Wikiskola - Användarbidrag [sv]

Induktionsbevis

2021-04-27T12:51:33Z

EmilRapp: en till länk

__NOTOC__
=Teori=
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

==Induktionsbevisets mall==

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

=Exempel=
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
#*<math>VL:1</math>
#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
#Induktionsantagande
#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
#Induktionssteg
#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)= \frac{p(p+1)}{2}+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+\frac{2(p+1)}{2}=\frac{(p(p+1))+(2(p+1))}{2}=\frac{(p^2+p)+(2p+2)}{2}=\frac{p^2+3p+2}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}=</math>HL från induktionssteget.
#Avslutning
#*Vi har nu med hjälp av induktion visat att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för alla positiva heltal tal från och med 1.

=Uppgifter=
<br />
=Läs mer=

*[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]
*[https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]
*[https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]
*[https://eddler.se/lektioner/induktionsbevis/ Eddler, Induktionsbevis]
*[https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]
<headertabs />

Användare:EmilRapp

2021-04-26T12:52:00Z

EmilRapp: /* Artiklar under konstruktion */

Lärarstudent på KTH, inom matematik, teknik och programmering.

Gjorde VFU på SSIS våren 2021.

==Artiklar under konstruktion==

*[[Användare:EmilRapp/Testsida|Testsida]]

Användare:EmilRapp/Induktionsbevis

2021-04-26T12:51:45Z

EmilRapp: EmilRapp flyttade sidan Användare:EmilRapp/Induktionsbevis till Induktionsbevis: Sida nästan klar, saknas bara enstaka uppgifter

#OMDIRIGERING [[Induktionsbevis]]

Induktionsbevis

2021-04-26T12:51:45Z

EmilRapp: EmilRapp flyttade sidan Användare:EmilRapp/Induktionsbevis till Induktionsbevis: Sida nästan klar, saknas bara enstaka uppgifter

__NOTOC__
=Teori=
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

==Induktionsbevisets mall==

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

=Exempel=
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
#*<math>VL:1</math>
#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
#Induktionsantagande
#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
#Induktionssteg
#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)= \frac{p(p+1)}{2}+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+\frac{2(p+1)}{2}=\frac{(p(p+1))+(2(p+1))}{2}=\frac{(p^2+p)+(2p+2)}{2}=\frac{p^2+3p+2}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}=</math>HL från induktionssteget.
#Avslutning
#*Vi har nu med hjälp av induktion visat att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för alla positiva heltal tal från och med 1.

=Uppgifter=

=Läs mer=

* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]
* [https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]
* [https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]
* [https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]
<headertabs />

Randvinklar och medelpunktsvinklar

2021-04-26T10:49:07Z

EmilRapp: Tillbaka pdfer som råkade raderas

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | '''Randvinklar och medelpunktsvinklar'''
Centralt innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om likformighet, kongruens och '''vinklar'''.
}}

{{defruta| '''Medelpunktsvinkel'''
En medelpunktsvinkel är den vinkel som bildas när man drar två radier i en cirkel.

'''Randvinkel'''

En randvinkel är den vinkel som bildas i den punkt där två kordor i en cirkel möts.

Medelpunktsvinkeln är den stora vinkeln i randvinkelsatsen och randvinkeln är den som är hälften så stor.
}}

===Randvinkelsatsen===

{{#ev:youtube|-cILN62YXyU|400|right|Här kommer ett riktigt bra '''bevis''' av randvinkelsatsen. Beviset består av tre delar så det är lämpligt att du ser filmen i din egen takt. Anteckna och rita gärna samtidigt så lär du dig bättre.}}
<html>
<iframe scrolling="no" title="Randvinkelsatsen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yQaxaGhH/width/561/height/420/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="561px" height="420px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
<br />
Studera vad som händer om medelpunkten hamnar utanför randvinkeln.

