= Teori =

{{malruta | Linjära ekvationer

Du kommer att lära dig lösa linjära ekvationer.

Först kommer du att förstå varför procedurerna för ekvationslösning är giltiga. Därefter ska du automatisera tillämpningen av procedurerna så att ekvationslösandet går på automatik.

Vi kommer dessutom att titta på hur digitala verktyg kan användas.
}}

Det är med ekvationer vi beskriver att två matematiska uttryck är lika. Vi skriver ekvationer med hjälp av symboler på var sin sida om ett likhetstecken. Till vänster om likhetstecknet står det vi kallar vänster led, och till höger har vi höger led.

När vi pratar om att lösa en ekvation så är vårt syfte att finna de variabler för vilken likheten stämmer.

Vi kan lösa ekvationer på flera olika sätt.

Ett av de första sättet vi löser ekvationer när vi först stöter på dem i vardagen är oftast '''identifiering''' eller '''prövning'''. Vid identifiering så försöker vi skriva om ekvationen med enbart tal och ser vilken del som motsvarar vårt x. Och vid prövning så testar vi olika värden för x till dess att vi når en lösning.

Det vanligaste algebraiska lösningssättet är '''balansering'''. Den här metoden är den som de flesta har sett någon gång.

Vi vill hålla balansen i ekvationen och allt som görs på den ena sidan likhetstecknet måste även göras på den andra. Så subtraherar vi något från vänster led måste vi även göra det från höger led.

En annan metod vi kan använda oss av är att flytta över hela högerledet så att vårt vänsterled blir lika med 0 (noll) och skriva om vårt uttryck i vänsterled till att endast bestå av produkter och använda oss av något som kallas '''nollproduktsmetoden'''. För om en av våra faktorer är noll, så blir produkten noll. På det sättet kan vi få enklare uttryck som är lättare att direkt identifiera. Den här metoden fungerar bra när vi känner oss trygga med faktorisering och att använda oss av kvadrering och konjugering baklänges. Nollproduktsmetoden kommer vi att komma tillbaka till i Ma2c.
{{clear}}

=== Förstå proceduren ===

==== Balansering ====
{{#ev:youtube | L2IzmTn0io0 | 400 | right | Ekvationer: lösa ut variabel.|frame}}

Genom att behandla båda sidor av ekvationen på samma sätt, balansera ekvationen, kan man skapa nya, enklare ekvationer. Man kan alltid addera, subtrahera, multiplicera eller dividera tal eller uttryck på båda sidor, med bibehållen lösningmängd, undantaget är multiplikation och division med 0.

Genom att multiplicera båda sidor med 1/2 fås:

:<math>1/2 \cdot 2 \cdot x = 1/2 \cdot 3</math> eller

:<math> 1 \cdot x = x = 3/2 </math>.

Det gör att vi nu skrivit om ekvationen på ett sådant sätt att <math>x</math> måste vara lika med 3/2.

Mer kortfattat kan ovanstående ekvation lösas genom balansering på följande sätt:

:<math>2x+1=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + \underbrace{1+(-1)}_{=0}= 4 + (-1) \quad \Leftrightarrow \quad 2x = 3 \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 2}_{=1} \cdot x \cdot = \frac{1}{2} \cdot 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{3}{2}.</math>

''Texten ovan från Wikipedia.se''

==== Ekvationer med x i båda leden - effektiv redovisning av lösningen ====

{{#ev:youtube | qdoptxLkz5M | 400 | right | Ekvationer med variabler i båda led.}}

Så småningom kan vi utföra balanseringen av ekvationer i sammanbakade steg utan att ange precis hur vi går tillväga eftersom vi har förstått hur det fungerar och eftersom en proper lösning kommunicerar tillräckligt bra

Ett exempel på en ekvation med x i båda leden kan vara:

: <math> 6 x = 3 x + 2</math>
: <math> 3 x = 2</math>
: <math> x = \frac{2}{3}</math>

{{clear}}

==== Ekvationer med nämnare ====

{{#ev:youtube | pBVsypHrWrU | 400 | right | Ekvationer med variabler i nämnaren}}
{{#ev:youtube | fm-UO6ECUm8 | 400 | right | Ekvationslösning med MGN}}

På samma sätt som vi kan balansera ekvationer kan vi multiplicera hela ekvationer så att vi får bort oönskade nämnare.

Om ekvationerna innehåller variabler i nämnaren (bråk) måste de förlängas. Dessa ekvationer är inte linjära.

