknas innehåll om parabeln som geometrisk kurva. }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/parabelns-ekvation parabelns ekvation] }}<br />
|}

# Artikeln på {{enwp|Parabola}} avslutas med ett fint bildgalleri med tillämpningar.
# Parabelns egenskaper i med tangenter och normaler. Du kan lära dig mer om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna '''datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning]
# Du lägger in styrlinje och fokuspunkt i GGB. Kan du använda avståndsformeln för att definiera en punkt med x-värde som ändras med en glidare och y-värde som ger samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten? Punkten lägger du trace på.
{{clear}}

== Exit ticket ==

{{uppgruta| '''Skriv på en bit papper vad denna GeoGebra visar'''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parabola" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cdXmgC2u/width/538/height/371/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="538px" height="371px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
}}

Parabeln

2018-03-19T11:31:30Z

Ulrika: /* Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje */

{{malruta | '''Parabelns ekvation'''

Centralt Innehåll:
*Begreppet kurva, räta linjens och '''parabelns ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.
}}

== Teori ==

=== Hur man konstruerar en parabel ===

En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.

[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/p6SH4P7E/width/714/height/397/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="714px" height="397px" style="border:0px;"> </iframe>
</html><br>

Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100

{{clear}}

{{#ev:youtube| 2mKfzOAnUDw|400|right|Lösning av problem.}}

{{defruta|

En '''parabel''' är den kurva där varje punkt på kurvan har samma avstånd till en given punkt (brännpunkten eller fokus) och till en given rät linje (styrlinjen).}}
<br>
Alla inkommande strålar i parabelns plan som infaller i parabelns öppna del och som är parallella med parabelns symmetrilinje reflekteras mot samma punkt, brännpunkten. Denna ligger på symmetriaxeln ett kort stycke från parabelns vertex.
<br>

=== Mer om parabeln ===
[[Bild:Parabel.svg|miniatyr|En parabel. '''F''' är brännpunkten (''focus''), '''I''' är styrlinjen (''directrix'') och '''A''' är extrempunkten (''vertex''). Avståndet till brännpunkten är lika med avståndet till styrlinjen för varje punkt på parabeln.]]

{{defruta|

: Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln. Ett annat ord för styrlinje är direktris.
: Brännpunkt kallas också fokus.
: Brännpunkten (fokuspunkten) är den punkt där alla parallellt infallande ljusstrålar sammanfaller.
}}

{{uppgruta|'''Fundera''':
# Vad är inte en parabel?
# Vad är skillnaden på parabel och parabol?
}}
{{clear}}

== Aktiviteter ==

=== Praktisk övning med penna och snöre ===

{{uppgruta| '''Hur gjorde man förr?'''

Konstruera parablar med hjälp av snöre, penna, fokalpunkt och styrlinje.

}}

=== En PhET-simulering ===

PhET står för Physics, Education & Technology och är en avdelning vid universitetet i Colorado och de tillverkar många fina simuleringar inom matematik, fysik och kemi.

Parabeln kan skrivas som en funktion <math>y = ax^2 + bx +c </math> men det talar vi om senare i kursen.

<html><iframe src="https://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600" scrolling="no" allowfullscreen></iframe></html>

{{uppgruta| '''Återskapa pHET-en ovan i GeoGebra'''

Målet är att skapa en snygga applikation som kommunicerar matematik genom att den som använder din GeoGebraapplikation ska lära sig något.

Skriv in funktionen på allmän form. Låt glidarna skapas.

Placera ut objekten snyggt. Sätt färg. Välj textstorlek och tjocklek på kurvan.

Skriv en förklarande text så att användaren får en uppgift att utföra och lär sig något.

När du har en snygg applikationen visar du den för någon i rummet som inte sett den innan och ber om respons.

Nu tar du responsen och förbättrar din applikation och sedan sparar du den på din profil.
}}

=== Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===

[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

{{uppgruta| '''Använd algebra för att hitta funktionen till parabeln given till höger utifrån given styrlinje och fokuspunkt'''

Vi ska använda oss av algebra för att ta fram funktionen till den givna parabeln i figuren till höger, utifrån att vi vet dess styrlinje och fokuspunkt.