För vilka värden på medelpunktvinkeln gäller randvinkelsatsen? I tytpiska problem ligger medelpunktsvinkeln under 180<sup>o</sup> men den fungerar faktiskt för värden över det.
{{clear}}
{{defruta|'''Cyklisk fyrhörning'''

[[Fil:Inskriven-fyrhörning.svg|200px|höger]]
En cyklisk fyrhörning är en fyrhörning vars hörn ligger på en cirkel.

För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader
Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel.

''{{svwp|Cyklisk_fyrhörning}}''
}}
{{clear}}

=Exempel=

=== Beräkna vinklarna x och y. Motivera för full poäng. ===
<br />
[[Fil:Exempel randvinkelsatsen.JPG|600px|vänster]]
Vi vet att den lilla triangeln är likbent. Därför kan vi räkna ut vinkeln x följande: <math>x=180°-2\cdot37°=106°</math>
<br />
Sedan räknar vi ut y med hjälp av Randvinkelsatsen. <math>y=\frac{x}{2}=\frac{106°}{2}=53°</math>
<br />
Tillslut har vi alltså svaren <math>x=106°</math> och <math>y=53°</math>

<br />
<pdf>Fil:Exempel_Randvinklar.pdf</pdf>
<br />
<pdf>Fil:Öva_randvinklar_Lösningar.pdf</pdf>
<br />
<pdf>Fil:Sista_på_testprovet.pdf</pdf>
<br />
=Genomgång=
<br />
<pdf>Fil:Randvinklar_och_medelpunktvinklar.pdf</pdf>
<br />
<pdf>Fil:Randvinklar_exempel.pdf</pdf>
<br />
=Aktivitet=

Detta är en lämplig inledning på en lång lektion, så kan man gå igenom teorin efter halva.

{{uppgruta|
[[Fil:Hipocrat arcs.svg|right|thumb|200px|Partiell lösning av Hippokrates av Chios. I denna figur är arean av det skuggade området lika med arean av triangeln ABC. Se [https://sv.wikipedia.org/wiki/Cirkelns_kvadratur cirkelns kvadratur]]]

Bevisa detta algebraiskt.

Men testa gärna först i GeoGebra.
}}
{{clear}}

=Lär mer=

{| align="right"
|-
|{{sway | [https://sway.com/LCZb8JeR7rwJYe8r?ref{{=}}Link Randvinklar och medelpunktsvinklar]}}<br />
|-
|{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/1 Topptriangelsatsen och transversalsatsen - del 1] }}<br />
|-
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/randvinkelsatsen Randvinkelsatsen] }}<br />
|}

{{khanruta|[http://www.khanacademy.org/exercise/inscribed_angles_1 för Randvinkelsatsenm]}}

{{clear}}

==Annorlunda bevis==

<html>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/MyzGVbCHh5M" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</html>

==Exit ticket==

<headertabs />

Randvinklar och medelpunktsvinklar

2021-04-26T10:46:19Z

EmilRapp: Fixade exempeluppgiften

__NOTOC__

=Teori=

{{malruta | '''Randvinklar och medelpunktsvinklar'''
Centralt innehåll:
*Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om likformighet, kongruens och '''vinklar'''.
}}

{{defruta| '''Medelpunktsvinkel'''
En medelpunktsvinkel är den vinkel som bildas när man drar två radier i en cirkel.

'''Randvinkel'''

En randvinkel är den vinkel som bildas i den punkt där två kordor i en cirkel möts.

Medelpunktsvinkeln är den stora vinkeln i randvinkelsatsen och randvinkeln är den som är hälften så stor.
}}

===Randvinkelsatsen===

{{#ev:youtube|-cILN62YXyU|400|right|Här kommer ett riktigt bra '''bevis''' av randvinkelsatsen. Beviset består av tre delar så det är lämpligt att du ser filmen i din egen takt. Anteckna och rita gärna samtidigt så lär du dig bättre.}}
<html>
<iframe scrolling="no" title="Randvinkelsatsen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yQaxaGhH/width/561/height/420/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="561px" height="420px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
<br />
Studera vad som händer om medelpunkten hamnar utanför randvinkeln.

