Rationella uttryck: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(36 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Teori ==
__NOTOC__
 
= Teori =


=== Vad är ett rationellt uttryck? ===
=== Vad är ett rationellt uttryck? ===
Rad 7: Rad 9:
Här kommer två exempel på rationella uttryck
Här kommer två exempel på rationella uttryck


: <math> \frac{6x+23}{x} </math>
: <math> \dfrac{6x+23}{x} </math>
<br>
<br>


: <math> \frac{5x2+2x}{x+6} </math>
: <math> \dfrac{5x^2+2x}{x+6} </math>


I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+2 i täljaren och 3x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.
I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+23 i täljaren och x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.


Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.
Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.
Rad 18: Rad 20:
I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6
I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6


: <math> \frac{5x2+2x}{x+6} </math>
: <math> \dfrac{5x2+2x}{x+6} </math>


: <math>x+6≠0⇒x≠−6 </math>
: <math>x+6≠0⇒x≠−6 </math>
Rad 24: Rad 26:
''Texten ovan kommer från matteboken.se''
''Texten ovan kommer från matteboken.se''


=== Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna ===
=== När är det rationella uttrycket odefinierat? ===
 
{{#ev:youtube |R4dslVG8-PA | 300|right |Rationella uttryck samt förkortning av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}


Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren.
{{defruta|


{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''
: Kvoten mellan två polynom är ett rationellt uttryck
<br />
:: Exempelvis <math> \dfrac{x^3-4}{x+1}</math>
: Det rationella uttrycket är inte definierat när nämnaren är lika med nol
:: Exemplet ovan är odefinerat för <math> x = -1 </math>
}}
För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.


: <math> \frac{x^2-16}{x-4} </math>
=== Addition och subtraktion av rationella uttryck ===
<br />


Använd konjugatregeln baklänges
==== En kort sammanfattning ====


: <math> \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} </math>
{{#ev:youtube | u2hQ-5ORHac | 300 |right| Addition och subtraktion av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}
<br />


Förkorta
{{defruta | '''Addition av bråk'''


: <math> x+4 </math>
<math> \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} =  \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} =  \dfrac{ad + bc}{bd} </math>


}}
}}
Rad 47: Rad 53:
==== Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett ====
==== Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett ====


{{#ev:youtube | RHO3KSPD0pY |340|right |Förenklingar genom att bryta ut -1, av Åke Dahllöf}}
{{#ev:youtube | RHO3KSPD0pY |300|right |Förenklingar genom att bryta ut -1, av Åke Dahllöf}}


{{defruta| Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna
{{defruta| Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna
Rad 56: Rad 62:
<br />
<br />


Här kommer ett lite svårare exempel.
=== Multiplikation och division av rationella uttryck ===
 
{{#ev:youtube | k8Gjh-Aog6w | 300 |right| Multiplikation och division av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}
 
Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla.
 
'''Exempel''': Prioriteringsreglerna fungerar med '''tal''', '''variabler''', '''komplexa tal''', osv.
 
Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.
 
==== Så här funkar det med tal ====
 
{{exruta|'''Räkneregler för multiplikation av bråk'''
 
: <math>(3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 </math>
: Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.
 
''Räkneregler för division av bråk'''
: <math>(3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 </math>
:  Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2
}}<br>
 
{{defruta | '''Multiplikation och division av bråk'''
 
'''Multiplikation'''
: <math> \dfrac{a}{b} \cdot  \dfrac{c}{d}  = \dfrac{a c}{b d} </math>
 
'''Division'''
: <math> \dfrac{a}{b} /  \dfrac{c}{d}  = \dfrac{a} {b} \cdot \dfrac{d}{ c} = \dfrac{a d} {b c} </math>
 
'''Samma gäller för rationella uttryck.'''
 
Om vi ersätter <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> med rationella uttryck så gäller samma regler.
}}
 
= Exempel =
 
== Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna ==
 
Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren.