'''OBS!''' Du behöver '''inte''' använda GeoGebra till detta.

# Markera '''en ''godtycklig'' punkt (x,y)''' på grafen, du behöver inte ange dess värde.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till linjen'''. Använd avståndsformeln.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till fokus'''. Använd avståndsformeln.
# För en parabel är avståndet från (x, y) till fokus det samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''avståndsuttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fått fram beskriver parabeln. Testa att rita ut den.
}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/iAbzxDUvVtR0U8xk Parabeln]}}<br />
|-
| {{gleerups| Det saknas innehåll om parabeln som geometrisk kurva. }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/parabelns-ekvation parabelns ekvation] }}<br />
|}

# Artikeln på {{enwp|Parabola}} avslutas med ett fint bildgalleri med tillämpningar.
# Parabelns egenskaper i med tangenter och normaler. Du kan lära dig mer om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna '''datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning]
# Du lägger in styrlinje och fokuspunkt i GGB. Kan du använda avståndsformeln för att definiera en punkt med x-värde som ändras med en glidare och y-värde som ger samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten? Punkten lägger du trace på.
{{clear}}

== Exit ticket ==

{{uppgruta| '''Skriv på en bit papper vad denna GeoGebra visar'''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parabola" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cdXmgC2u/width/538/height/371/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="538px" height="371px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
}}

Parabeln

2018-03-19T11:25:59Z

Ulrika: /* Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje */

{{malruta | '''Parabelns ekvation'''

Centralt Innehåll:
*Begreppet kurva, räta linjens och '''parabelns ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.
}}

== Teori ==

=== Hur man konstruerar en parabel ===

En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.

[[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/p6SH4P7E/width/714/height/397/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="714px" height="397px" style="border:0px;"> </iframe>
</html><br>

Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100

{{clear}}

{{#ev:youtube| 2mKfzOAnUDw|400|right|Lösning av problem.}}

{{defruta|

En '''parabel''' är den kurva där varje punkt på kurvan har samma avstånd till en given punkt (brännpunkten eller fokus) och till en given rät linje (styrlinjen).}}
<br>
Alla inkommande strålar i parabelns plan som infaller i parabelns öppna del och som är parallella med parabelns symmetrilinje reflekteras mot samma punkt, brännpunkten. Denna ligger på symmetriaxeln ett kort stycke från parabelns vertex.
<br>

=== Mer om parabeln ===
[[Bild:Parabel.svg|miniatyr|En parabel. '''F''' är brännpunkten (''focus''), '''I''' är styrlinjen (''directrix'') och '''A''' är extrempunkten (''vertex''). Avståndet till brännpunkten är lika med avståndet till styrlinjen för varje punkt på parabeln.]]

{{defruta|

: Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln. Ett annat ord för styrlinje är direktris.
: Brännpunkt kallas också fokus.
: Brännpunkten (fokuspunkten) är den punkt där alla parallellt infallande ljusstrålar sammanfaller.
}}

{{uppgruta|'''Fundera''':
# Vad är inte en parabel?
# Vad är skillnaden på parabel och parabol?
}}
{{clear}}

== Aktiviteter ==

=== Praktisk övning med penna och snöre ===

{{uppgruta| '''Hur gjorde man förr?'''

Konstruera parablar med hjälp av snöre, penna, fokalpunkt och styrlinje.

}}

=== En PhET-simulering ===

PhET står för Physics, Education & Technology och är en avdelning vid universitetet i Colorado och de tillverkar många fina simuleringar inom matematik, fysik och kemi.

Parabeln kan skrivas som en funktion <math>y = ax^2 + bx +c </math> men det talar vi om senare i kursen.

<html><iframe src="https://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600" scrolling="no" allowfullscreen></iframe></html>

{{uppgruta| '''Återskapa pHET-en ovan i GeoGebra'''

Målet är att skapa en snygga applikation som kommunicerar matematik genom att den som använder din GeoGebraapplikation ska lära sig något.

Skriv in funktionen på allmän form. Låt glidarna skapas.

Placera ut objekten snyggt. Sätt färg. Välj textstorlek och tjocklek på kurvan.

Skriv en förklarande text så att användaren får en uppgift att utföra och lär sig något.