För vilka värden på medelpunktvinkeln gäller randvinkelsatsen? I tytpiska problem ligger medelpunktsvinkeln under 180<sup>o</sup> men den fungerar faktiskt för värden över det.
{{clear}}
{{defruta|'''Cyklisk fyrhörning'''

[[Fil:Inskriven-fyrhörning.svg|200px|höger]]
En cyklisk fyrhörning är en fyrhörning vars hörn ligger på en cirkel.

För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader
Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel.

''{{svwp|Cyklisk_fyrhörning}}''
}}
{{clear}}

=Exempel=

=== Beräkna vinklarna x och y. Motivera för full poäng. ===
<br />
[[Fil:Exempel randvinkelsatsen.JPG|600px|vänster]]
Vi vet att den lilla triangeln är likbent. Därför kan vi räkna ut vinkeln x följande: <math>x=180°-2\cdot37°=106°</math>
<br />
Sedan räknar vi ut y med hjälp av Randvinkelsatsen. <math>y=\frac{x}{2}=\frac{106°}{2}=53°</math>
<br />
Tillslut har vi alltså svaren <math>x=106°</math> och <math>y=53°</math>

=Genomgång=

=Aktivitet=

Detta är en lämplig inledning på en lång lektion, så kan man gå igenom teorin efter halva.

{{uppgruta|
[[Fil:Hipocrat arcs.svg|right|thumb|200px|Partiell lösning av Hippokrates av Chios. I denna figur är arean av det skuggade området lika med arean av triangeln ABC. Se [https://sv.wikipedia.org/wiki/Cirkelns_kvadratur cirkelns kvadratur]]]

Bevisa detta algebraiskt.

Men testa gärna först i GeoGebra.
}}
{{clear}}

=Lär mer=

{| align="right"
|-
|{{sway | [https://sway.com/LCZb8JeR7rwJYe8r?ref{{=}}Link Randvinklar och medelpunktsvinklar]}}<br />
|-
|{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/1 Topptriangelsatsen och transversalsatsen - del 1] }}<br />
|-
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/randvinkelsatsen Randvinkelsatsen] }}<br />
|}

{{khanruta|[http://www.khanacademy.org/exercise/inscribed_angles_1 för Randvinkelsatsenm]}}

{{clear}}

==Annorlunda bevis==

<html>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/MyzGVbCHh5M" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</html>

==Exit ticket==

<headertabs />

Fil:Exempel randvinkelsatsen.JPG

2021-04-26T10:38:38Z

EmilRapp: EmilRapp laddade upp en ny version av Fil:Exempel randvinkelsatsen.JPG

Diskussion:Randvinklar och medelpunktsvinklar

2021-04-26T09:32:14Z

EmilRapp: /* Fel på ett exempel */ nytt avsnitt

==== Ett ====

https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates

==== Två ====

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yxFnejuK/width/616/height/555/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="616px" height="555px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

'''Bevis'''

Månskärans area är '''2A''' + '''B'''. Men '''B''' + '''C''' har samma area som <math>\Delta ABC</math> så om '''2A''' = '''C''' har månskaäran samma area som triangeln <math>\Delta ABC</math>.

Hypotenusan i <math>\Delta ABC</math> = <math>\sqrt{2} \cdot a</math> = stora inskrivna kvadratens sida. Den kvadratens area är alltså dubbelt så stor som den mindre inskrivna kvadratens area. Samma förhållande gäller även för cirklarna och cirkelsegmenten och av det följer att '''2A''' = '''C''' vilket skulle bevisas.

