Wikiskola - Användarbidrag [sv]

Komplexa tal Ma2c

2019-02-14T09:20:22Z

Slouca:

__NOTOC__
=Teori=
[[Fil:NumberSetinC.svg|alt=|höger|324x324px]]
<br />
{{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
{{malruta | Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.
}}

===Komplexa tal===

[[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]

De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>

där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen

:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
{{clear}}

===Komplexa rötter===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan [https://wikiskola.se/index.php?title=Tal_och_talm%C3%A4ngder Tal och talmängder]

{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>

: <math> i^2 = -1 </math>
<br />

Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
<br />
: <math> z = a + bi </math>

: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>
}}

===Komplexa tal och andragradsekvationer===

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

:<math> x^2 + px + q = 0 </math>

med lösningen:

:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

:<math> \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>

=Exempel=

{{exruta|
[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x^2%3D-16 x<sup>2</sup> {{=}} -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa.
: <math>x^2 = -16</math>
: <math>x = \pm \sqrt{-16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2 * 16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}</math>
: <math>x = \pm i * 4</math>
: <math>x_1 = 4i</math>
: <math>x_2 = -4i</math>

[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x%5E2+-4x+%2B13 x<sup>2</sup>-4x+13{{=}}0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

: <math> x^2 - 4x + 13 = 0 </math>
: <math>{{pq-formeln}}</math>
: <math> x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }</math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{-9} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} </math>
: <math> x = 2 \pm 3i </math>
: <math> x_1 = 2 +3i</math>
: <math> x_2 = 2 - 3i</math>

}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

{{clear}}

=Uppgifter=

===Öva online===

{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
}}

===Uppgift===

{{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
[[Fil:CSolve.PNG|280px|höger]]
Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].

CAS står för [https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system Computer Algebra System].

[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
}}

=Relevans=

===Vad ska man ha komplexa tal till?===

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

*Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
**[http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
{{clear}}

=Aktivitet=

===Visualisera komplexa rötter===

:[https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]

<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=Lär mer=

{| align="right"
|-
|{{sway | [https xxx]}}<br />
|-
|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
|-
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
|}

===Texter från högskolan===

*[http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]

===En wiki med mycket teknik===

*[http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

===Fördjupning som hör till Ma4===

{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}

====Konjugatet====

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:

:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
{{clear|left}}

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

:<math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>

För konjugatet gäller

:<math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ </math>
:<math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ </math>
:<math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>

====Absolutbeloppet====

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

:<math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>

eller

:<math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>

För absolutbeloppet gäller

:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
:<math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>

==Exit ticket==

<headertabs />

Komplexa tal Ma2c

2019-02-14T09:19:34Z

Slouca:

__NOTOC__
= Teori =
[[File:NumberSetinC.svg|NumberSetinC]]
{{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
{{malruta | Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.
}}

=== Komplexa tal ===

[[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]

De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som
:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen
:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
{{clear}}

=== Komplexa rötter ===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan [https://wikiskola.se/index.php?title=Tal_och_talm%C3%A4ngder Tal och talmängder]

{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>

: <math> i^2 = -1 </math>
<br />

Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
<br />
: <math> z = a + bi </math>

: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>
}}

=== Komplexa tal och andragradsekvationer ===

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

:<math> x^2 + px + q = 0 </math>

med lösningen:

:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

:<math> \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>

= Exempel =

{{exruta|
[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x^2%3D-16 x<sup>2</sup> {{=}} -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa.
: <math>x^2 = -16</math>
: <math>x = \pm \sqrt{-16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2 * 16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}</math>
: <math>x = \pm i * 4</math>
: <math>x_1 = 4i</math>
: <math>x_2 = -4i</math>

[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x%5E2+-4x+%2B13 x<sup>2</sup>-4x+13{{=}}0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

: <math> x^2 - 4x + 13 = 0 </math>
: <math>{{pq-formeln}}</math>
: <math> x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }</math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{-9} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} </math>
: <math> x = 2 \pm 3i </math>
: <math> x_1 = 2 +3i</math>
: <math> x_2 = 2 - 3i</math>

}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

{{clear}}

= Uppgifter =

=== Öva online ===

{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
}}

=== Uppgift ===

{{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
[[Fil:CSolve.PNG|280px|höger]]
Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].

CAS står för [https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system Computer Algebra System].

[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
}}

= Relevans =

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Visualisera komplexa rötter ===

: [https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Lär mer =

{| align="right"
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
|}

=== Texter från högskolan ===

* [http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]

=== En wiki med mycket teknik ===

* [http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Fördjupning som hör till Ma4 ===

{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}

==== Konjugatet ====

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
{{clear|left}}

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

: <math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>

För konjugatet gäller

: <math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ </math>
: <math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ </math>
: <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>

==== Absolutbeloppet ====

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

: <math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
eller

: <math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
För absolutbeloppet gäller

: <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
: <math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>

== Exit ticket ==

<headertabs />

Komplexa tal Ma2c

2019-02-14T09:18:59Z

Slouca:

[[File:NumberSetinC.svg|NumberSetinC]]

__NOTOC__
= Teori =
{{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
{{malruta | Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.
}}

=== Komplexa tal ===

[[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]

De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som
:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen
:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
{{clear}}

=== Komplexa rötter ===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan [https://wikiskola.se/index.php?title=Tal_och_talm%C3%A4ngder Tal och talmängder]

{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>

: <math> i^2 = -1 </math>
<br />

Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
<br />
: <math> z = a + bi </math>