{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''
{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''
<br />
<br />


: <math> \frac{-x^2 - x + 6)}{x-2} </math>
: <math> \dfrac{x^2-16}{x-4} </math>
<br />
<br />


: <math> \frac{(x+3) (2-x)}{x-2} </math>
Använd konjugatregeln baklänges
<br />


: <math> \frac{ - (x+3) (x - 2)}{x-2} </math>
: <math> \dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4} </math>
<br />
<br />


: <math> - x -3 </math>
Förkorta


: <math> x+4 </math>


}}
}}


=== När är det rationella uttrycket odefinierat? ===
=== Här kommer ett lite svårare exempel ===
 
{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''
<br />
 
: <math> \dfrac{-x^2 - x + 6)}{x-2} </math>
<br />


{{#ev:youtube |R4dslVG8-PA | 340|right |Rationella uttryck samt förkortning av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}
: <math> \dfrac{(x+3) (2-x)}{x-2} </math>
<br />


{{defruta|
: <math> \dfrac{ - (x+3) (x - 2)}{x-2} </math>
<br />


: Kvoten mellan två polynom är ett rationellt uttryck
: <math> - x -3 </math>
:: Exempelvis <math> \frac{x^3-4}{x+1}</math>
: Det rationella uttrycket är inte definierat när nämnaren är lika med nol
:: Exemplet ovan är odefinerat för <math> x = -1 </math>
}}
}}
För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.


==== Låt oss ta ett exempel ====
==== Låt oss ta ett exempel på definitionsmängd ====


{{exruta | '''När är uttrycket odefinierat?'''
{{exruta | '''När är uttrycket odefinierat?'''
<br />
<br />


<math> \frac{x^2-4}{x(x+2)}</math>
<math> \dfrac{x^2-4}{x(x+2)}</math>


Utveckla kvadrattermen
Utveckla kvadrattermen


<math> \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}</math>
<math> \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}</math>


Förkorta
Förkorta


<math> \frac{(x-2)}{x}</math>
<math> \dfrac{(x-2)}{x}</math>


Svar: Uttrycket är odefinerat när <math> x = 0 </math>
Svar: Uttrycket är odefinerat när <math> x = 0 </math>
Rad 107: Rad 156:
}}
}}


=== Addition och subtraktion av rationella uttryck ===
== Addition av rationella uttryck ==
 
=== Exempel med siffror ===
==== En kort sammanfattning ====
 
{{#ev:youtube | u2hQ-5ORHac | 340 |right| Addition och subtraktion av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}
 
{{defruta | '''Addition av bråk'''
 
<math> \frac{a}{b} + \frac{c}{d} =   \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd} </math>
 
}}
 
==== Exempel med siffror ====


{{exruta| '''Addition av bråk med siffror'''
{{exruta| '''Addition av bråk med siffror'''
Rad 125: Rad 163:
'''Kom ihåg''' att det måste vara '''samma nämnare''' när bråktal adderas och subtraheras.
'''Kom ihåg''' att det måste vara '''samma nämnare''' när bråktal adderas och subtraheras.


: <math>\frac{3}{4} + \frac{5}{9} </math>
: <math>\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{9} </math>


Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:
Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:
Rad 133: Rad 171:
Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn:  
Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn:  


: <math>\frac{(3 \cdot 9) }{ (4 \cdot 9)} + \frac{(5 \cdot 4)}{ (9 \cdot 4)} {{=}} \frac{27}{36} + \frac{20 }{ 36}</math>
: <math>\dfrac{(3 \cdot 9) }{ (4 \cdot 9)} + \dfrac{(5 \cdot 4)}{ (9 \cdot 4)} {{=}} \dfrac{27}{36} + \dfrac{20 }{ 36}</math>


Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck:  
Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck:  


: <math>\frac{(27 + 20)}{ 36}</math>
: <math>\dfrac{(27 + 20)}{ 36}</math>


Till sist förenklar vi i täljaren:   
Till sist förenklar vi i täljaren:   


: <math> \frac{47}{ 36}</math>
: <math> \dfrac{47}{ 36}</math>


Och tittar sedan om det går att förenkla något: <math>\frac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6}</math> . Det går inte att förenkla.
Och tittar sedan om det går att förenkla något: <math>\dfrac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6}</math> . Det går inte att förenkla.
}}
}}
<br>
<br>


==== Exempel med rationella uttryck ====
=== Exempel med rationella uttryck ===
<br />
<br />
{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''
{{exruta| '''Förenkla uttrycket'''


: <math> \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} </math>
: <math> \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{1}{x} </math>


Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt).
Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt).


