Wikiskola - Användarbidrag [sv]

Vektorer

2018-10-17T07:41:23Z

18alli: /* Procedurer */

= Teori =

{{malruta | Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett
koordinatsystem.
}}

=== Vektorer ===
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

''Texten från Wikipedia''
{{clear}}

=== Representation av vektorer ===
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer i ett ''n''-dimensionellt rum, '''R'''<sup>n</sup>, kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>
Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som
:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>

I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>
eller
:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>

En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>

''Texten från Wikipedia - Vektor''

==== Vektorer mellan två punkter ====
[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.

=== Vektorers egenskaper? ===

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.

Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och betecknas

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="460px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |'''Motsatta vektorer''':
Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. <math> \mathbf{- a} </math> är motsatt <math> \mathbf{a} </math>
}}
{{sats| '''Sats''':

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.
}}

{{defruta |'''Storleken av en vektor''':
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
}}
{{clear}}

=== Längden av en vektor ===

Längden av en vektor skrivs ofta med beloppstecken som <math> |AB| </math>.

Längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

=== Vektorer i koordinatsystem ===
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]

{{defruta| '''Enhetsvektorer'''

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.
}}

{{clear}}

= Exempel =

{{exruta| '''Längden av en vektor'''

[[Fil:Vektor AB längd.PNG|200px|höger]]

Vad är längden av vektor <math>u</math>

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

: <math> |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} </math>
}}

= Aktivitet =

=== Mini-GeoGebra-lektioner ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eJnukkc3/width/873/height/512/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="873px" height="512px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

=== Begrepp ===

{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''

# Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
# Hur lång är en enhetsvektor?
# För en tvådimensionell vektor <math>v</math> gäller <math>v =(4,5)</math>. Beräkna <math>|v|</math>.

CC [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer/uppgifter#/exercises/9137/9138 Matteboken.se]
|
# Riktning
# Enhetsvektorn har längden 1
# <math>|v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41}</math>
}}
{{clear}}

=== Procedurer ===

{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''

[[Fil:Vektor_u.PNG|200px|höger]]

# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Vilka av följande vektorer är paralella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math>
# Vilka av vektorerna är likadana?

{{clear}}
|
: 1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.

: <math> |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 </math>

Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.

: 2, Längden är <math> \sqrt{58} </math>

3, 4) TBD
}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
|}

=== Tillämpningar i massor ===

'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

[http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh TED Lessons - What is a vector]

'''Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?'''

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara [http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem trefas] elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

'''Den vetgirige''' tar en titt på [http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve engelska] och [http://sv.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier-kurva svenska] wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].

== Exit ticket ==

Exit ticket: Vektorers representation

<headertabs />

Vektorer

2018-10-17T07:40:47Z

18alli: /* Procedurer */

= Teori =

{{malruta | Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett
koordinatsystem.
}}

=== Vektorer ===
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

''Texten från Wikipedia''
{{clear}}

=== Representation av vektorer ===
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer i ett ''n''-dimensionellt rum, '''R'''<sup>n</sup>, kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>
Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som
:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>

I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>
eller
:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>

En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>

''Texten från Wikipedia - Vektor''

==== Vektorer mellan två punkter ====
[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.

=== Vektorers egenskaper? ===

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.

Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och betecknas

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="460px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |'''Motsatta vektorer''':
Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. <math> \mathbf{- a} </math> är motsatt <math> \mathbf{a} </math>
}}
{{sats| '''Sats''':

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.
}}

{{defruta |'''Storleken av en vektor''':
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
}}
{{clear}}

=== Längden av en vektor ===

Längden av en vektor skrivs ofta med beloppstecken som <math> |AB| </math>.

Längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

=== Vektorer i koordinatsystem ===
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]

{{defruta| '''Enhetsvektorer'''

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.
}}

{{clear}}

= Exempel =

{{exruta| '''Längden av en vektor'''

[[Fil:Vektor AB längd.PNG|200px|höger]]

Vad är längden av vektor <math>u</math>

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

: <math> |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} </math>
}}

= Aktivitet =

=== Mini-GeoGebra-lektioner ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eJnukkc3/width/873/height/512/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="873px" height="512px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

=== Begrepp ===

{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''

# Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
# Hur lång är en enhetsvektor?
# För en tvådimensionell vektor <math>v</math> gäller <math>v =(4,5)</math>. Beräkna <math>|v|</math>.

CC [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer/uppgifter#/exercises/9137/9138 Matteboken.se]
|
# Riktning
# Enhetsvektorn har längden 1
# <math>|v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41}</math>
}}
{{clear}}

=== Procedurer ===

{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''

[[Fil:Vektor_u.PNG|200px|höger]]

# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Vilka av följande vektorer är paralella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math>
# Vilka av vektorerna är likadana?

{{clear}}
|
: 1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.

: <math> |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 </math>

Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.

: 2, Länden är <math> \sqrt{58} </math>

3, 4) TBD
}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
|}

=== Tillämpningar i massor ===

'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

[http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh TED Lessons - What is a vector]

'''Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?'''

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara [http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem trefas] elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

'''Den vetgirige''' tar en titt på [http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve engelska] och [http://sv.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier-kurva svenska] wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].

== Exit ticket ==

Exit ticket: Vektorers representation

<headertabs />