==== Tre ====

<html>
<iframe scrolling="no" title="the lune of Hippocrates" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dfUe7PnA/width/800/height/450/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/true/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

== Fel på ett exempel ==

Det första exemplet där man ska bestämma vinklarna x och y är fel i lösningen. Jag kan åtgärda senare om jag minns. /EmilRapp 26 april 2021 kl. 11.32 (CEST)

Induktionsbevis

2021-04-23T16:20:53Z

EmilRapp: /* Induktionsbevisets mall */

__NOTOC__
=Teori=
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

==Induktionsbevisets mall==

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

=Exempel=
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
#*<math>VL:1</math>
#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
#Induktionsantagande
#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
#Induktionssteg
#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)= \frac{p(p+1)}{2}+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+\frac{2(p+1)}{2}=\frac{(p(p+1))+(2(p+1))}{2}=\frac{(p^2+p)+(2p+2)}{2}=\frac{p^2+3p+2}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}=</math>HL från induktionssteget.
#Avslutning
#*Vi har nu med hjälp av induktion visat att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för alla positiva heltal tal från och med 1.

=Uppgifter=

=Läs mer=

* [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis Matteboken, Matte 5]
* [https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/induktionsbevis Matteboken, Matte specialisering]
* [https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion Wikipedia, Matematisk induktion]
* [https://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1624/CMAST/induction.pdf KTH, exempel med lösning]
<headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-23T16:11:54Z

EmilRapp: Exemplet klart, kan behövas formatering

Induktionsbevis

2021-04-23T12:42:05Z

EmilRapp: Mer jobb på exempel

__NOTOC__
=Teori=
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

==Induktionsbevisets mall==

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

=Exempel=
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
#*<math>VL:1</math>
#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
#Induktionsantagande
#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
#Induktionssteg
#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}</math>
#*Vi kan se att vänsterledet är nästan samma sak som vänsterledet från antagandet, det skiljer sig bara på den sista termen. Eftersom vi antagit att ekvationen stämmer för <math>n=p</math> så kan vi använda antagandet i nuvarande steget.
#*<math>1+2+3+\cdots+p+(p+1) =</math> (HL från antagandet)<math>+(p+1)=\frac{p(p+1)}{2}+(p+1)</math>
#Avslutning

=Uppgifter=

=Läs mer=

<headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-23T12:29:20Z

EmilRapp: Lite längre på exemplet

__NOTOC__
=Teori=
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

==Induktionsbevisets mall==

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

=Exempel=
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
#*Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
#*Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
#*<math>VL:1</math>
#*<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
#*Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.
#Induktionsantagande
#*Vi antar att <math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> stämmer för fallet där <math>n=p</math>.
#*Alltså att <math>1+2+3+\cdots+p = \frac{p(p+1)}{2}</math>
#Induktionssteg
#*Nu vill vi se om vi med hjälp av föregående steget kan visa att ekvationen stämmer när <math>n=p+1</math>
#*<math>VL: 1+2+3+\cdots+p+(p+1)</math>
#*<math>HL: \frac{(p+1)((p+1)+1)}{2}=</math>
#Avslutning

=Uppgifter=

=Läs mer=

<headertabs />

Mall:Användarsidobox

2021-04-22T10:48:13Z

EmilRapp: EmilRapp flyttade sidan Mall:Användarsidobox till Användare:EmilRapp/Användarsidobox: Tar tillbaka den

#OMDIRIGERING [[Användare:EmilRapp/Användarsidobox]]

Användare:EmilRapp/Användarsidobox

2021-04-22T10:48:13Z

EmilRapp: EmilRapp flyttade sidan Mall:Användarsidobox till Användare:EmilRapp/Användarsidobox: Tar tillbaka den

<includeonly>{{Användarsidobox
|titel = {{#if:{{{namn|}}}|{{{namn}}}|{{PAGENAMEBASE}}}}
|bild = {{{bild|}}}
|bildtext = {{{bildtext|}}}
|över = {{#if:{{{betydelse|}}}|<small style="font-style: normal;">Betydelse:</small><br />{{{betydelse}}}|}}
|överstil = font-size: 12px; font-style: italic;
|rubrikstil = background-color: #DDF;
|etikett1 = Uttal
|innehåll1 = {{{uttal|}}}
|etikett2 = Kön
|innehåll2 = {{{kön|}}}
|etikett3 = Språk
|innehåll3 = {{{språk|}}}
|rubrik5 = Ursprung
|etikett6 = Språk
|innehåll6 = {{{ursprung-språk|}}}
|etikett7 = Namn/ord
|innehåll7 = {{{ursprung|}}}
|rubrik10 = Namnsdagar
|etikett11 = Sverige
|innehåll11 = {{{namnsdag-sverige|}}}
|etikett12 = Finland
|innehåll12 = {{{namnsdag-finland|}}}
|under = {{#if:{{{fotnot|}}}|<small>{{{fotnot}}}</small>|}}
}}</includeonly>

Användare:EmilRapp

2021-04-22T10:46:45Z

EmilRapp:

Lärarstudent på KTH, inom matematik, teknik och programmering.