: <math> \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{x + 1}{x(x+1)} </math>
: <math> \dfrac{x \cdot x}{x(x+1)} - \dfrac{x + 1}{x(x+1)} </math>


Utför subtraktionen i täljaren:
Utför subtraktionen i täljaren:


: <math> \frac{x^2 - x - 1}{x(x+1)}  </math>
: <math> \dfrac{x^2 - x - 1}{x(x+1)}  </math>
 
Uttrycket är odefinerat när <math> x = 0,~ x = -1 </math>
}}
}}


==== GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan ====
=== GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan ===


Klicka i plupparna för att visa respektive graf.
Klicka i plupparna för att visa respektive graf.
Rad 168: Rad 208:
<html> <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/2037679/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe> </html>
<html> <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/2037679/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe> </html>


=== Multiplikation och division av rationella uttryck ===
= Aktivitet =
 
{{#ev:youtube | k8Gjh-Aog6w | 340 |right| Multiplikation och division av rationella uttryck, av Åke Dahllöf}}
 
Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla.
 
'''Exempel''': Prioriteringsreglerna fungerar med '''tal''', '''variabler''', '''komplexa tal''', osv.
 
Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.
 
==== Så här funkar det med tal ====
 
{{exruta|'''Räkneregler för multiplikation av bråk'''
 
: <math>(3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 </math>
: Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.
 
''Räkneregler för division av bråk'''
: <math>(3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 </math>
:  Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2
}}<br>
 
{{defruta | '''Multiplikation och division av bråk'''
 
'''Multiplikation'''
: <math> \frac{a}{b} \cdot  \frac{c}{d}  = \frac{a c}{b d} </math>
 
'''Division'''
: <math> \frac{a}{b} /  \frac{c}{d}  = \frac{a} {b} \cdot \frac{d}{ c} = \frac{a d} {b c} </math>
}}
 
== Aktivitet ==


{{uppgruta|
{{uppgruta|


Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck.
Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck.
Skriv ner en korrekt redovisning av lösningen. Använd gärna digitalpenna.
}}
}}


== Lär mer ==
= Lär mer =


{| align="right"
{| align="right"
Rad 244: Rad 255:
==== Övning 1 ====
==== Övning 1 ====


:<math>  \frac{2x-4x^2}{1-2x} \ </math>
:<math>  \dfrac{2x-4x^2}{1-2x} \ </math>
<br />
<br />


Rad 257: Rad 268:
==== Övning 2 ====
==== Övning 2 ====


:<math>  \frac{2x-5x^2}{1-2x} \ </math>
:<math>  \dfrac{2x-5x^2}{1-2x} \ </math>
<br />
<br />


Rad 271: Rad 282:
# Vad blir resultatet?
# Vad blir resultatet?
# Beskriv Grafen
# Beskriv Grafen
<headertabs />

Nuvarande version från 21 september 2021 kl. 07.13


[redigera]

Vad är ett rationellt uttryck?

När man har två polynom och dessa bildar en kvot, då kallas den uppställningen för ett rationellt uttryck.

Här kommer två exempel på rationella uttryck

[math]\displaystyle{ \dfrac{6x+23}{x} }[/math]


[math]\displaystyle{ \dfrac{5x^2+2x}{x+6} }[/math]

I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+23 i täljaren och x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.

Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.

I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6

[math]\displaystyle{ \dfrac{5x2+2x}{x+6} }[/math]
[math]\displaystyle{ x+6≠0⇒x≠−6 }[/math]

Texten ovan kommer från matteboken.se

När är det rationella uttrycket odefinierat?