: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>
}}

=== Komplexa tal och andragradsekvationer ===

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

:<math> x^2 + px + q = 0 </math>

med lösningen:

:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

:<math> \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>

= Exempel =

{{exruta|
[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x^2%3D-16 x<sup>2</sup> {{=}} -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa.
: <math>x^2 = -16</math>
: <math>x = \pm \sqrt{-16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2 * 16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}</math>
: <math>x = \pm i * 4</math>
: <math>x_1 = 4i</math>
: <math>x_2 = -4i</math>

[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x%5E2+-4x+%2B13 x<sup>2</sup>-4x+13{{=}}0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

: <math> x^2 - 4x + 13 = 0 </math>
: <math>{{pq-formeln}}</math>
: <math> x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }</math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{-9} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} </math>
: <math> x = 2 \pm 3i </math>
: <math> x_1 = 2 +3i</math>
: <math> x_2 = 2 - 3i</math>

}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]

{{clear}}

= Uppgifter =

=== Öva online ===

{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
}}

=== Uppgift ===

{{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
[[Fil:CSolve.PNG|280px|höger]]
Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].

CAS står för [https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system Computer Algebra System].

[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
}}

= Relevans =

=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
{{clear}}

= Aktivitet =

=== Visualisera komplexa rötter ===

: [https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Lär mer =

{| align="right"
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|-
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
|}

=== Texter från högskolan ===

* [http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]

=== En wiki med mycket teknik ===

* [http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]

=== Fördjupning som hör till Ma4 ===

{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}

==== Konjugatet ====

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
{{clear|left}}

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

: <math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>

För konjugatet gäller

: <math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ </math>
: <math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ </math>
: <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>

==== Absolutbeloppet ====

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

: <math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
eller

: <math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
För absolutbeloppet gäller

: <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
: <math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>

== Exit ticket ==

<headertabs />

2019-01-25T10:15:16Z

Slouca: /* Substitutionsmetoden */

= Teori =
{{malruta | Ekvationssystem

Här undersöker vi ekvationssystem med två eller tre obekanta. Vi kommer att lära oss lösa ekvationssytem grafiskt, med substitutuin samt med additions- och subtraktionsmetoden.
}}

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2769699/width/600/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="600px" height="503px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Nedan och till höger ser du ett ekvationssystem:

:<math>\begin{cases}
& x + 5y~ {{=}} 20 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 2 \quad
\end{cases}</math>

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: {{svwp | Ekvationssystem}}

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

=== Ersättningsmetoden - Substitutionsmetoden ===

Ett annat namn för '''ersättningsmetoden''' är '''substitutionsmetoden'''.

Substitutionsmetoden fungerar så att om man har en variabel ensam i VL så kan man ta det som finns i HL och sätta in i den andra ekvationen. Om vi exempelvis har y fritt så tar vi det y är lika med ochersätter y med det i den andra ekvationen.

=== Additionsmetoden ===

{{lm2c|s. 123 -126|Additionsmetoden}}
{{#ev:youtube|ZIHb8YyeMco|300|right}}

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Additionsmetodden bygger på att två ekvationer kan adderas så att <math> VL_1+ VL_2 = HL_1 + HL_2 </math>

==== Vad kan man göra med två ekvationer? ====

Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.
* Addera sammma term på båda sidorna.
* Addera en negativ term = subtraktion.
* Multiplicera med ett tal.
* Multiplicera med en invers = division.
* Multiplicera med ett negativt tal för att byta tecken i en ekvation.
* Dessutom: Man kan addera två ekvationer!

'''Fråga?'''

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

'''Test''': Rita båda ekvationerna i Ggb.

=== Ekvationssystem som saknar lösning ===

Ekvationssytemets lösning är ju skärningspunkten mellan två grafer. Om linjerna är parallella saknas det lösning. Du ser det algebraiskt genom att dina ekvationer (funktioner) har samma k-värde.

I specialfallet med samma k-värde och samma m-värde har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

=== Ekvationssystem med tre obekanta ===

{{lm2c|s. 133-134|Tre obekanta}}

Ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer löses genom att reducera det till ett ekvationssystem med två obekanta. Använd additionsmetoden med en av ekvationerna (exempelvis den första) för att ta bort en variabel (förslagsvis z) ur de två andra. Dessa två bildar ett nytt ekvationssystem som du kan lösa på vanligt sätt.

Ibland stöter du på enklare ekvationssytem med tre obekanta där du ser enklare vägar att lösa dem men så är inte alltid fallet.

Självfallet ''kan'' du använda substitutionsmetoden för att reducera ner ekvationssystemet till två obekanta men det leder ofta till krångligare beräkningar när det gäller skoluppgifter.

= Exempel =

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===
{{exruta | Ekvationssystem

Bestäm skärningspunkterna för linjerna <math> x + y {{=}} 1\,</math> och <math> x - y {{=}} 1 \,</math>, med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet
:<math>\begin{cases}
&x + y {{=}} 1 \quad (1)\\
&x - y {{=}} 1 \quad (2)
\end{cases}</math>
Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till
:<math>y = x - 1.\,</math>
Genom att sätta in detta värde på ''y'' i ekvation (1) övergår ekvation (1) till
:<math>x + (x - 1) = 1\,</math>
Denna ekvation har lösningen <math>x = 1.</math> Då <math>y = x-1,</math> följer att <math> y = 0.</math>

Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är ''x {{=}} 1'' och vars y-koordinat är ''y {{=}} 0''.
}}

=== Substitutionsmetoden ===
[[Media: Ekvationssystem2 substi.pdf]] (Ladda gärna ner och öppna i Acrobat Reader).