Gjorde VFU på SSIS våren 2021.

==Artiklar under konstruktion==

*[[Användare:EmilRapp/Induktionsbevis|Induktionsbevis]]
*[[Användare:EmilRapp/Testsida|Testsida]]

Användare:EmilRapp/Användarsidobox

2021-04-22T10:44:58Z

EmilRapp: Skapade sidan med '<includeonly>{{Användarsidobox |titel = {{#if:{{{namn|}}}|{{{namn}}}|{{PAGENAMEBASE}}}} |bild = {{{bild|}}} |bildtext = {{{bildtext|}}} |över = {{#if:{{{b...'

Användare:EmilRapp

2021-04-22T10:43:32Z

EmilRapp:

Användare:EmilRapp/Mall:Användarsidobox/sandbox

2021-04-22T10:38:19Z

EmilRapp: Skapade sidan med '== Testar mallen =='

== Testar mallen ==

Användare:EmilRapp/Mall:Användarsidobox

2021-04-22T10:32:07Z

EmilRapp: namnbyte

Användare:EmilRapp/Testsida

2021-04-22T10:28:09Z

EmilRapp: skapar personlig testsida

Här testar jag lite saker med mallar och annat.

Användare:EmilRapp

2021-04-22T10:27:19Z

EmilRapp:

Användare:EmilRapp/Mall:Användarsidobox

2021-04-22T10:26:42Z

EmilRapp: Kopia från "Infobox namn" från Wikipedia

<includeonly>{{Faktamall
|titel = {{#if:{{{namn|}}}|{{{namn}}}|{{PAGENAMEBASE}}}}
|bild = {{{bild|}}}
|bildtext = {{{bildtext|}}}
|över = {{#if:{{{betydelse|}}}|<small style="font-style: normal;">Betydelse:</small><br />{{{betydelse}}}|}}
|överstil = font-size: 12px; font-style: italic;
|rubrikstil = background-color: #DDF;
|etikett1 = Uttal
|innehåll1 = {{{uttal|}}}
|etikett2 = Kön
|innehåll2 = {{{kön|}}}
|etikett3 = Språk
|innehåll3 = {{{språk|}}}
|rubrik5 = Ursprung
|etikett6 = Språk
|innehåll6 = {{{ursprung-språk|}}}
|etikett7 = Namn/ord
|innehåll7 = {{{ursprung|}}}
|rubrik10 = Namnsdagar
|etikett11 = Sverige
|innehåll11 = {{{namnsdag-sverige|}}}
|etikett12 = Finland
|innehåll12 = {{{namnsdag-finland|}}}
|under = {{#if:{{{fotnot|}}}|<small>{{{fotnot}}}</small>|}}
}}</includeonly>

Induktionsbevis

2021-04-22T10:15:43Z

EmilRapp: Fix i struktur

Induktionsbevis

2021-04-22T10:13:47Z

EmilRapp: Fixade navigationstabbarna

Induktionsbevis

2021-04-22T08:36:52Z

EmilRapp: /* Exempel */ Induktionsbas klar

==Teori==
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

===Induktionsbevisets mall===

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

==Exempel==
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

#Induktionsbas
##Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>.
##Detta gör man genom att helt enkelt sätta in värdet 1 i ekvationen. Ofta kan det för enkelhetens skull vara bra att dela upp högerled (HL) och vänsterled (VL) var för sig, för att sedan jämföra dem.
##<math>VL:1</math>
##<math>HL:\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(2)}{2}=\frac{2}{2}=1</math>
##Vi kan konstatera att <math>HL=VL</math>. Därmed har vi ett konstaterat basfall där antagandet stämmer.