När du har en snygg applikationen visar du den för någon i rummet som inte sett den innan och ber om respons.

Nu tar du responsen och förbättrar din applikation och sedan sparar du den på din profil.
}}

=== Hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===

[[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]

{{uppgruta| '''Använd algebra för att hitta parabelns funktion'''

'''OBS!''' Du ska '''inte''' använda GeoGebra till detta.

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. '''Se figuren till höger'''.

# Börja med att markera '''en ''godtycklig'' punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till linjen'''.
# Skriv ett uttryck för avståndet '''från punkten (x, y) till fokus'''.
# Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
# '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.
}}

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/iAbzxDUvVtR0U8xk Parabeln]}}<br />
|-
| {{gleerups| Det saknas innehåll om parabeln som geometrisk kurva. }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/parabelns-ekvation parabelns ekvation] }}<br />
|}

# Artikeln på {{enwp|Parabola}} avslutas med ett fint bildgalleri med tillämpningar.
# Parabelns egenskaper i med tangenter och normaler. Du kan lära dig mer om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna '''datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning]
# Du lägger in styrlinje och fokuspunkt i GGB. Kan du använda avståndsformeln för att definiera en punkt med x-värde som ändras med en glidare och y-värde som ger samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten? Punkten lägger du trace på.
{{clear}}

== Exit ticket ==

{{uppgruta| '''Skriv på en bit papper vad denna GeoGebra visar'''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parabola" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cdXmgC2u/width/538/height/371/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="538px" height="371px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
}}

Räta linjen Ma2c

2018-03-09T14:22:04Z

Ulrika: /* Riktningskoefficienten */

{{malruta | Räta linjen

Centralt innehåll:
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandlas genom fem perspektiv (på fem lektioner):
* Repetition och problemlösning
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Riktningskoefficienten
* Parallella och vinkelräta linjer
* Avståndsformeln och mittpunktsformeln
}}

== Teori ==

=== Repetition och problemlösning ===

* [http://www.geogebra.se/ma_b/funktioner/lutning_vl/lutning_vlg_t.html Lutning på GeoGebra.se]
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/taxi.ggb taxifärd] från Geogebrainstitutet
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/linear_function_sliders.ggb linjär funktion med glidare] från Geogebrainstitutet

==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ====

En rät linje går mellan punkterna.
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
# Vad betyder et att k är negativt
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2754587/width/892/height/613/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="892px" height="613px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Beräkna k och m algebraiskt ===

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

==== Hitta k ====

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>

==== Hitta m ====

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

: <math> y = kx + m </math>

Då är det ju bara m som är obekant.

{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är <math> (3,5)</math>

Sätter man in värdena så får man:

: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>

Vilket ger:

: <math> m= 5 -2 * 3 </math>

: <math> m= 5 -6 </math>

: <math> m= -1 </math>

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

: <math> y= 2 x - 1 </math>
}}
{{clear}}

=== Riktningskoefficienten ===

{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}

[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]

{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}

{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
}}

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

{{clear}}

{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''

'''Uppgift'''

Erika anställer en städare och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

'''Uträkning'''

Tänk så här:

Kostnaden ökar med <math>990kr-450kr= 540kr </math>

Tiden ökar med <math>9-4= 5 timmar</math>

<math>\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme</math>

Avgiften per timme blir<math> = 108 kr</math>
}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===
{{Lm2c|Parallella och vinkelräta linjer|110- 112}}
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}

==== Parallella linjer ====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]

{{defruta|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

: <math> k_1 = k_2 </math>
}}
{{clear}}

==== Vinkelräta linjer ====

{{defruta|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

: <math> k_1 \cdot k_2= -1 </math>
}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}

=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln===
{{#ev:youtube |FY6G0-ByfrA | 400 |right|Avståndsformeln}}

{{defruta| '''Avståndsformeln'''

Avståndsformeln används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.
}}

{{clear}}

{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}

[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]

{{defruta| '''Mittpunktsformeln'''

'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.

Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.

: Punkterna (X1,Y1) och (X2,Y2)
: har mittpunkten <math>(X_m,Y_m)= (X_1+X_2/2),(Y_1+Y_2/2)</math>
}}
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]

{{exruta|'''Exmepel på problem'''

Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].