Load video
YouTube
Rationella uttryck samt förkortning av rationella uttryck, av Åke Dahllöf
Definition
Kvoten mellan två polynom är ett rationellt uttryck
Exempelvis [math]\displaystyle{ \dfrac{x^3-4}{x+1} }[/math]
Det rationella uttrycket är inte definierat när nämnaren är lika med nol
Exemplet ovan är odefinerat för [math]\displaystyle{ x = -1 }[/math]

För att undersöka när ett rationellt uttryck är odefierat måste man först förenkla.

Addition och subtraktion av rationella uttryck

En kort sammanfattning

Load video
YouTube
Addition och subtraktion av rationella uttryck, av Åke Dahllöf
Definition
Addition av bråk

[math]\displaystyle{ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad + bc}{bd} }[/math]



Om det är fel ordning på termerna i en faktor kan man bryta ut minus ett

Load video
YouTube
Förenklingar genom att bryta ut -1, av Åke Dahllöf
Definition
Bryt ut -1 för att byta ordning på termerna

[math]\displaystyle{ a - b = -1 (-a + b) = - (-a + b) = - (b - a) }[/math]



Multiplikation och division av rationella uttryck

Load video
YouTube
Multiplikation och division av rationella uttryck, av Åke Dahllöf

Matematiken är logiskt uppbyggd. Om det fungerar på ett visst sätt i enkla sammanhang så vill man att det ska fungera på samma sätt imer avancerade sammanhang. Samma räkneregler ska gälla.

Exempel: Prioriteringsreglerna fungerar med tal, variabler, komplexa tal, osv.

Multiplikation av rationella uttryck fungerar alltså på samma sätt som multiplikation av bråk eftersom det rationella uttrycket är ett bråk. Visserligen ett bråk med variabler i täljaren och nämnaren men ändå ett bråk. Tur att vi har tragglat bråkräkning så mycket tidigare. Då behöver detta inte bli något problem att tala om.

Så här funkar det med tal

Exempel
Räkneregler för multiplikation av bråk
[math]\displaystyle{ (3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 }[/math]
Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.

Räkneregler för division av bråk'

[math]\displaystyle{ (3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 }[/math]
Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2


Definition
Multiplikation och division av bråk

Multiplikation

[math]\displaystyle{ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a c}{b d} }[/math]

Division

[math]\displaystyle{ \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{a} {b} \cdot \dfrac{d}{ c} = \dfrac{a d} {b c} }[/math]

Samma gäller för rationella uttryck.

Om vi ersätter [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] med rationella uttryck så gäller samma regler.


[redigera]

Förenklingar av rationella uttryck med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna

Du har tidigare faktoriserat polynom. Nu ska vi använda konjugat- och kvadreringsreglerna för att faktorisera täljaren i ett rationellt uttryck så att vi kan förenkla genom att förkorta bort en faktor som återfinns i nämnaren.

Exempel
Förenkla uttrycket


[math]\displaystyle{ \dfrac{x^2-16}{x-4} }[/math]


Använd konjugatregeln baklänges

[math]\displaystyle{ \dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4} }[/math]


Förkorta

[math]\displaystyle{ x+4 }[/math]



Här kommer ett lite svårare exempel

Exempel
Förenkla uttrycket


[math]\displaystyle{ \dfrac{-x^2 - x + 6)}{x-2} }[/math]


[math]\displaystyle{ \dfrac{(x+3) (2-x)}{x-2} }[/math]


[math]\displaystyle{ \dfrac{ - (x+3) (x - 2)}{x-2} }[/math]


[math]\displaystyle{ - x -3 }[/math]


Låt oss ta ett exempel på definitionsmängd

Exempel
När är uttrycket odefinierat?


[math]\displaystyle{ \dfrac{x^2-4}{x(x+2)} }[/math]

Utveckla kvadrattermen

[math]\displaystyle{ \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} }[/math]

Förkorta

[math]\displaystyle{ \dfrac{(x-2)}{x} }[/math]

Svar: Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]



Addition av rationella uttryck

Exempel med siffror

Exempel
Addition av bråk med siffror

Kom ihåg att det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.