#Induktionsantagande
#Induktionssteg
#Avslutning

==Uppgifter==

==Läs mer==
<headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-21T09:56:26Z

EmilRapp: /* Exempel */ Nowiki tag fix

==Teori==
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

===Induktionsbevisets mall===

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

==Exempel==
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

# Induktionsbas Vi visar först att satsen gäller för <math>n=1</math>
# Induktionsantagande <br />
# Induktionssteg <br />
# Avslutning <br />

==Uppgifter==

==Läs mer==
<br /><headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-21T09:56:04Z

EmilRapp: /* Exempel */ Kommit en bit på vägen med exempel på induktionsbeviset

==Teori==
Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med [[Talföljd|talföljder]], alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

===Induktionsbevisets mall===

#Induktionsbas
#*Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
#*Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
#*Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
#Induktionsantagande
#*Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
#*Ofta innehåller ekvationen ''n'' eller ''x,'' då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för ''n=p''"
#Induktionssteg
#*Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till ''n=p+1.'' På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
#*Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
#*Se delen Exempel för en tydligare förklaring.
#Avslutning
#*Här behöver man avsluta med en sammanfattning av vad man har bevisat, för vilka tal det är bevisat och att det gäller pga. induktionen.

==Exempel==
Det första som behövs för är en sats eller ett påstående man vill bevisa. För detta exempel har vi följande påstående:<br /><math>1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Alltså, summan av alla positiva tal upp till talet n, kan skrivas som talet n gånger n+1, delat på talet 2. Vi vill nu se om detta stämmer för alla positiva tal från och med 1. Om vi bevisar detta i steg enligt mallen ovan, blir det som följer.

# Induktionsbas Vi visar först att satsen gäller för <nowiki><math>n=1</math></nowiki>
# Induktionsantagande <br />
# Induktionssteg <br />
# Avslutning <br />

==Uppgifter==

==Läs mer==
<br /><headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-21T09:36:03Z

EmilRapp: /* Induktionsbevisets mall */

Induktionsbevis

2021-04-21T09:33:59Z

EmilRapp: Första grund lagd för Teori-delen

Användare:EmilRapp

2021-04-21T09:15:35Z

EmilRapp: Länk till sida för att testa att göra egen mall

Induktionsbevis

2021-04-21T08:45:42Z

EmilRapp:

==Teori==

==Exempel==

==Uppgifter==

==Läs mer==
<br /><headertabs />

Induktionsbevis

2021-04-21T08:45:14Z

EmilRapp: Ram för sidan skapad

== Teori ==

== Exempel ==

== Uppgifter ==

== Läs mer ==

<headertabs />

Användare:EmilRapp

2021-04-21T08:43:22Z

EmilRapp: Lade till egen rubrik för hantering av artiklar jag skriver

Lärarstudent på KTH, inom matematik, teknik och programmering.

Gjorde VFU på SSIS våren 2021.

== Artiklar under konstruktion ==

* [[Användare:EmilRapp/Induktionsbevis|Induktionsbevis]]

Programmering i Ma4

2021-04-21T08:11:53Z

EmilRapp: Struktur och infotext

Här kommer några uppgifter med programmering för kursen Matematik 4.

* [[Jämföra integraler numeriskt]]

Användare:EmilRapp

2021-04-21T08:09:26Z

EmilRapp: Skapade sidan med 'Lärarstudent på KTH, inom matematik, teknik och programmering. Gjorde VFU på SSIS våren 2021.'

Lärarstudent på KTH, inom matematik, teknik och programmering.

Gjorde VFU på SSIS våren 2021.