[[Media: Ekvationssystem2_substiPP2.pptx]]
==== Sätt y lika ====

{{exruta| Ersättningsmetoden

:<math>\begin{cases}
& x + 5y = 20, \quad (1)\\
& -x +y = − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:

:<math>\begin{cases}
& 5y = 20-x, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>
eller
:<math>\begin{cases}
& y = 4- \frac{x}{5}, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

det betyder att vi kan sätta:

:<math>4- \frac{x}{5} = x − 2 </math>

Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna:

:<math> \frac{6x}{5} = 6 </math>
:<math> x= 5 </math>

Sätt in <math>x = 5</math> i <math>(1)</math> ger <math>y =3</math>
}}

=== Additionsmetoden ===
{{exruta| Additionsmetoden

:<math>\begin{cases}
&x + y = 5, \quad (1)\\
&2x − 3y = − 5 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med <math>-2</math>.Det ger då att
:<math> − 2x − 2y = − 10 </math>
Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att
:<math> − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 </math>
Det ger att
:<math> − 5y = − 15. </math>
Om man löser ut y får man att <math>y = 3</math>. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att
:<math> x + 3 = 5 </math>
och det ger att <math>x = 2</math>. Lösningen till ekvationssystemet blir
:<math> x = 2,y = 3 </math>
}}

''Källa: Wikipedia''

=== Problemlösning med ekvationssystem ===

{{exruta| Textproblem som blir ekvationssystem

Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen?

'''Lösning:'''

:<math>\begin{cases}
& x + y {{=}} 38 \quad (1)\\
& x - y {{=}} 14 \quad (2)
\end{cases}</math>

Addera (1) och (2) ger:

: <math> 2x = 52</math>
: <math> x = 26</math>
: <math> y = 12</math>
}}

= Uppgifter =

=== Grafisk lösning av ekvationssystem ===

{{uppgruta | '''Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet:'''

:<math>\begin{cases}
& 2x + 7y~ {{=}} 22 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 8 \quad
\end{cases}</math>

}}

=== Lös med substitutionsmetoden ===

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y=6x \\
& y=x+13 \quad
\end{cases}</math>

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 8 \\
& y = 10 - x
\end{cases}</math>

Ekvationssystemet

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 3 \\
& y = 5 - 7x
\end{cases}</math>

har lösningen y = -11/9 men vilket värde har x?

Uppgift

Om 6x + 7 y = 2a så har uttrycket 6x + 7 y - 9 värdet 11. Bestäm a.

=== Tolka figuren och lös algebraiskt ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="ekvationssystem" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HyzU8hYZ/width/406/height/280/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="406px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Lös ekvationssystemet du ser i bilden till höger algebraiskt.

{{clear}}

=== Jämför de olika metoderna och öva dig på typtal ===

När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): [[Typtal Ekvationssystem]]

= Python =

<pre>
# Här ska du skriv vad programmet gör

# Matematiklärarna tackar Victor och Sven för grovjobbet till detta program
print("Detta program är skrivet av Victor Axberg och Sven Kvarngren\n")

def getValues():
# Tala om vad händer 9 raderna nedan
print("Ekvation 1:\nAy + Bx + C = 0\n")
A = float(input("Skriv in A-värdet:\n"))
B = float(input("Skriv in B-värdet:\n"))
C = float(input("Skriv in C-värdet:\n"))

print("\nEkvation 2:\nDy + Ex + F = 0\n")
D = float(input("Skriv in D-värdet:\n"))
E = float(input("Skriv in E-värdet:\n"))
F = float(input("Skriv in F-värdet:\n"))

# Förklara de 4 raderna nedan
k1 = -B/A
m1 = -C/A
k2 = -E/D
m2 = -F/D

# Kör funktionen som heter findIntersection med variablerna k1, m1, k2 och m2
findIntersection(k1,m1,k2,m2)

def findIntersection(k1,m1,k2,m2):
# Förklara vad funktionen findIntersection gör
# Förklara även vilken matematisk metod för att lösa ekvationssystem som används
x = (m2-m1)/(k1-k2)
y = k1*x + m1
print("skärningen sker vid: ("+str(x)+", "+str(y)+")")
# Kör funktionen som heter getValues
getValues()
</pre>

= Aktivitet =

=== Välj metod ===

{{uppgruta| '''Reflektera och välj'''

Vilken metod tycker du är bäst, '''additionsmetoden''' eller '''ersättningsmetoden'''?
}}

=== Använd glidare i geoGebra ===

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

{{uppgruta | '''Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem'''

Lös de tre [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/699089#material/12404 uppgifterna] som finns på denna sida i GeoGebraTube.}}

'''Kommentar''': Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

=== Leo och Eva fyller år på samma dag ===

Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år är Leo en tredjedel så gammal som Eva.
Leo faktoriserar sin mormor Ingeborgs ålder och kommer fram till att hon är 2*2*(hans ålder + 10).

Hur gammal är Ingeborg?