'''Lösning'''
: <math> (x_m,y_m) = (\frac{1+(-3)}{2}), \frac{-2+5}{2}) = (-1, \frac{3}{2}) </math>
}}

=== Allmän form (linjens ekvation) ===
{{svwp |injär_ekvation }}

{{lm2c|allmänn form|113- 115}}

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:

: <math> A x +By = C.\,</math>
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>

== Aktiviteter för flera lektioner ==

=== Repetition och problemlösning ===

'''''Kort repetition'''''

{{GGB|[http://www.geogebratube.org/student/m36967 Interaktiv övning]}}

'''''Problemlösning - Diskutera'''''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

'''''Jobba själv'''''
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme

'''1.''' Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] 2007 här.

[[Fil:Rommepriser.png|right]]

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.
{{clear}}
}}

=== Att hitta k och m (algebraiskt) ===

{{uppgruta|
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
}}

==== Latex-tips ====

<pre>
<math>
\frac{}{}
</math>
</pre>

=== Riktningskoefficienten ===

{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]

[https://www.geogebra.org/tbrzezinski Tim Brzezinski] (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln ===

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/5b65617b-1cca-4c59-98f6-ed706321c9e1 Räta linjen] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner Linjära funktioner] }}<br />
|}

{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}

* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
* Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter '''Övningsblad räta linjens ekvation'''. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
* Två sidor med '''Blandade svåra uppgifter på räta linjen'''. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* En laboration om '''knutar på ett snöre''' från sid 109 i boken.
* En '''stencil''' med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.

=== Repetion och enklare uppgifter ===

{{GGB | Räta linjens ekvation

[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]

=== Problemlösning ===

==== Klurig läxa ====

[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]

=== Hitta k och m ===

* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation

=== Riktningskoefficienten ===

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

: [http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. ]
: [http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

=== Mittpunktsformeln ===

* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]

== Exit ticket ==

Räta linjen Ma2c

2018-03-09T08:25:24Z

Ulrika: /* Latex-tipa */

{{malruta | Räta linjen

Centralt innehåll:
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandlas genom fem perspektiv (på fem lektioner):
* Repetition och problemlösning
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Riktningskoefficienten
* Parallella och vinkelräta linjer
* Avståndsformeln och mittpunktsformeln
}}

== Teori ==

=== Repetition och problemlösning ===

* [http://www.geogebra.se/ma_b/funktioner/lutning_vl/lutning_vlg_t.html Lutning på GeoGebra.se]
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/taxi.ggb taxifärd] från Geogebrainstitutet
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/linear_function_sliders.ggb linjär funktion med glidare] från Geogebrainstitutet

==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ====

En rät linje går mellan punkterna.
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
# Vad betyder et att k är negativt
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2754587/width/892/height/613/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="892px" height="613px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Beräkna k och m algebraiskt ===

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

==== Hitta k ====

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>

==== Hitta m ====

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

: <math> y = kx + m </math>

Då är det ju bara m som är obekant.

{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är <math> (3,5)</math>

Sätter man in värdena så får man:

: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>

Vilket ger:

: <math> m= 5 -2 * 3 </math>

: <math> m= 5 -6 </math>

: <math> m= -1 </math>

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

: <math> y= 2 x - 1 </math>
}}
{{clear}}

=== Riktningskoefficienten ===

{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}

[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]

{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}

{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
}}

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

{{clear}}

{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''

'''Uppgift'''

Erika anställer en städare och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

'''Uträkning'''

Tänk så här:

Kostnaden ökar med <math>990kr-450kr= 540kr </math>

Tiden ökar med <math>9-4= 5 timmar</math>

<math>\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr</math>

Avgiften per timme blir<math> = 225 kr</math>
}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===
{{Lm2c|Parallella och vinkelräta linjer|110- 112}}
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}

==== Parallella linjer ====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]

{{defruta|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

: <math> k_1 = k_2 </math>
}}
{{clear}}

==== Vinkelräta linjer ====

{{defruta|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

: <math> k_1 \cdot k_2= -1 </math>
}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}

=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln===
{{#ev:youtube |FY6G0-ByfrA | 400 |right|Avståndsformeln}}

{{defruta| '''Avståndsformeln'''

Avståndsformeln används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.
}}

{{clear}}

{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}

[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]

{{defruta| '''Mittpunktsformeln'''

'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.

Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.

: Punkterna (X1,Y1) och (X2,Y2)
: har mittpunkten <math>(X_m,Y_m)= (X_1+X_2/2),(Y_1+Y_2/2)</math>
}}
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]

{{exruta|'''Exmepel på problem'''

Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].

'''Lösning'''
: <math> (x_m,y_m) = (\frac{1+(-3)}{2}), \frac{-2+5}{2}) = (-1, \frac{3}{2}) </math>
}}

=== Allmän form (linjens ekvation) ===
{{svwp |injär_ekvation }}

{{lm2c|allmänn form|113- 115}}

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:

: <math> A x +By = C.\,</math>
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>

== Aktiviteter för flera lektioner ==

=== Repetition och problemlösning ===

'''''Kort repetition'''''

{{GGB|[http://www.geogebratube.org/student/m36967 Interaktiv övning]}}

'''''Problemlösning - Diskutera'''''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

'''''Jobba själv'''''
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme

'''1.''' Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] 2007 här.

[[Fil:Rommepriser.png|right]]

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.
{{clear}}
}}

=== Att hitta k och m (algebraiskt) ===

{{uppgruta|
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
}}

==== Latex-tips ====

<pre>
<math>
\frac{}{}
</math>
</pre>

=== Riktningskoefficienten ===

{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]

[https://www.geogebra.org/tbrzezinski Tim Brzezinski] (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln ===

== Lär mer ==

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/5b65617b-1cca-4c59-98f6-ed706321c9e1 Räta linjen] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner Linjära funktioner] }}<br />
|}

{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}

* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
* Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter '''Övningsblad räta linjens ekvation'''. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
* Två sidor med '''Blandade svåra uppgifter på räta linjen'''. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* En laboration om '''knutar på ett snöre''' från sid 109 i boken.
* En '''stencil''' med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.

=== Repetion och enklare uppgifter ===

{{GGB | Räta linjens ekvation

[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]

=== Problemlösning ===

==== Klurig läxa ====

[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]

=== Hitta k och m ===

* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation

=== Riktningskoefficienten ===

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. c:

=== Mittpunktsformeln ===

* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]

== Exit ticket ==

Andragradsekvationer

2018-02-08T09:03:49Z

Ulrika: /* Fullständiga andragradsekvationer */

{{malruta | '''Andragradsekvationer'''

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}

== Teori ==

=== Enkla andragradsekvationer ===

{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}}
Av Daniel Barker.

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

{{exruta| '''Kvadratterm och binom'''

Kvadratterm:
: <math>2x^2=50</math>
: <math>x^2=25</math>
: <math>x=\pm 5</math>

Binom
: <math>(x-7)^2=64</math>
: <math>(x-7)=\pm 8</math>
: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math>
: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math>
}}

=== Dubbelrot ===

{{exruta|
: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten
: <math>x=7</math>
}}

=== Nollproduktsmetoden ===

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

{{exruta| '''Nollproduktsmetoden'''

: <math>x^2-4x=0</math>
: <math>x(x-4)=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math>
}}

Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

=== Ekvationen saknar reella rötter ===

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

{{exruta| '''Ickereella rötter'''

: <math>x^2=-4</math>
: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math>

Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math>
}}

=== Fullständiga andragradsekvationer ===

==== pq-formeln - Förklaring====

{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

: <math> x^2 + px + q = 0 </math>

där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen

=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===
{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}

Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
: {{svwp|Kvadratkomplettering}}
: {{svwp|Andragradsekvation}}
{{clear}}

<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>

<br>

== Aktivitet ==

=== Hur det började ===
Den här behöver man fundera på en stund.
: [https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

=== GGB-bok===

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
: https://ggbm.at/drMyunCX

=== kan du kvadratkomplettera? ===

{{uppgruta| '''Lös en andragradsekvation genom kvadratkomplettering''''

}}

==== '''Uppgift:''' ====

{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
}}

=== Dataövning ===

* [[Dataövning - konsekutiva tal]]