Elektriska motorer och generatorer

2021-04-21T07:46:45Z

EmilRapp: Bytte ut en tabellbild mot en riktig och kopierbar tabell

__NOTOC__
=Teori=
==Mål==

{{#ev:youtube|LAtPHANEfQo|400|right|DC Motor, How it works?}}
{{#ev:youtube|bCEiOnuODac|400|right|Brushless DC Motor, How it works ?}}
{{#ev:youtube|eyqwLiowZiU|400|right|How does a Stepper Motor work ?}}
{{#ev:youtube|quABfe4Ev3s|400|right|Why 3 Phase AC instead of Single Phase???}}
{{#ev:youtube|AQqyGNOP_3o|400|right|How does an Induction Motor work ?}}
{{#ev:youtube|hg3TIFIxWCo|400|right|Technical animation: How a Servo Motor works}}

Vi kommer att se filmer och läsa texter för att förstå hur elektriska motorer fungerar. Därefter gör vi en jämförelsetabell och vi avslutar med ett Quiz.

==Motorer och generatorer==

===Obligatorisk läsning===

#[http://www.energihandbok.se/elmotorer-teknik-och-funktion/ Jernkontoret]
#En sammanfattning om [[olika typer av elektriska motorer]]

===Wikipediaartiklar===

*{{svwp|Likströmsmotor}} läs även de länkade sidorna
*[http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/electricmotors.html Electric motors and generators]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_motor Electric motor]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_generator Electric generator]

===LRF Handbok===

*[https://www.lrf.se/globalassets/dokument/foretagande/vektyg/mallar/handbok-om-energieffektivisering/del-1-grunderna-i-energieffektivisering.pdf Del 1. Grunderna i energieffektivisering] pdf
*[https://www.lrf.se/globalassets/dokument/foretagande/vektyg/mallar/handbok-om-energieffektivisering/del-2-energi.pdf Del 2 Energi] pdf
*[https://www.lrf.se/globalassets/dokument/foretagande/vektyg/mallar/handbok-om-energieffektivisering/del-3-elmotorer-och-elektricitet.pdf Handbok del 3 Elmotor och elektricitet lite grunder - LRF] pdf

===Fler artiklar===

#[http://www.energimyndigheten.se/tester/tester-a-o/elmotorer-15-kw/ Energimyndigheten] test mm
#[https://sv.wikipedia.org/wiki/Elkraftsystem Elkraftsystem] mm elkraftteknik, fler länkar finns.
#[https://www.fs.isy.liu.se/Edu/Courses/TMEI01/oh5.pdf Elkraftteknik - Likströmsmaskinen], Linköpings universitet.
#[http://www.etn.se/index.php/teknik/49634-hardvarustyrd-motor-ger-tajtare-reglering.html Hårdvarustyrd motor ger tajtare reglering]
#[https://www.bjorksforlag.se/pdf/ED.pdf Elektriska drivsystem för maskiningenjörer] - (fel på pdf, sidor saknas?)
#[https://www.iea.lth.se/eief10/lectures/F1.pdf Introduktion till Elektriska Drivsystem]
#[http://www.elmotorcentralen.se/Services/DidYouKnow Elmotorcentralen, Mer rolig fakta]
#[https://www.nyteknik.se/automation/hogre-krav-pa-elmotorer-6419618 Högre krav på elmotorer, Ny Teknik]
#[http://wiki.math.se/wikis/forberedandefysik/index.php/4.3_Elektrisk_energi_och_effekt Elektrisk energi och effekt, Math.se]
#[http://www.bevi.se/download/ny-verkningsgradsstandard-elmotorer.pdf Ny verkningsgradsstandard för elmotorer (EKO-direktivet)]
#[https://www.motormagasinet.se/article/view/627323/den_elektriska_bilen_lagrar_energi_i_karossen_med_hjalp_av_kolfiber?ref=rss Den ”elektriska” bilen lagrar energi i karossen med hjälp av kolfiber, MotorMagasinet]
#[https://elmotorcykel.frejfaxe.se/elmotorn-vida-overlagsen-forbranningsmotorn/ Elmotorn vida överlägsen förbränningsmotorn]
#[https://energiradgivningen.se/system/tdf/valj_en_hogeffektiv_elmotor.pdf?file=1 Välj en högeffektiv elmotor]
#[http://emobility.se/startsida/elfordon/elbilens-andra-fordelar/ Elbilens för- och nackdelar]

===Fler filmer===

[https://www.youtube.com/watch?v=JPn5Ou-N0b0&list=PLuUdFsbOK_8qVROrfl2M2WSV2xAz-ABVU Spellista från Learn Engineering – Electrical Machines]

===Fysik 2===

För att förstå hur elektriska motorer fungerar behöver man den fysik som ges i Fysik 2. Nedan finns en kortfattad sammanfattning.