{{Lista|

: <math>E=L+40</math>
: <math>3(L+7)= E+7</math>
: <math>2 \cdot 2 \cdot (L+10) =I</math>

: <math>3L+21=E+7</math>
: <math>3L+14=E</math>
: <math>3L+14=L+40</math>
: <math>2L=26</math>
: <math>L=13</math>
: <math>I= 4(13+10)=4 \cdot 23=92</math>
: Svar: Ingeborg är 92 år.
}}

= Lär mer =

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/IKozCZfmsJ4B8tWo?ref{{=}}Link Ekvationssystem]}}<br />
|-
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Ekvationssystem Ekvationssystem] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-ekvationssystem-grafisk-losning Linjära ekvationssystem] }}<br />
|}

{{uppgruta|Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem

[[Media:Veckodiagnos_18.pdf| Veckodiagnos 18 ]]
}}

=== Blandade uppgifter ===

* [http://mattehogskoleprovet.com/wp-content/uploads/2016/04/Ekvationssystem-probleml%C3%B6sning.pdf Ekvationssystem problemlösning]
* Papper som ska delas ut: [http://wikiskola.se/images/Övningshäfte_Algebra%2C_ekvationssystem_och_geometri_fr_Åkes_mappar_-_rätt_svårt.pdf Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt]

=== Ett gammalt prov i algebra och geometri ===

[[Media:Matte_2C_-_Prov_2_Geometri_III_Blad1.pdf|Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem]]

=== Ekvationssystem i GeoGebra ===

Pröva gärna att lösa ekvationssystem i GeoGebra.

Använd kommandot Solve och prova gärna 3D-modulen för treekvationerssystem.

'''Exempel:'''
: Solve({x = 4 x + y , y + x = 2}, {x, y}) yields ( x = -1, y = 3 ), the sole solution of x = 4x + y and y + x = 2

Ovanstående fungerar i graphic mode men om du går in på Classic CAS så kan du lösa ekvationssystem med två ekvationer. https://www.geogebra.org/classic/cas

== Exit ticket ==

<headertabs />

Fil:Ekvationssystem2 substiPP2.pptx

2019-01-25T10:14:04Z

Slouca:

Ekvationssystem Ma2c

2019-01-25T10:08:59Z

Slouca: /* Substitutionsmetoden */

= Teori =
{{malruta | Ekvationssystem

Här undersöker vi ekvationssystem med två eller tre obekanta. Vi kommer att lära oss lösa ekvationssytem grafiskt, med substitutuin samt med additions- och subtraktionsmetoden.
}}

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2769699/width/600/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="600px" height="503px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Nedan och till höger ser du ett ekvationssystem:

:<math>\begin{cases}
& x + 5y~ {{=}} 20 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 2 \quad
\end{cases}</math>

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: {{svwp | Ekvationssystem}}

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

=== Ersättningsmetoden - Substitutionsmetoden ===

Ett annat namn för '''ersättningsmetoden''' är '''substitutionsmetoden'''.

Substitutionsmetoden fungerar så att om man har en variabel ensam i VL så kan man ta det som finns i HL och sätta in i den andra ekvationen. Om vi exempelvis har y fritt så tar vi det y är lika med ochersätter y med det i den andra ekvationen.

=== Additionsmetoden ===

{{lm2c|s. 123 -126|Additionsmetoden}}
{{#ev:youtube|ZIHb8YyeMco|300|right}}

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Additionsmetodden bygger på att två ekvationer kan adderas så att <math> VL_1+ VL_2 = HL_1 + HL_2 </math>

==== Vad kan man göra med två ekvationer? ====

Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.
* Addera sammma term på båda sidorna.
* Addera en negativ term = subtraktion.
* Multiplicera med ett tal.
* Multiplicera med en invers = division.
* Multiplicera med ett negativt tal för att byta tecken i en ekvation.
* Dessutom: Man kan addera två ekvationer!

'''Fråga?'''

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

'''Test''': Rita båda ekvationerna i Ggb.

=== Ekvationssystem som saknar lösning ===

Ekvationssytemets lösning är ju skärningspunkten mellan två grafer. Om linjerna är parallella saknas det lösning. Du ser det algebraiskt genom att dina ekvationer (funktioner) har samma k-värde.

I specialfallet med samma k-värde och samma m-värde har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

=== Ekvationssystem med tre obekanta ===

{{lm2c|s. 133-134|Tre obekanta}}

Ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer löses genom att reducera det till ett ekvationssystem med två obekanta. Använd additionsmetoden med en av ekvationerna (exempelvis den första) för att ta bort en variabel (förslagsvis z) ur de två andra. Dessa två bildar ett nytt ekvationssystem som du kan lösa på vanligt sätt.

Ibland stöter du på enklare ekvationssytem med tre obekanta där du ser enklare vägar att lösa dem men så är inte alltid fallet.

Självfallet ''kan'' du använda substitutionsmetoden för att reducera ner ekvationssystemet till två obekanta men det leder ofta till krångligare beräkningar när det gäller skoluppgifter.

= Exempel =

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===
{{exruta | Ekvationssystem

Bestäm skärningspunkterna för linjerna <math> x + y {{=}} 1\,</math> och <math> x - y {{=}} 1 \,</math>, med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet
:<math>\begin{cases}
&x + y {{=}} 1 \quad (1)\\
&x - y {{=}} 1 \quad (2)
\end{cases}</math>
Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till
:<math>y = x - 1.\,</math>
Genom att sätta in detta värde på ''y'' i ekvation (1) övergår ekvation (1) till
:<math>x + (x - 1) = 1\,</math>
Denna ekvation har lösningen <math>x = 1.</math> Då <math>y = x-1,</math> följer att <math> y = 0.</math>

Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är ''x {{=}} 1'' och vars y-koordinat är ''y {{=}} 0''.
}}

=== Substitutionsmetoden ===
[[Media: Ekvationssystem2 substi.pdf]] (Ladda gärna ner och öppna i Acrobat Reader).
==== Sätt y lika ====

{{exruta| Ersättningsmetoden

:<math>\begin{cases}
& x + 5y = 20, \quad (1)\\
& -x +y = − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:

