Räta linjen Ma2c

Från Wikiskola
Version från den 17 mars 2018 kl. 11.45 av Hakan (Diskussion | bidrag) (Programmering - repetition)
Hoppa till: navigering, sök
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandlas genom fem perspektiv (på fem lektioner):

  • Repetition och problemlösning
  • Att hitta k och m (algebraiskt)
  • Riktningskoefficienten
  • Parallella och vinkelräta linjer
  • Avståndsformeln och mittpunktsformeln


Teori

Repetition och problemlösning

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

  1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
  2. Vad betyder et att k är negativt
  3. Var skär den y-axeln? m-värdet
  4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

  1. två punkter på linjen eller
  2. en punkt på linjen och dess lutning


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Hitta k

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:


[math] k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} [/math]

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math] y = kx + m [/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Exempel
Bestäm m
[math] k = 2 [/math] och en punkt är [math] (3,5)[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math] 5 = 2 * 3 + m [/math]

Vilket ger:

[math] m= 5 -2 * 3 [/math]
[math] m= 5 -6 [/math]
[math] m= -1 [/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math] y= 2 x - 1 [/math]

Riktningskoefficienten

Logoliber.gif
Ma2C: Riktningskoefficienten, sidan 102 - 104


Slope picture
Definition
Riktningskoefficienten


[math] k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} [/math]
Exempel
Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math] k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} [/math]


linjes-lutning-4.png

linjes-lutning-3.png

Exempel
Billig städning + uträkning till exemplet

Uppgift

Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

Uträkning

Tänk så här:

Kostnaden ökar med [math]990kr-450kr= 540kr [/math]

Tiden ökar med [math]9-4= 5 timmar[/math]

[math]\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme[/math]

Avgiften per timme blir[math] = 108 kr[/math]


Parallella och vinkelräta linjer

Logoliber.gif
Ma2C: Parallella och vinkelräta linjer, sidan 110- 112

Parallella linjer

Parallel Lines
Definition

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

[math] k_1 = k_2 [/math]

Vinkelräta linjer

Definition

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

[math] k_1 \cdot k_2= -1 [/math]


Avståndsformeln och mittpunktsformeln

Avståndsformeln
Definition
Avståndsformeln

Avståndsformeln används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.

Avståndet d mellan två punkter i ett koordinatsystem, (x1, y1) och (x2, y2) kan skrivas

[math] d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} [/math]



"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.
Definition
Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln är en mattematisk ekvation.

Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.

Punkterna [math](x_1,y_1)[/math] och [math](x_2,y_2)[/math]
har mittpunkten [math](x_M,y_M)= (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})[/math]

Förklaras i videon

Exempel
Exempel på problem

Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp av mittpunktsformeln.

Lösning

[math] (x_m,y_m) = (\frac{1+(-3)}{2}), \frac{-2+5}{2}) = (-1, \frac{3}{2}) [/math]


Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

Logoliber.gif
Ma2C: allmänn form, sidan 113- 115


En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math] Ax + By + C = 0\,[/math]

eller på standardform:

[math] A x +By = C.\,[/math]

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math] y-y_0 = k(x-x_0)\,[/math]

Aktiviteter för flera lektioner

Repetition och problemlösning

Kort repetition

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning


Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.
Rommepriser.png

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.



Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift

En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.


Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Slope

Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.


Parallella och vinkelräta linjer

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Bevis vinkelräta linjer

Bevisa sambandet [math] vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1[/math] genom att:

  1. Visa om vinkelräta linjer [math] \Rightarrow k_1 * k_2 = -1[/math]
  2. Visa om [math]k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow[/math] vinkelräta linjer
Grid perp.png

Facit: (klicka expandera till höger)

Bevis.png



Avståndsformeln och mittpunktsformeln

Om du behöver repetera och göra uppgifter så går det bra.

Uppgift
Skriv ett snyggt bevis

LaTeX.

Om ni är fyra i en grupp kan ni skapa beviset för vinkelräta linjer genom att två visat från vänster till höger och de andra två från höger till vänster. Lämplig uppdelning inom ett par är att en gör en GeoGebra och den andre skriver beviset i [math] LaTeX [/math]


Uppgift
Extra uppgift Pi-dagen


Programmering - repetition

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Räta linjen med Python

Lär mer

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Räta linjen


Rls6vbnpndynmieps27hdw.jpg
läromedel: Räta linjen



Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan: Räta linjens ekvation


  • Typtal räta linjens ekvation. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
  • Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter Övningsblad räta linjens ekvation. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
  • Två sidor med Blandade svåra uppgifter på räta linjen. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
  • MalinC förklarar Räta linjen Här finns det bra förklaringar och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
  • En laboration om knutar på ett snöre från sid 109 i boken.
  • En stencil med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.

Repetion och enklare uppgifter

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation

Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare

Problemlösning

Klurig läxa

Tristan och Isolde

Hitta k och m

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.
Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Mittpunktsformeln

Exit ticket