*[[Kraften_på_ledare_i_magnetfält|Kraften på en ledare i ett magnetfält]]
*Sammanfattning [[Induktion]]

{{clear}}

=Uppgift 1- Skapa en jämförelsetabell=
{| class="wikitable"
!
!Funktionssätt
!Pris
!Effekt
!Verkningsgrad
!
!
|-
|Likströmsmotorn
|
|
|
|
|
|
|-
|Växelströmsmotorn
|
|
|
|
|
|
|-
|Stegmotorn
|
|
|
|
|
|
|-
|Servomotorn
|
|
|
|
|
|
|}
{{uppgruta| Skapa en jämförelsetabell över de vanligaste motorerna:

* Likströmsmotorn
* Växelströmsmotorn
* Stegmotorn
* Servomotor

Du hittar information i artiklarna. Ett exempel på tabell ser du ovan. Fyll gärna på med fler egenskaper.
}}

=Uppgift 2 - Redigera en motorbeskrivning=

SSIS-eleverna TE17CD skapade tillsammans '''[[elmotorguiden]]'''. Ni som skrivit sidor i materialdatabasen vet vad det handlar om. Informatinen finns på olika ställen på internet. Det vi ska gjorde är att sammanställa informationen på ett lättfattligt sätt så den passar en konstruktör. Det innebär att vi fokuserar på '''pris''', '''prestanda''' och '''hållbarhet'''. Det här var ett grupparbete som bedömdes i grupp och enskilt.

==Din uppgift==

Ovan ser ni en tidigare uppgift. Er uppgift är att ta vid och redigera texterna. Ni kommer snart att få inloggningsuppgifter men er uppgift nu är att spara länkar och radanvisningar till textavsnitt som ni tycker behöver redigeras. Ni kan göra flera olika typer av redigeringar:

*skrivfel
*språkliga
*faktafel
*öka läsbarhet och förståelse
*lägg till saknad information
*ta bort irrelevant information

=Laborationer=

[[Att mäta spänning ström och resistans i elektriska kretsar]]

[[Verkningsgrad för DC-motor - generator]]

[[Laboration Motorstyrning]]

GeoGebraBook: [https://www.geogebra.org/m/DsCfTEex Electric motors]

=Teslas motorer=

Om [[Teslas_induktionsmotor|Teslas induktionsmotor]] som sitter i Teslabilarna

[[Elon_Musk_Physics|Elon Musk Physics]]

{{clear}}

=Hemtenta=

{{uppgruta|'''Hemtenta'''

Använd artiklarna överst på sidan samt elmotorguiden. Skriv en uppsats och besvara följande frågor:

# Hur går man tillväga för att välja elmotor i olika applikationer. Exempelvis robotarm, sladdlös borrmaskin och hiss.
# Hur kan man som konstruktör förbättra klimat- och miljöpåverkan i elektriska system?
# Välj några artiklar som hänger ihop och sammanfatta det gemensamma.
# Källkritisk analys

Använde fria bilder och källor. Skriv en till två A4 och lämna in pdf på Canvas. Du har '''en vecka''' på dig. Artiklarna finns överst på sidan. Det är en '''individuell''' uppgift.
}}

==IMRAD==

Genomgång som visar hur man kan strukturera om en text.

Tillfälle till förbättring.

<headertabs />

Wikiskola:Användare

2021-04-21T07:32:09Z

EmilRapp: Tog bort rysk spam-text