:<math>\begin{cases}
& 5y = 20-x, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>
eller
:<math>\begin{cases}
& y = 4- \frac{x}{5}, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

det betyder att vi kan sätta:

:<math>4- \frac{x}{5} = x − 2 </math>

Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna:

:<math> \frac{6x}{5} = 6 </math>
:<math> x= 5 </math>

Sätt in <math>x = 5</math> i <math>(1)</math> ger <math>y =3</math>
}}

=== Additionsmetoden ===
{{exruta| Additionsmetoden

:<math>\begin{cases}
&x + y = 5, \quad (1)\\
&2x − 3y = − 5 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med <math>-2</math>.Det ger då att
:<math> − 2x − 2y = − 10 </math>
Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att
:<math> − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 </math>
Det ger att
:<math> − 5y = − 15. </math>
Om man löser ut y får man att <math>y = 3</math>. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att
:<math> x + 3 = 5 </math>
och det ger att <math>x = 2</math>. Lösningen till ekvationssystemet blir
:<math> x = 2,y = 3 </math>
}}

''Källa: Wikipedia''

=== Problemlösning med ekvationssystem ===

{{exruta| Textproblem som blir ekvationssystem

Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen?

'''Lösning:'''

:<math>\begin{cases}
& x + y {{=}} 38 \quad (1)\\
& x - y {{=}} 14 \quad (2)
\end{cases}</math>

Addera (1) och (2) ger:

: <math> 2x = 52</math>
: <math> x = 26</math>
: <math> y = 12</math>
}}

= Uppgifter =

=== Grafisk lösning av ekvationssystem ===

{{uppgruta | '''Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet:'''

:<math>\begin{cases}
& 2x + 7y~ {{=}} 22 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 8 \quad
\end{cases}</math>

}}

=== Lös med substitutionsmetoden ===

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y=6x \\
& y=x+13 \quad
\end{cases}</math>

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 8 \\
& y = 10 - x
\end{cases}</math>

Ekvationssystemet

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 3 \\
& y = 5 - 7x
\end{cases}</math>

har lösningen y = -11/9 men vilket värde har x?

Uppgift

Om 6x + 7 y = 2a så har uttrycket 6x + 7 y - 9 värdet 11. Bestäm a.

=== Tolka figuren och lös algebraiskt ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="ekvationssystem" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HyzU8hYZ/width/406/height/280/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="406px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Lös ekvationssystemet du ser i bilden till höger algebraiskt.

{{clear}}

=== Jämför de olika metoderna och öva dig på typtal ===

När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): [[Typtal Ekvationssystem]]

= Python =

<pre>
# Här ska du skriv vad programmet gör

# Matematiklärarna tackar Victor och Sven för grovjobbet till detta program
print("Detta program är skrivet av Victor Axberg och Sven Kvarngren\n")

def getValues():
# Tala om vad händer 9 raderna nedan
print("Ekvation 1:\nAy + Bx + C = 0\n")
A = float(input("Skriv in A-värdet:\n"))
B = float(input("Skriv in B-värdet:\n"))
C = float(input("Skriv in C-värdet:\n"))

print("\nEkvation 2:\nDy + Ex + F = 0\n")
D = float(input("Skriv in D-värdet:\n"))
E = float(input("Skriv in E-värdet:\n"))
F = float(input("Skriv in F-värdet:\n"))

# Förklara de 4 raderna nedan
k1 = -B/A
m1 = -C/A
k2 = -E/D
m2 = -F/D

# Kör funktionen som heter findIntersection med variablerna k1, m1, k2 och m2
findIntersection(k1,m1,k2,m2)

def findIntersection(k1,m1,k2,m2):
# Förklara vad funktionen findIntersection gör
# Förklara även vilken matematisk metod för att lösa ekvationssystem som används
x = (m2-m1)/(k1-k2)
y = k1*x + m1
print("skärningen sker vid: ("+str(x)+", "+str(y)+")")
# Kör funktionen som heter getValues
getValues()
</pre>

= Aktivitet =

=== Välj metod ===

{{uppgruta| '''Reflektera och välj'''

Vilken metod tycker du är bäst, '''additionsmetoden''' eller '''ersättningsmetoden'''?
}}

=== Använd glidare i geoGebra ===

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

{{uppgruta | '''Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem'''

Lös de tre [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/699089#material/12404 uppgifterna] som finns på denna sida i GeoGebraTube.}}

'''Kommentar''': Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

=== Leo och Eva fyller år på samma dag ===

Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år är Leo en tredjedel så gammal som Eva.
Leo faktoriserar sin mormor Ingeborgs ålder och kommer fram till att hon är 2*2*(hans ålder + 10).

Hur gammal är Ingeborg?

{{Lista|

: <math>E=L+40</math>
: <math>3(L+7)= E+7</math>
: <math>2 \cdot 2 \cdot (L+10) =I</math>

: <math>3L+21=E+7</math>
: <math>3L+14=E</math>
: <math>3L+14=L+40</math>
: <math>2L=26</math>
: <math>L=13</math>
: <math>I= 4(13+10)=4 \cdot 23=92</math>
: Svar: Ingeborg är 92 år.
}}

= Lär mer =

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/IKozCZfmsJ4B8tWo?ref{{=}}Link Ekvationssystem]}}<br />
|-
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Ekvationssystem Ekvationssystem] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-ekvationssystem-grafisk-losning Linjära ekvationssystem] }}<br />
|}

{{uppgruta|Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem

[[Media:Veckodiagnos_18.pdf| Veckodiagnos 18 ]]
}}

=== Blandade uppgifter ===

* [http://mattehogskoleprovet.com/wp-content/uploads/2016/04/Ekvationssystem-probleml%C3%B6sning.pdf Ekvationssystem problemlösning]
* Papper som ska delas ut: [http://wikiskola.se/images/Övningshäfte_Algebra%2C_ekvationssystem_och_geometri_fr_Åkes_mappar_-_rätt_svårt.pdf Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt]

=== Ett gammalt prov i algebra och geometri ===

[[Media:Matte_2C_-_Prov_2_Geometri_III_Blad1.pdf|Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem]]

=== Ekvationssystem i GeoGebra ===

Pröva gärna att lösa ekvationssystem i GeoGebra.