{{exruta| variabel i nämnaren

: <math> 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad x \neq 0, vi får inte dela med 0 </math>

: <math> 3+\frac{2}{x} = 7 \qquad ~förläng ~med ~x </math>

: <math> 3 \cdot x + 2 = 7 \cdot x </math>

: <math> 2 = 4 x </math>

: <math> x = \frac{1}{2} </math>
}}
{{clear}}

==== Problemlösning med ekvationer ====

{{#ev:youtube | BpDBmZou1jA | 400 | right| Ställa upp ekvationer. }}
{{clear}}

=== Sammanfattning - Tillämpa proceduren ===

Det finns fyra procedurer som tillämpas vid ekvationslösning:
* Flytta över termer och byt tecken.
* Flytta upp eller ner till andra sidan.
* Multiplicera allt med minus ett
* Skifta plats på variabel och lösning.

= Exempel =

[[Fil:Ekvationslösning balansering.png|400px|miniatyr|höger |Balansering: Ekvation med variabler i båda led]]

[[Fil:Ekvationslösning balansering 2.png|400px|miniatyr|höger |Balansering: Lösa ut variabel]]

[[Fil:Ekvationslösning_nollproduktsmetoden.png|400px|miniatyr|höger| Överkurs: Ekvationslösning med nollproduktsmetoden]]

= Aktivitet =

Aktiviteten denna lektion är en tydlig genomgång av hur man löser ekvationer och redovisar sin lösning på ett tydligt kommunicerande sätt.

=== Digitala verktyg ===

[[Fil:IMG 0795.PNG|200px|left|GeoGebra CAS]]
[[Fil:IMG 0796 (1).PNG|200px|center]]

WolframAlpha Alpha.

GeoGebra CAS
{{clear}}

= Uppgifter =

=== Gungbrädan ===

[[Fil:Gungbrädan som ekvation.jpg|400px|miniatyr|höger |Gungbrädan som ekvation. Kan du se vilken ekvation som representerar gungbrädan och dess vikter?]]

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/b10UMMLMuSz225RV?ref{{=}}Link Ekvationer]}} 
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/801f4987-dcb2-4da7-a5ab-42c2415a8083 Linjära ekvationer] }} 
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Ekvationslösning] }} 
|}

{{khanruta| [https://www.khanacademy.org/math/algebra/one-variable-linear-equations linear equations]}}

=== Ekvationer med x i båda leden ===

{{khanruta| [https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-linear-equations-inequalities/solving-fancier-linear-equations/e/linear_equations_3 Equations with x on both sides]}}
{{clear}}

=== Två-stegs-ekvationer ===

{{khanruta| [https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-linear-equations-inequalities/core-algebra-solving-basic-equations/e/linear_equations_2 Two-step equations] }}

Testa här om du förstår processen för att lösa två-stegs-ekvationer:

{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-linear-equations-inequalities/solving-fancier-linear-equations/e/understanding-the-process-for-solving-linear-equations Understanding the process for solving linear equations]}}

=== En övning i GeoGebra ===

En mycket bra övning: [https://www.geogebra.org/m/PQCUvc3M Linear Equation Generator], av Tim Brzezinski.

== Läs mer ==

{{svwp|Ekvationslösning#Att_l.C3.B6sa_en_ekvation}}

== Exit ticket ==

<headertabs />

Fördelning av mandat

2018-09-14T08:36:03Z

TomasWestman: /* Koden */

[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Aritmetik]] [[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] - [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler exempel]}}
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''

Målet är att du ska använda ett färdigt program för att fördela mandat i ett val. Du bör läsa koden och skaffa dig en förståelse för hur programmet fungerar. Sedan ska du jämföra programmet med den algoritm som egentligen används vid fördelning av mandat.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
}}

== Undersök hur ett Pythonprogram som fördelar mandat ==

Det här kodexemplet passar till ett tematiskt arbete inför skolval och riksdagsval och är lämpligt att ha i kurserna Ma1a, Ma1b och Ma1c. Det kräver inga förkunskaper i programmering.

=== Koden ===

<pre>
#Val-program, inputs antalet röster för de åtta riksdagspartierna

V = input("V:")
V = int(V)
S = input("S:")
S = int(S)
M_P = input("MP:")
M_P = int(M_P)
C = input("C:")
C = int(C)
L = input("L:")
L = int(L)
M = input("M:")
M = int(M)
K_D = input("KD:")
K_D = int(K_D)
S_D = input("SD:")
S_D = int(S_D)

R = V + S + M_P + C + L + M + K_D + S_D
R = int(R)

#Förra valet var k=5/7
k = 5/6
k= float(k)

JT_V = k*V
JT_V = float(JT_V)

JT_S = k*S
JT_S = float(JT_S)

JT_M_P = k*M_P
JT_M_P = float(JT_M_P)

JT_C = k*C
JT_C = float(JT_C)

JT_L = k*L
JT_L = float(JT_L)

JT_M = k*M
JT_M = float(JT_M)

