Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av [math]\displaystyle{ e^x }[/math] är[math]\displaystyle{ e^x }[/math] och varför det är så .
Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:
Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.
Wikipedia skriver om talet (e)
Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math]
Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]
Använd derivatans definition på exponentialfunktionen
Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] i Geogebra.
Skriv in [math]\displaystyle{ g(x) = f'(x) }[/math]
Vi drar i glidaren till kurvorna sammanfaller.
För vilket värde på a är derivatan och funktionen lika.
Se också resonemanget på Matteboken.se
[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray*} f'(x)&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h} = \\ \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(e)^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{((1+h)^\frac{1}{h})^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(1+h)^k-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}h^{i-1}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\binom{k}{1}= \\\\ &=& ke^{kx} \end{eqnarray*} }[/math]
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] , där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant uppkommer detta mönster.
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:
[math]\displaystyle{ a^x\cdot k }[/math] , där [math]\displaystyle{ k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Om exempelvis värdet 2 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 0.69
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=2^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x }[/math]
Om exempelvis värdet 3 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] uttryck mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 1.1
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=3^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x }[/math]
Alltså ska talet som medför att [math]\displaystyle{ k=\frac{a^h-1}{h}=1 }[/math] befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] blir derivatan följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x }[/math]
Derivatan för funktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] motsvarar därför sig själv. Alltså:
[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]
e kan också definieras som gränsvärdet
De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)n}Mall:Sup sub är följande:
I decimalform, avrundat till tre decimaler:
Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.
Wikipedia skriver om e(tal)