Rotekvationer Ma2c

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Rotekvationen

Här undersöker vi rotekvationer och lär oss vad falska rötter är, hur de uppkommer och hur man visar att de är falska.


Teori

Rotekvationen
Sats


Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats kan formuleras som

Ett polynom

[math]P(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0[/math]

av graden [math]n\gt0[/math] med komplexa koefficienter [math]a_0 \ldots a_n[/math] har minst en komplex rot.

Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden [math]n[/math], där [math]n[/math] är större än 1, har precis [math]n[/math] komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (rötter kan vara lika).


Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av faktorsatsen.

Koefficienterna anges som komplexa tal vilken innefattar de reella talen, då dessa är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll.

Falska rötter

Definition

Om man löser en rotekvation genom att kvadrera vänster led och höger led dubblerar man ju polynomens grad. Det innebär att man skapar nya rötter. Eftersom de nya rötterna inte stämmer med originalekvationen kallas de falska rötter.


Exempel

Om du exempelvis har ett polynom av andra graden under ett rot så är den sammanvägda graden bara ett. Eftere kvadrering försvinner roten och du har en andragradsekvation men en av dess rötter är alltså falsk. Du hittar den falska roten genom prövning i ursprungsekvationen.


Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

[math]ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0[/math]

har alltid två rötter. Dessa är

[math]x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}[/math]

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella

exempel 2

Exempel
Hur många rötter har rotekvationen?

Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.

[math] \sqrt{x+2} = x [/math]

Kvadrera båda sidorna:

[math] x+2 = x^2 [/math]
[math] x^2 - x - 2 = 0 [/math]
[math] x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} [/math]
[math] x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} [/math]
[math] x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} [/math]
[math] x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} [/math]
[math] x_1 = - 1, x_2 = 2 [/math]

Viktigt att kolla om man har falska rötter.

[math]-1 [/math] är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.

Svaret är alltså [math]x = 2[/math]

Aktivitet

Uppgift
Diskutera

Fundera över hur du förklarar för en kompis vad en falsk rot är genom RotAktiviteten nedan.


RotAktivitet

En rotfunktion med glidare

Undersök rotfunktinen och förklara vad som händer

Lär mer

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Rotekvationer



Matteboken.png
Läs om Rotekvationer


Exit ticket