== Lär mer ==

{| class="wikitable" align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/9981b409-ebba-40a5-9550-39005f0006a9 Enkla andragradsekvationer] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br />
|}

* [[Problemlösning med ekvationer]]

* [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
* Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
* Diagnos 2 med pq-formeln
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}

{{clear}}

=== Se två filmer med Michael Bondestam ===

{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}

<br>
{{clear}}

== Exit ticket ==

Exponentialekvationer

2018-02-06T18:07:35Z

Ulrika:

{|
|-
| {{malruta | xxx

Här undersöker vi xxx.
}} |
| {{sway | [https://sway.com/4kmzo24YvLMIosaW?ref{{=}}Link Exponentialekvationer]}}<br />
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/314bb117-05b1-4536-a41e-3ee15000f4d6 Exponentialekvationer] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer] }}<br />
|}

== Teori ==

{{#ev:youtube| xxx|400|right| 2.47 min.}}

{{defruta|
: <math></math> är en '''xxx'''}}<br />

=== Grafisk löning ===

=== Logaritmera ekvationer ===

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 10<sup>2a+3b</sup> = 10<sup>y</sup> så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10<sup>x</sup> = log 27 så innebär det att 10<sup>x</sup> = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att log 10<sup>x</sup> = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

==== Exempel ====

Lös ekvationen 10<sup>2x</sup> = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 10<sup>2x</sup> = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''xxx''''

}}

<html>
</html>

== Lär mer ==

== Exit ticket ==

Andragradsekvationer

2018-02-06T18:03:50Z

Ulrika: /* Lär mer */

{{malruta | '''Andragradsekvationer'''

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}

== Teori ==

=== Enkla andragradsekvationer ===

{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}}
Av Daniel Barker.

Den här behöver man fundera på en stund. [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

=== Fullständiga andragradsekvationer ===

==== pq-formeln - Förklaring====
{{Malruta|Du ska lära dig ''pq''-formeln. Det är mycket viktigt.}}

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

: <math> x^2 + px + q = 0 </math>

där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen

'''Flipp:''' Se två filmer med Michael Bondestam:

{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}

<br>
{{clear}}

=== Härledning av pq-formeln ===

<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>

<br>

Mario om nytan med andragradsekvationer:
<br>
<youtube>goYnB61nrjg</youtube>
<br>

=== Kvadratkomplettering ===

{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.

==== '''Uppgift:''' ====

{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Lös en andragradsekvation genom kvadratkomplettering''''

}}

=== Dataövning ===

* [[Dataövning - konsekutiva tal]]

== Lär mer ==

{| class="wikitable" align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https xxx] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https xxx] }}<br />
|}
* [[Problemlösning med ekvationer]]

* [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
* Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.

== Exit ticket ==

* Diagnos 2 med pq-formeln
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}

Ekvationslösning

2018-01-30T10:49:51Z

Ulrika: /* Öva ekvationslösning */

{{malruta | Problemlösning ekvationer

Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer.
}}

== Teori ==

=== Genomgång Ekvationslösning ===

# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki>
#* Addition ( + )
#* Subraktion ( - )
#* Multiplikation ( × )
#* Division ( ÷ )
#* Logaritmera ( log || lg || ln )
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki>
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
#* Potenslagarna
#* Logaritmlagarna
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna

{{clear}}

=== Metod för effektiv förenkling av (enkla) ekvationer ===

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

=== Exempel ===

{{exruta| Genomgång av några ekvationer
# <math>(x+3)^2-6x = 25</math>
# <math>(3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8</math>
}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Diskutera metoden'''

Varför behöver man en bra metod för att förenkla ekvationer

}}

<html>
</html>

{{uppgruta| '''Hitta på egna ekvationer'''

Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara:

:<math> (x+2)^2 = x^2+3</math>

Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en
ekvation är lösbar.

Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]].

}}

=== Vad kan man göra med två ekvationer? ===

Ekvationer kan manipuleras. Addera på båda sidorna.

Multiplicera. Mult med invers = div.

Addera en negativ term = subtraktion.

Kan man addera ekvationer? Ja

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Skriv om två ekvationer så att y är fritt sätt lika. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

Rita båda ekvationerna i Ggb.