Använd kommandot Solve och prova gärna 3D-modulen för treekvationerssystem.

'''Exempel:'''
: Solve({x = 4 x + y , y + x = 2}, {x, y}) yields ( x = -1, y = 3 ), the sole solution of x = 4x + y and y + x = 2

Ovanstående fungerar i graphic mode men om du går in på Classic CAS så kan du lösa ekvationssystem med två ekvationer. https://www.geogebra.org/classic/cas

== Exit ticket ==

<headertabs />

Ekvationssystem Ma2c

2019-01-25T10:06:16Z

Slouca: /* Substitutionsmetoden */

= Teori =
{{malruta | Ekvationssystem

Här undersöker vi ekvationssystem med två eller tre obekanta. Vi kommer att lära oss lösa ekvationssytem grafiskt, med substitutuin samt med additions- och subtraktionsmetoden.
}}

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2769699/width/600/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="600px" height="503px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Nedan och till höger ser du ett ekvationssystem:

:<math>\begin{cases}
& x + 5y~ {{=}} 20 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 2 \quad
\end{cases}</math>

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: {{svwp | Ekvationssystem}}

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

=== Ersättningsmetoden - Substitutionsmetoden ===

Ett annat namn för '''ersättningsmetoden''' är '''substitutionsmetoden'''.

Substitutionsmetoden fungerar så att om man har en variabel ensam i VL så kan man ta det som finns i HL och sätta in i den andra ekvationen. Om vi exempelvis har y fritt så tar vi det y är lika med ochersätter y med det i den andra ekvationen.

=== Additionsmetoden ===

{{lm2c|s. 123 -126|Additionsmetoden}}
{{#ev:youtube|ZIHb8YyeMco|300|right}}

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Additionsmetodden bygger på att två ekvationer kan adderas så att <math> VL_1+ VL_2 = HL_1 + HL_2 </math>

==== Vad kan man göra med två ekvationer? ====

Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.
* Addera sammma term på båda sidorna.
* Addera en negativ term = subtraktion.
* Multiplicera med ett tal.
* Multiplicera med en invers = division.
* Multiplicera med ett negativt tal för att byta tecken i en ekvation.
* Dessutom: Man kan addera två ekvationer!

'''Fråga?'''

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

'''Test''': Rita båda ekvationerna i Ggb.

=== Ekvationssystem som saknar lösning ===

Ekvationssytemets lösning är ju skärningspunkten mellan två grafer. Om linjerna är parallella saknas det lösning. Du ser det algebraiskt genom att dina ekvationer (funktioner) har samma k-värde.

I specialfallet med samma k-värde och samma m-värde har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

=== Ekvationssystem med tre obekanta ===

{{lm2c|s. 133-134|Tre obekanta}}

Ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer löses genom att reducera det till ett ekvationssystem med två obekanta. Använd additionsmetoden med en av ekvationerna (exempelvis den första) för att ta bort en variabel (förslagsvis z) ur de två andra. Dessa två bildar ett nytt ekvationssystem som du kan lösa på vanligt sätt.

Ibland stöter du på enklare ekvationssytem med tre obekanta där du ser enklare vägar att lösa dem men så är inte alltid fallet.

Självfallet ''kan'' du använda substitutionsmetoden för att reducera ner ekvationssystemet till två obekanta men det leder ofta till krångligare beräkningar när det gäller skoluppgifter.

= Exempel =

=== Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem ===
{{exruta | Ekvationssystem

Bestäm skärningspunkterna för linjerna <math> x + y {{=}} 1\,</math> och <math> x - y {{=}} 1 \,</math>, med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet
:<math>\begin{cases}
&x + y {{=}} 1 \quad (1)\\
&x - y {{=}} 1 \quad (2)
\end{cases}</math>
Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till
:<math>y = x - 1.\,</math>
Genom att sätta in detta värde på ''y'' i ekvation (1) övergår ekvation (1) till
:<math>x + (x - 1) = 1\,</math>
Denna ekvation har lösningen <math>x = 1.</math> Då <math>y = x-1,</math> följer att <math> y = 0.</math>

Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är ''x {{=}} 1'' och vars y-koordinat är ''y {{=}} 0''.
}}

=== Substitutionsmetoden ===
[[Media:Ekvationssystem2 substi.pdf]]
==== Sätt y lika ====

{{exruta| Ersättningsmetoden

:<math>\begin{cases}
& x + 5y = 20, \quad (1)\\
& -x +y = − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:

:<math>\begin{cases}
& 5y = 20-x, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>
eller
:<math>\begin{cases}
& y = 4- \frac{x}{5}, \quad (1)\\
& y = x − 2 \quad (2)
\end{cases}</math>

det betyder att vi kan sätta:

:<math>4- \frac{x}{5} = x − 2 </math>

Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna:

