Potensfunktioner: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
(17 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 19: | Rad 19: | ||
[[File:Potenssi 1 3 5.png|mini|upright=1.1|Potensfunktioner med ''a'' = 1, 3 och 5]] | [[File:Potenssi 1 3 5.png|mini|upright=1.1|Potensfunktioner med ''a'' = 1, 3 och 5]] | ||
En '''potensfunktion''' är en funktion av typen <math>f(x) = x^a</math>, där ''a'' är en konstant. Några exempel på potensfunktioner: | En '''potensfunktion''' är en funktion av typen <math>f(x) = x^a</math>, där ''a'' är en konstant. | ||
Några exempel på potensfunktioner: | |||
* <math>f(x) = x^2</math> | * <math>f(x) = x^2</math> | ||
Rad 46: | Rad 48: | ||
== Aktivitet == | == Aktivitet == | ||
=== Gissa talet === | |||
{{python|[[Gissa_talet|Gissa talet]]}} | |||
=== Rita funktioner i GeoGebra === | === Rita funktioner i GeoGebra === | ||
Rad 63: | Rad 69: | ||
}} | }} | ||
=== Lös | === Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra === | ||
[[File:Azhikkode 22.jpg|thumbnail|Coconut tree in Kannur Beach, India]] | |||
{{uppgruta | ''' | {{uppgruta | '''Rörelseenergi''' | ||
Rörelseenergin, E, hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln: | Rörelseenergin, <math>E</math>, hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln: | ||
: <math> | : <math> E_r\,=\,m\frac{v^2}{2} </math> | ||
där m är massan och v hastigheten. | där <math>m</math> är massan och <math>v</math> hastigheten. | ||
Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. | Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. | ||
Rad 78: | Rad 85: | ||
Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg. | Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg. | ||
<br /> | |||
'''Lägesenergi''' (Fördjupning) | |||
Lägesenergin ges av | |||
: <math> E_l\,=\,m\,g\,h </math> | |||
där tyngdaccelerationen <math>g = 9.82</math> och <math> h</math> är höjden. | |||
''Använd GeoGebra:'' Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? | |||
''Använd algebra:'' Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut <math> v</math>. Beräkna sedan hastigheten. | |||
Plotta din nya funktion. | |||
Vilka värden på <math>a</math> i funktionen <math>f(x) = x^a</math> har du begagnat dig av i denna uppgift? | |||
}} | }} | ||
Rad 85: | Rad 109: | ||
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dUuQvnMY/width/668/height/490/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="668px" height="490px" style="border:0px;"> </iframe> | <iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dUuQvnMY/width/668/height/490/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="668px" height="490px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
</html> | </html> | ||
{{Uppgruta| '''Vad visar GeoGebran ovan?''' | |||
Vad finns det för likheter och skillnader mellan kurvorna och vad beror dessa på? | |||
Vad gör glidaren? Ange minst två sakr och förklara matematiskt. | |||
}} | |||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
Quiz i canvas: Hur går det? |
Versionen från 17 mars 2018 kl. 10.09
|
Teori
Definition |
---|
|
En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant.
Några exempel på potensfunktioner:
- [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]
Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.
Några egenskaper för potensfunktioner:
- Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
- Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
- Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
- Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.
Potensfunktioner liknar exponentialfunktioner i sin form, eftersom båda innehåller potenser, men har radikalt andra egenskaper.
Texten från Wikipedia
Aktivitet
Gissa talet
Rita funktioner i GeoGebra
Uppgift |
---|
Undersök några potensfunktioner i GeoGebra. Testa funktionerna från teoriavsnittet:
|
Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra
Uppgift |
---|
Rörelseenergi
Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln:
där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten. Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten. Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg.
Lägesenergi (Fördjupning) Lägesenergin ges av
där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden. Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut [math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hastigheten. Plotta din nya funktion. Vilka värden på [math]\displaystyle{ a }[/math] i funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] har du begagnat dig av i denna uppgift? |
Lär mer
Uppgift |
---|
Vad visar GeoGebran ovan?
Vad finns det för likheter och skillnader mellan kurvorna och vad beror dessa på? Vad gör glidaren? Ange minst två sakr och förklara matematiskt. |
Exit ticket
Quiz i canvas: Hur går det?