JT_K_D = k*K_D
JT_K_D = float(JT_K_D)

JT_S_D = k*S_D
JT_S_D = float(JT_S_D)

mandat = 349
mandat = int(mandat)

#Korrigeringarna efter ett mandat blivit fördelat
kV = 1
kV = float(kV)

kS = 1
kS = float(kS)

kM_P = 1
kM_P = float(kM_P)

kC = 1
kC = float(kC)

kL = 1
kL = float(kL)

kM = 1
kM = float(kM)

kK_D = 1
kK_D = float(kK_D)

kS_D = 1
kS_D = float(kS_D)

#Varje partis mandat

mV = 0

mS = 0

mM_P = 0

mC = 0

mL = 0

mM = 0

mK_D = 0

mS_D = 0

while mandat > 0:

if JT_S == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mS += 1
mandat -= 1
kS = kS + 2
JT_S = S/kS

elif JT_M == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mM += 1
mandat -= 1
kM = kM + 2
JT_M = M/kM

elif JT_S_D == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mS_D += 1
mandat -= 1
kS_D = kS_D + 2
JT_S_D = S_D/kS_D

elif JT_V == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mV += 1
mandat -= 1
kV = kV + 2
JT_V = V/kV

elif JT_M_P == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mM_P += 1
mandat -= 1
kM_P = kM_P + 2
JT_M_P = M_P/kM_P

elif JT_C == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mC += 1
mandat -= 1
kC = kC + 2
JT_C = C/kC

elif JT_L == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mL += 1
mandat -= 1
kL = kL + 2
JT_L = L/kL

elif JT_K_D == max(JT_V, JT_S, JT_M_P, JT_C, JT_L, JT_M, JT_K_D, JT_S_D):
mK_D += 1
mandat -= 1
kK_D = kK_D + 2
JT_K_D = K_D/kK_D

print("Totalt antal röster:",R)
print("Mandat till V:", mV)
print("Mandat till S:", mS)
print("Mandat till MP:", mM_P)
print("Mandat till C:", mC)
print("Mandat till L:", mL)
print("Mandat till M:", mM)
print("Mandat till KD:", mK_D)
print("Mandat till SD:", mS_D)
</pre>

=== Credit ===

Tomaas Westman skapade programmet.

=== Uppgift ===

{{uppgruta| '''Hur fungerar programmet'''

1. Studera koden. Vad gör programmet?
: Tips: koden är lång men eftersom det finns nio riksdagspartier upprepas varje moment nio gånger i koden.

2. Kör programmet och jämför resultatet med den befintliga mandatfördelningen. Stämmer det? Om inte, varför?
: Tips: Du behöver mata in de antal röster som partierna fick i förra valet.
}}

2018-08-14T12:08:35Z

TomasWestman:

== Teori ==
Ett sätt att förmedla matematiska tankegångar eller att strukturera matematiska problem är med hjälp av mängdlära. Med en matematisk mängd menar man en samling objekt. Dessa objekt kallas för mängdens element. T.ex. kan man skriva <math> M = \{1,2,3,4,5\} <math>. M är alltså mängden av de positiva talen 1,2,3,4 samt 5. Är x ett element i M skrivs det <math>x\in M<math>, t.ex. <math>2 \in M<math>. Däremot ingår 8 inte i mängden M. Detta skrivs som <math>8 \not\in M<math>

Låt <math>N = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}<math>. Samtliga element i M ingår nu i mängden N. Vi säger att M är en delmängd till N, det skriver vi som: <math>M \subseteq N<math>
<gallery>
mängd.png|M ingår i N
</gallery>

Ett annat exempel är från sannolikhetsteorin och när man singlar slant. Det finns två möjliga utfall, krona och klave. Mängden av de möjliga händelserna blir därför <math> S = \{krona, klave\}<math>. Eftersom detta är alla möjliga händelser. Vi säger då att S är grundmängden, det finns inga fler element att lägga till S.

Låt <math>A = \{krona\}<math> och <math>B = \{klave\}<math>. Då är <math>A \subseteq S<math> men även <math>B \subseteq S<math>. En viktig operation i mängdläran (och väldigt användbar inom sannolikhetsteorin) är komplementet till en mängd. Komplementet till en delmängd är samtliga element som finns i grundmängden men som inte finns i delmängden, komplementet kan skrivas på flera olika sätt, ett vanligt sätt är <math>A^c<math> (komplementet till mängden A). För oss har vi att <math>A^c = \{klave\} = B<math>.

== Aktivitet==
Låt <math> M = \{alla gymnasieelever i Sverige\}<math>.
a) Diskutera i smågrupper och bestäm tre delmängder till M så att ni är element i delmängderna.
b) Bestäm komplementen till era delmängder.

==Extra uppgifter==