Nollställe

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Nollställen

Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.


Teori

Definition
Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.



Andragradsekvationer och rötter

Exempel
Lös ekvationen:
[math]x^2-8x+16=0[/math]

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

[math]x^2-8x+17=0[/math]

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.


CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
Definition
En andragradsekvation kan ha 
två reella rötter eller
en dubbelrot eller
två komplexa rötter


Faktorisering och nollproduktsmetoden

Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid för att få upp tempo och automatisera procedurerna.

Faktorisering andragradare.PNG
Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:

  1. [math]x^2 - 9[/math]
  2. [math]x^2 - 81[/math]
  3. [math]c^2 - 4[/math]
  4. [math]x^2 - 6[/math]
  5. [math]x^2 - 3.4[/math]
  6. [math]x^2 - k^2[/math]


Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Exempel
Faktorisera för att hitta nollställena

Vilka rötter har ekvationen [math] x^2 - 6 x + 9[/math] ?

Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot.

Ekvationen kan även skrivas på formen [math] (x-3)^2 = 0[/math]


Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x2 = (1+x)2

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

  1. 4+8x+4x2=
  2. 4-12x+9x2=
  3. 64+144x+81x2=
  4. 0.25-10x+100x2=
  5. a2-2ab+b2=
  6. a2+2abx+b2x2=
  7. 0.16a2+2.4ax+9x2=
  8. 9y2-12x2y+4x4=



Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math] (x-a)(x-b) = 0 [/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

[math] x^2 -x -6 = 0 [/math]

kan skrivas som

[math] (x+2)(x-3) = 0 [/math]

Rötterna är : [math] x= -2[/math] och [math]x=3 [/math]

Observera den negativa roten. Faktorn : [math] (x+2) = 0 [/math] om [math] x= -2 [/math]


Aktivitet

Tempot är viktigt

Om du gör ett prov kanske det innehåller 12 uppgifter som du ska göra på en timme. Några uppgifter är lätta och går fort men några andra kräver mycket mer tid. Det ger oss anledning att fundera över hur fort man bör kunna lösa uppgifter. En rimlig hastighet är att du löser cirka 20 uppgifter per timme om uppgifterna är lagom svåra. Det innebär i snitt tre minuter per uppgift.

Uppgift
Se om du kan göra en uppgift på tre minuter

Välj en uppgift i Kunskapsmatrisen på den betygsnivå som ligger nära det betyg du hade i Ma1c.

Se om du kan göra uppgiften på tre minuter. Din lärare tar tid. Du ska redovisa din lösning iinom de tre minutrarna.


Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf

Uppgift
Studera GeoGebran

Den här GeoGebran är fullmatad med information. Titta igenom den och fundera vad allting betyder och hur det hänger ihop.

Låtsas att du spelar in en film och agera speaker till filmen men du behöver inte säga dina meningar högt. Tänk dem i huvudet.

Om du behöver visa begrepps- eller kommunikationsförmåga är du välkommen att spela in en film och lämna till din lärare. Du kan peka på grafen och de markerade punkterna och orden och förklara samtidigt. om du är duktig kan du börja med grafen och sedan klicka för att visa en sak i taget.


Av Jonas Hall.

Lär mer

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Nollställen





Uppgift
Gör denna diagnos på ekvationssystem

Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner

Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper


Många andra Geogebras

Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner

Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. Bör rensas och infogas på denna sida.

Exit ticket

Kahoot

Det är lämpligt att testa kunskaperna både före och efter att vi övat oss. Då ser man resultat av ansträngning.

Kahoot-logo.png
Gör en Kahoot: Kahooten är här.