:<math> \frac{6x}{5} = 6 </math>
:<math> x= 5 </math>

Sätt in <math>x = 5</math> i <math>(1)</math> ger <math>y =3</math>
}}

=== Additionsmetoden ===
{{exruta| Additionsmetoden

:<math>\begin{cases}
&x + y = 5, \quad (1)\\
&2x − 3y = − 5 \quad (2)
\end{cases}</math>

Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med <math>-2</math>.Det ger då att
:<math> − 2x − 2y = − 10 </math>
Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att
:<math> − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 </math>
Det ger att
:<math> − 5y = − 15. </math>
Om man löser ut y får man att <math>y = 3</math>. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att
:<math> x + 3 = 5 </math>
och det ger att <math>x = 2</math>. Lösningen till ekvationssystemet blir
:<math> x = 2,y = 3 </math>
}}

''Källa: Wikipedia''

=== Problemlösning med ekvationssystem ===

{{exruta| Textproblem som blir ekvationssystem

Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen?

'''Lösning:'''

:<math>\begin{cases}
& x + y {{=}} 38 \quad (1)\\
& x - y {{=}} 14 \quad (2)
\end{cases}</math>

Addera (1) och (2) ger:

: <math> 2x = 52</math>
: <math> x = 26</math>
: <math> y = 12</math>
}}

= Uppgifter =

=== Grafisk lösning av ekvationssystem ===

{{uppgruta | '''Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet:'''

:<math>\begin{cases}
& 2x + 7y~ {{=}} 22 \quad \\
& - x + y~ {{=}} - 8 \quad
\end{cases}</math>

}}

=== Lös med substitutionsmetoden ===

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y=6x \\
& y=x+13 \quad
\end{cases}</math>

Lös ekvationssystemet:

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 8 \\
& y = 10 - x
\end{cases}</math>

Ekvationssystemet

:<math>\begin{cases}
& y = 2x - 3 \\
& y = 5 - 7x
\end{cases}</math>

har lösningen y = -11/9 men vilket värde har x?

Uppgift

Om 6x + 7 y = 2a så har uttrycket 6x + 7 y - 9 värdet 11. Bestäm a.

=== Tolka figuren och lös algebraiskt ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="ekvationssystem" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HyzU8hYZ/width/406/height/280/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="406px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Lös ekvationssystemet du ser i bilden till höger algebraiskt.

{{clear}}

=== Jämför de olika metoderna och öva dig på typtal ===

När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): [[Typtal Ekvationssystem]]

= Python =

<pre>
# Här ska du skriv vad programmet gör

# Matematiklärarna tackar Victor och Sven för grovjobbet till detta program
print("Detta program är skrivet av Victor Axberg och Sven Kvarngren\n")

def getValues():
# Tala om vad händer 9 raderna nedan
print("Ekvation 1:\nAy + Bx + C = 0\n")
A = float(input("Skriv in A-värdet:\n"))
B = float(input("Skriv in B-värdet:\n"))
C = float(input("Skriv in C-värdet:\n"))

print("\nEkvation 2:\nDy + Ex + F = 0\n")
D = float(input("Skriv in D-värdet:\n"))
E = float(input("Skriv in E-värdet:\n"))
F = float(input("Skriv in F-värdet:\n"))

# Förklara de 4 raderna nedan
k1 = -B/A
m1 = -C/A
k2 = -E/D
m2 = -F/D

# Kör funktionen som heter findIntersection med variablerna k1, m1, k2 och m2
findIntersection(k1,m1,k2,m2)

def findIntersection(k1,m1,k2,m2):
# Förklara vad funktionen findIntersection gör
# Förklara även vilken matematisk metod för att lösa ekvationssystem som används
x = (m2-m1)/(k1-k2)
y = k1*x + m1
print("skärningen sker vid: ("+str(x)+", "+str(y)+")")
# Kör funktionen som heter getValues
getValues()
</pre>

= Aktivitet =

=== Välj metod ===

{{uppgruta| '''Reflektera och välj'''

Vilken metod tycker du är bäst, '''additionsmetoden''' eller '''ersättningsmetoden'''?
}}

=== Använd glidare i geoGebra ===

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

{{uppgruta | '''Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem'''

Lös de tre [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/699089#material/12404 uppgifterna] som finns på denna sida i GeoGebraTube.}}

'''Kommentar''': Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

=== Leo och Eva fyller år på samma dag ===

Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år är Leo en tredjedel så gammal som Eva.
Leo faktoriserar sin mormor Ingeborgs ålder och kommer fram till att hon är 2*2*(hans ålder + 10).

Hur gammal är Ingeborg?

{{Lista|

: <math>E=L+40</math>
: <math>3(L+7)= E+7</math>
: <math>2 \cdot 2 \cdot (L+10) =I</math>

: <math>3L+21=E+7</math>
: <math>3L+14=E</math>
: <math>3L+14=L+40</math>
: <math>2L=26</math>
: <math>L=13</math>
: <math>I= 4(13+10)=4 \cdot 23=92</math>
: Svar: Ingeborg är 92 år.
}}

= Lär mer =

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/IKozCZfmsJ4B8tWo?ref{{=}}Link Ekvationssystem]}}<br />
|-
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Ekvationssystem Ekvationssystem] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-ekvationssystem-grafisk-losning Linjära ekvationssystem] }}<br />
|}

{{uppgruta|Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem

[[Media:Veckodiagnos_18.pdf| Veckodiagnos 18 ]]
}}

=== Blandade uppgifter ===

* [http://mattehogskoleprovet.com/wp-content/uploads/2016/04/Ekvationssystem-probleml%C3%B6sning.pdf Ekvationssystem problemlösning]
* Papper som ska delas ut: [http://wikiskola.se/images/Övningshäfte_Algebra%2C_ekvationssystem_och_geometri_fr_Åkes_mappar_-_rätt_svårt.pdf Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt]

=== Ett gammalt prov i algebra och geometri ===

[[Media:Matte_2C_-_Prov_2_Geometri_III_Blad1.pdf|Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem]]

=== Ekvationssystem i GeoGebra ===

Pröva gärna att lösa ekvationssystem i GeoGebra.