== Lär mer ==
{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/686db4c3-735f-47a0-be58-0ec5b50e8657 Konjugat- och kvadreringsrgeler i ekvationer] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Öva ekvationslösning===
*Logaritmer
:: 2<sup>x</sup> = 3
:: lg(4x) - lg(2) = 2
*Kvadreringsregeln
:: 16 + 2x = x<sup>2</sup> - 4x + 9 (svår)

*Extrauppgifter
:: lg( x<sup>2</sup> + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
:: lg(x<sup>2</sup> - 9 ) - lg( x + 3) = 10<sup>lg( 2x -7)</sup>
{{clear}}

== Exit ticket ==

Ekvationslösning

2018-01-29T13:40:51Z

Ulrika: /* Exempel */

{{malruta | Problemlösning ekvationer

Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer.
}}

== Teori ==

=== Genomgång Ekvationslösning ===

# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki>
#* Addition ( + )
#* Subraktion ( - )
#* Multiplikation ( × )
#* Division ( ÷ )
#* Logaritmera ( log || lg || ln )
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki>
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
#* Potenslagarna
#* Logaritmlagarna
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna

{{clear}}

=== Metod för effektiv förenkling av (enkla) ekvationer ===

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

=== Exempel ===

{{exruta| Genomgång av några ekvationer
# <math>(x+3)^2-6x = 25</math>
# <math>(3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8</math>
}}

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Diskutera metoden'''

Varför behöver man en bra metod för att förenkla ekvationer

}}

<html>
</html>

{{uppgruta| '''Hitta på egna ekvationer'''

Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara:

:<math> (x+2)^2 = x^2+3</math>

Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en ekvation är lösbar.

Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]].

}}

== Lär mer ==
{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/686db4c3-735f-47a0-be58-0ec5b50e8657 Konjugat- och kvadreringsrgeler i ekvationer] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Öva ekvationslösning===
*Logaritmer
:: 2<sup>x</sup> = 3
:: lg(4x) - lg(2) = 2
*Kvadreringsregeln
:: 16 + 2x = x<sup>2</sup> - 4x + 9 (svår)
:: x<sup>2</sup> + 8x = x + 4

*Extrauppgifter
:: lg( x<sup>2</sup> + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
:: lg(x<sup>2</sup> - 9 ) - lg( x + 3) = 10<sup>lg( 2x -7)</sup>
{{clear}}

== Exit ticket ==

Ekvationslösning

2018-01-29T11:44:32Z

Ulrika: /* Aktivitet */

{{malruta | Problemlösning ekvationer

Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer.
}}

== Teori ==

=== Genomgång Ekvationslösning ===

# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki>
#* Addition ( + )
#* Subraktion ( - )
#* Multiplikation ( × )
#* Division ( ÷ )
#* Logaritmera ( log || lg || ln )
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki>
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
#* Potenslagarna
#* Logaritmlagarna
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna

{{clear}}

=== Metod för effektiv förenkling av (enkla) ekvationer ===

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/skriva-om-formler skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt]. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

== Aktivitet ==

{{uppgruta| '''Diskutera metoden'''

Varför behöver man en bra metod för att förenkla ekvationer

}}

<html>
</html>

{{uppgruta| '''Hitta på egna ekvationer'''

Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara:

:<math> (x+2)^2 = x^2+3</math>

Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara.

Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]].

}}

== Lär mer ==
{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br />
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/686db4c3-735f-47a0-be58-0ec5b50e8657 Konjugat- och kvadreringsrgeler i ekvationer] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br />
|}

=== Öva ekvationslösning===
*Logaritmer
:: 2<sup>x</sup> = 3
:: lg(4x) - lg(2) = 2
*Kvadreringsregeln
:: 16 + 2x = x<sup>2</sup> - 4x + 9
:: x<sup>2</sup> + 8x = x + 4
:: (x-5)<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>-5
*Extrauppgifter
:: lg( x<sup>2</sup> + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2
:: lg(x<sup>2</sup> - 9 ) - lg( x + 3) = 10<sup>lg( 2x -7)</sup>
{{clear}}

== Exit ticket ==