Vektorer

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
[redigera]
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett koordinatsystem.


Användningen av vektorer

Vektor-beteckningar.png

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Texten från Wikipedia

Representation av vektorer

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3)

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

[math]\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)[/math]

Talen i listan kallas också vektorns komponenter. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

[math]\mathbf{a} = (2,\ 3)[/math]

Texten från Wikipedia - Vektor

Vektorer mellan två punkter

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna [math]A[/math] och [math]B[/math] betecknas [math]\overrightarrow{AB}.[/math]

Likadana, parallella och motsatta vektorer

Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är parallella om de har samma eller motsatt riktning.


Definition
Motsatta vektorer:

Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. [math] \mathbf{- a} [/math] är motsatt [math] \mathbf{a} [/math]

Sats


Sats:

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.


Längden av en vektor

Vektor AB.PNG

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och skrivs ofta med beloppstecken som [math] |\overrightarrow{AB}| [/math].

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

Viktigt
Storleken av en vektor:

Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

vektorns längd är [math] \sqrt{(längden~i~x-led)^2+ (längden~i~y-led)^2} [/math]

I bilden till höger är vektorns längd : vektorns längd är [math] \sqrt{5^2+ 2^2} [/math]

Vektorer i koordinatsystem

En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k
Definition
Enhetsvektorer

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.


Exempel
Längden av en vektor
Vektor AB längd.PNG

Vad är längden av vektor [math]u[/math]

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

[math] |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} [/math]


Mini-GeoGebra-lektioner

Begrepp

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Kontrollfrågor
  1. Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
  2. Hur lång är en enhetsvektor?
  3. För en tvådimensionell vektor [math]v[/math] gäller [math]v =(4,5)[/math]. Beräkna [math]|v|[/math].

CC Matteboken.se

Facit: (klicka expandera till höger)

  1. Riktning
  2. Enhetsvektorn har längden 1
  3. [math]|v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41}[/math]


Procedurer

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Längden av en skalärprodukt
Vektor u.PNG
  1. Vad är längden av [math]2.5 \cdot u[/math] (se figur)
  2. Hur lång är vektorn [math](7,-3)[/math]?
  3. Vilka av följande vektorer är paralella? [math](3,4), (4,5), (6,8)[/math], vektorn från [math](3,3)[/math] till [math](6,7)[/math]
  4. Vilka av vektorerna är likadana?

Facit: (klicka expandera till höger)

1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.
[math] |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 [/math]

Längden av [math]2.5 \cdot u[/math] är således 12.5.

2, Längden är [math] \sqrt{58} [/math]
3, 4) TBD



Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Vektor


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Vektor


Matteboken.png
Läs om Vektorer


Vektorer i fler dimensioner

I ℝ3 identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

[math]\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)[/math]

eller

[math]\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)[/math]

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

[math]\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} [/math]

[math]\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ][/math]

Tillämpningar i massor

Utforska vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

TED Lessons - What is a vector

Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara trefas elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

Den vetgirige tar en titt på engelska och svenska wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på fysiksidan.

Exit ticket

Exit ticket: Vektorers representation