Använd kommandot Solve och prova gärna 3D-modulen för treekvationerssystem.

'''Exempel:'''
: Solve({x = 4 x + y , y + x = 2}, {x, y}) yields ( x = -1, y = 3 ), the sole solution of x = 4x + y and y + x = 2

Ovanstående fungerar i graphic mode men om du går in på Classic CAS så kan du lösa ekvationssystem med två ekvationer. https://www.geogebra.org/classic/cas

== Exit ticket ==

<headertabs />

2019-01-21T13:56:49Z

Slouca: /* Uppgifter */

== Rimlighetsbedömningar ==

Rimlighetsbedömningar i den här tekniska meningen handlar om att göra uppskattningar på ett ungefär. Man räknar ofta med tiopotenser och nöjer sig med att hamna i rätt tio-intervall. I den här aktiviteten behöver man inte googla istället gör man rimliga uppskattningar. Poängen är att ett svar i rätt härad ger tillräcklig information i många sammanhang. Ofta kommer man fram till hurvida något är genomförbart eller inte.

=== Exempel ===

{{exruta| Hur många barn föds varje sekund på jorden

Svar:
# Totala befolkningen är 6 miljarder (6 10<sup>9</sup>), livslängden är kanske 60 år.
# Minst 6 10<sup>9</sup> / 60 föds per år
# 6 10<sup>9</sup> / 60 / 365 / 24 / 3600 ≈ 3 per s
# En oberoende uppskattning för att undersöka rimligheten kan göras utifrån den (kända) befolkningsökningen på 1,2 % per år.
}}

=== Uppgifter ===
[[File:Antarctica 6400px from Blue Marble.jpg|thumb|Antarctica 6400px from Blue Marble]]

# Hur många hårstrån har du på huvudet?
# Hur många apelsiner äter vi i Sverige under ett år?
# Hur många caféer finns det i Sverige?
# Hur mycket stiger vattennivån i haven om isen i antarktis smälter?
# Vilken är den genomsnittliga pendlingstiden för en SSIS-student.
# Kan man täcka jorden med tidningar, och hur lång tid tar det?
# Hur många kg bänkpressas varje dag?
# Hur många flygplan flyger i luften just nu?

Dimensionsanalys och rimlighetsbedömningar

2019-01-21T13:00:08Z

Slouca: /* Exempel */

== Rimlighetsbedömningar ==

Rimlighetsbedömningar i den här tekniska meningen handlar om att göra uppskattningar på ett ungefär. Man räknar ofta med tiopotenser och nöjer sig med att hamna i rätt tio-intervall. I den här aktiviteten behöver man inte googla istället gör man rimliga uppskattningar. Poängen är att ett svar i rätt härad ger tillräcklig information i många sammanhang. Ofta kommer man fram till hurvida något är genomförbart eller inte.

=== Exempel ===

Exempel: Hur många barn föds varje
sekund på jorden
• Svar: Totala befolkningen är 6 miljarder
(6x109), livslängden kanske 60 år.
• Minst 6x109/60 föds per år
• 6x109/60/365/24/3600 ≈ 3 per s
• Behöver göra en oberoende
uppskattning för att undersöka
rimligheten
• Kan i detta fall göras utifrån den kända
befolkningsökningen på 1,2 % per år.

=== Uppgifter ===

# Hur många hårstrån har du på huvudet?
# Hur många apelsiner äter vi i Sverige under ett år?
# Hur många caféer finns det i Sverige?
# Hur mycket stiger vattennivån i haven om isen i antarktis smälter?
#Vilken är den genomsnittliga pendlingstiden för en SSIS-student.
# kan man täcka jorden med tidningar, och hur lång tid tar det?

Diskussion:Mittpunktsformeln i Python

2019-01-21T09:43:09Z

Slouca: Skapade sidan med '== Bråkutskrift och hantering av felaktig input == <pre> from fractions import Fraction print('\nCalculate the midpoint of a line :') while True: try: x1 = floa...'

== Bråkutskrift och hantering av felaktig input ==
<pre>
from fractions import Fraction

print('\nCalculate the midpoint of a line :')

while True:
try:
x1 = float(input('The value of x (the first endpoint) '))
break
except ValueError:
print("Enter a valid number")
continue
while True:
try:
y1 = float(input('The value of y (the first endpoint) '))
break
except ValueError:
print("Enter a valid number")
continue
while True:
try:
x2 = float(input('The value of x (the second endpoint) '))
break
except ValueError:
print("Enter a valid number")
continue
while True:
try:
y2 = float(input('The value of y (the second endpoint) '))
break
except ValueError:
print("Enter a valid number")
continue

x_m_point = (x1 + x2)/2
y_m_point = (y1 + y2)/2
print();
print("The midpoint of line is :")
print( "The midpoint's x value is: ",Fraction(x_m_point))
print( "The midpoint's y value is: ",Fraction(y_m_point))
print();

</pre>