[math]\displaystyle{ \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{9} }[/math]

Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren. Hitta minsta gemensamma nämnare genom att faktorisera:

[math]\displaystyle{ 4 = 2 \cdot 2 ~och~ 9 {{=}} 3 \cdot 3 ~→~ Mgn ~{{=}} 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 {{=}} 4 \cdot 9 {{=}} 36. }[/math]

Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn:

[math]\displaystyle{ \dfrac{(3 \cdot 9) }{ (4 \cdot 9)} + \dfrac{(5 \cdot 4)}{ (9 \cdot 4)} {{=}} \dfrac{27}{36} + \dfrac{20 }{ 36} }[/math]

Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck:

[math]\displaystyle{ \dfrac{(27 + 20)}{ 36} }[/math]

Till sist förenklar vi i täljaren:

[math]\displaystyle{ \dfrac{47}{ 36} }[/math]

Och tittar sedan om det går att förenkla något: [math]\displaystyle{ \dfrac{7 \cdot 7 }{ 6 \cdot 6} }[/math] . Det går inte att förenkla.


Exempel med rationella uttryck


Exempel
Förenkla uttrycket
[math]\displaystyle{ \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{1}{x} }[/math]

Förenkla betyder i detta sammanhang att föra samman termerna genom att ge dem samma nämnare (göra liknämningt).

[math]\displaystyle{ \dfrac{x \cdot x}{x(x+1)} - \dfrac{x + 1}{x(x+1)} }[/math]

Utför subtraktionen i täljaren:

[math]\displaystyle{ \dfrac{x^2 - x - 1}{x(x+1)} }[/math]

Uttrycket är odefinerat när [math]\displaystyle{ x = 0,~ x = -1 }[/math]


GeoGebra visar hur det ser ut i exemplet ovan

Klicka i plupparna för att visa respektive graf.

[redigera]
Uppgift

Gör ett eget exempel på multiplikation eller division av rationella uttryck.

Skriv ner en korrekt redovisning av lösningen. Använd gärna digitalpenna.


[redigera]
Läs om Rationella uttryck


Wikipedia Rational function


En liten repetitionsuppgift hinner vi också

Den här uppgiften rundar av det förra avsnittet om faktorisering av polynom med en liten knorr.

Uppgift

Finns det två olika tal x så funktionen [math]\displaystyle{ y = x^2+x+1 }[/math] får samma funktionsvärde?”


Testa dina kunskaper

Som vanligt ett minitest

Öva!

Öva på Khan: Adding and subtracting rational expressions


Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Det vi gör för hand när vi räknar i boken är nyttig träning i algebra och något du behöver kunna till exempel på nationella provet. Men ibland är problemen inte så tillrättalagda och om syftet är att lösa ett problem där förenklingen bara är ett steg på vägen så använder matematiker och ingenjörer digitala verktyg. WolframAplpha är ett av det bästa så vi passar på att träna detta inför lektionen.

Syfte

Mål för undervisningen

Pröva hur Wolfram Alpha gör med rationella uttryck.


Övning 1

[math]\displaystyle{ \dfrac{2x-4x^2}{1-2x} \ }[/math]


Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-4x^2)/(1-2x)
  1. Vad blir svaret?
  2. Hur ser grafen ut?
  3. Vad har funktionen för nollställer?
  4. Har den någon asymptot?
  5. Räkna för hand och se att det stämmer.

Övning 2

[math]\displaystyle{ \dfrac{2x-5x^2}{1-2x} \ }[/math]


Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-5x^2)/(1-2x)

Repetition

Lektion 7 - Faktorer, rötter och nollställen

Fördjupning rationella uttryck

  1. Wolfram gör polynomdivision, vad är det? Tips: Quotient and remainder:Step-by-step solution
  2. Vad blir resultatet?
  3. Beskriv Grafen
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Rationella_uttryck&oldid=55437”