Rationella uttryck
Repetition
Lektion 7 - Faktorer, rötter och nollställen
Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna
Du har tidigare gjort enkla förenklingar av rationella uttryck. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna när vi förenklar.
| Exempel |
|---|
| Förenkla uttrycket
Använd konjugatregeln baklänges
Förkorta
|
Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett
| Definition |
|---|
| Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna
[math]\displaystyle{ a - b = -1 (-a + b) = - (-a + b) = - (b - a) }[/math] |
Här kommer ett lite svårare exempel.
| Exempel |
|---|
| Förenkla uttrycket
|
Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha
Det vi gör för hand när vi räknar i boken är nyttig träning i algebra och något du behöver kunna till exempel på nationella provet. Men ibland är problemen inte så tillrättalagda och om syftet är att lösa ett problem där förenklingen bara är ett steg på vägen så använder matematiker och ingenjörer digitala verktyg. WolframAplpha är ett av det bästa så vi passar på att träna detta inför lektionen.
Syfte
Övning 1
- [math]\displaystyle{ \frac{2x-4x^2}{1-2x} \ }[/math]
- Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-4x^2)/(1-2x)
- Vad blir svaret?
- Hur ser grafen ut?
- Vad har funktionen för nollställer?
- Har den någon asymptot?
- Räkna för hand och se att det stämmer.
Övning 2
- [math]\displaystyle{ \frac{2x-5x^2}{1-2x} \ }[/math]
- Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-5x^2)/(1-2x)
Förkorta rationella uttryck
| Definition |
|---|
|
För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.
Låt oss ta ett exempel
| Exempel |
|---|
| När är uttrycket odefinierat?
[math]\displaystyle{ \frac{x^2-4}{x(x+2)} }[/math] Utveckla kvadrattermen [math]\displaystyle{ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} }[/math] Förkorta [math]\displaystyle{ \frac{(x-2)}{x} }[/math] Svar: Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]
|
En liten repetitionsuppgift hinner vi också
Den här uppgiften rundar av det förra avsnittet om faktorisering av polynom med en liten knorr.
| Uppgift |
|---|
|
Finns det två olika tal x så funktionen [math]\displaystyle{ y = x^2+x+1 }[/math] får samma funktionsvärde?” |
Multiplikation och division av rationella uttryck
Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla. Exempel: rioriteringsreglerna fungerar med tal, variabler, komplexa tal, osv.
Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.
Så här funkar det med tal
Kom ihåg:
Räkneregler för multiplikation av bråk
- [math]\displaystyle{ (3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 }[/math]
- Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.
Räkneregler för division av bråk'
- [math]\displaystyle{ (3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 }[/math]
- Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2
| Definition |
|---|
| Multiplikation och division av bråk
Multiplikation
Division
|
Samma princip för Rationella uttryck
Ge ett eget exempel!
Addition och subtraktion av rationella uttryck
En kort sammanfattning
| Definition |
|---|
| Addition av bråk
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd} }[/math]
|
Exempel med siffror
Kom ihåg: det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.
- 3/4 + 5/9 → Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren.
- Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:
- 4 = 2 * 2 och 9 = 3 * 3 → Mgn = 2 * 2 * 3 * 3 = 4 * 9 = 36.
- Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn: (3 * 9) / (4 * 9) + (5 * 4) / (9 * 4) = (27 / 36) + (20 / 36)
- Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck: (27 + 20) / 36
- Till sist förenklar vi i täljaren: 47 / 36
- Och tittar sedan om det går att förenkla något: 7 * 7 / 6 * 6 . Det går inte att förenkla.
Exempel med rationella uttryck
- [math]\displaystyle{ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{x + 1}{x(x+1)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} }[/math]
Öva!
GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan
Klicka i plupparna för att visa respektive graf.
Testa dina kunskaper
Fördjupning rationella uttryck
- Wolfram gör polynomdivision, vad är det? Tips: Quotient and remainder:Step-by-step solution
- Vad blir resultatet?
- Beskriv Grafen