Matematik 1c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Rad 196: Rad 196:
'''Binära talsystemet'''
'''Binära talsystemet'''


Det '''binära talsystemet''' är en representation för tal som har [[talbas]]en två. Det betyder att enbart två olika siffror används, ett och noll. Binära tal används praktiskt taget av alla [[dator]]er eftersom de använder digital elektronik och boolesk algebra (eller ''binär algebra'' som det också kallas). I Europa var Juan_Caramuel_y_Lobkowitz Caramuel först med att beskriva det binära talsystemet som han då kallade Dyadik. Medan Gottfried Leibniz gjorde det känt för en bredare publik. Talsystemet upptäcktes dock långt tidigare av den forntida matematikern Pingala.
Det '''binära talsystemet''' är en representation för tal som har talbasen två. Det betyder att enbart två olika siffror används, ett och noll. Binära tal används praktiskt taget av alla datorer eftersom de använder digital elektronik och boolesk algebra (eller ''binär algebra'' som det också kallas). I Europa var Juan_Caramuel_y_Lobkowitz Caramuel först med att beskriva det binära talsystemet som han då kallade Dyadik. Medan Gottfried Leibniz gjorde det känt för en bredare publik. Talsystemet upptäcktes dock långt tidigare av den forntida matematikern Pingala.


Det binära talsystemets talföljd består bara av två siffror, 0 och 1.
Det binära talsystemets talföljd består bara av två siffror, 0 och 1.

Versionen från 5 september 2011 kl. 10.41

Grovplanering: v 34-36 Taluppfattning och Aritmetik

Lektion 1 Tal, implikation och ekvivalens

Först måste vi:

  • dela ut böcker
  • reflektera över resultaten från diagnosen
  • gå igenom några uppgifter ur diagnosen
  • ge läxa.

Sid 6-11 i boken Matematuik 1C av Sjunnesson, Holmström, Smedhamre. Vi behandlar begreppen naturliga tal, heltal, rationella tal, irrationella tal och reella tal.

Sedan går vi in på begreppen implikation och ekvivalens.

Uppgift: Hitta på egna implikationer och ekvivalenser.

Implikation ==> 

Tina har en tax ==> Tina har hund

Ekvivalens <==> 

Vi har en täljare och en nämnare <==> Vi har en kvot

Läs: Tal och räkning i Wikibooks

Lektion 2 - Definition sats och bevis

Inledning

  • Har ni övat hemma?
  • Läs igenom Webbmatte för grundskolan om ni vill repetera.
  • Titta på kursplaneringen
  • Veckoförhör varje fredag, helt diagnostiskt?

Först: mer genomgång av diagnosen, sid 4-5.

Definition En definition är en bestämning eller avgränsning av ett språkligt uttrycks betydelse. Källa Wikipedia 

Exempel: Ett udda tal slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.

Sats Ett bevisat påstående, en matematisk regel.

Bevis Ett bevis är en övertygande argumentationskedja som visar att en viss slutsats gäller. Wikipedia 

Bevisa att medelvärdet är lika med medianen för fem på varandra följande tal.

Lektion 3 - Negativa tal

Länkar

Visa 

20+(-5) = 15 + 5 + (-5) = 15
Alltså: 20+(-5)  = 20 - 5

20 - (-5) = 20 + 0 - (-5) = 20 + 5 + (-5)- (-5) = 20 + 5
Alltså: 20 - (-5) = 20 + 5

Vad handlar det om?

  • minustecken kan betyda subtraktion eller negativa tal
  • a+(-a) = 0 definition
  • a+(-b) = a-b addition
  • a-(-b) = a+b subtraktion
  • a*(-b) = -ab multiplikation
  • (-a)*(-b) = ab multiplikation
  • (-a)/b = -(a/b) division
  • (-a)/(-b) = a/b division

Lektion 4 - Primtal

Titta gärna på avsnitten om faktorisering och primtal för grundskolan.

Teori 

Primtal är bara delbara med ett och sig själva. (positiva tal)

Alla positiva tal är uppbyggda av primtal
(man dela upp dem i faktorer som är primtal) 

jämna tal är delbara med två
om siffersumman är delbar med ttre så är talet delbart med tre
om talet slutar på noll eller fem är det delbart med fem
  • Pröva gärna att använda Excel för att undersöka om ett tal är ett primtal.

Datorövning. Lär dig mer om ett tal genom WolframAlpha. Du ser bland annat hur talet delas upp i faktorer. Skriv bara talet på raden och klicka enter.

Datorövninga från matteva. Delbarhetsreglerna

  • Här kan det vara bra att känna till att:
Ett helt tal är delbart med
2, 	om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
3, 	om talets siffersumma är delbar med 3.
4, 	om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5, 	när sista siffran är 0 eller 5.
6, 	när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
7, 	när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
           Ex.:392 är delbart med 7 (39-4=35)
8, 	när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9, 	när talets siffersumma är delbar med 9.
10, 	när talets sista siffra är en nolla.

Denna lista kommer från denna sida

Lektion 5 - Tal i bråkform

Glöm inte att repetera med webbmatte.se men du kan även repetera på wikiskolas bråksida.

Definition 

Bråket a/b har täljare a och nämnare b

Satser 

Man kan förlänga bråk

Man kan förkorta bråk
Då behöver man ofta faktorisera

Vid addition och subtraktion måste bråken göras liknämniga. Minsta gemensamma nämnare.

Multiplikation av bråk 

a/b * c/d = ac /  bd

Visa grafiskt: 2/3 * 1/4

Division av bråk 

a/b / c/d = a/b * d/c = ad / bc

Rita 6m-repet som delas i bitar om 3/4

M Bondestam ger en förklaring av multiplikation och division med bråk.

Load video
YouTube

Lektion 6 - Potenser

Satser och definitioner nedan är hämtade från Wikipedia.

Definition: Potens

I sin enklaste form definierar man potenser som resultatet av upprepad multiplikation. 

Exempelvis, 43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.

Satser: Räkneregler för potenser

Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, potenslagarna:

  1. xm * xn = xm+n
  2. xm / xn = xm-n, (x ≠ 0)
  3. (xm)n = xm*n
  4. xn*yn = (xy)n

Läxa till måndag att räkna klart sidan 32. Dessutom inlämningsuppgift till nästa fredag. Wolfram Alpha

Definition: Exponenten är noll

Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal inför man definitionerna att

a0 = 1 (om a ≠ 0) 

Exempel: 20 = 1

Definition: Exponenten är negativ

  • a−n = 1 / an (om a ≠ 0).
Exempel: 2−1 = 1 / 21

Definition: Exponenten är ett rationellt tal

För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras värdet av potenser med rationell exponenter

  • x = a p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller xq = ap
Speciellt betecknas a1/2 som kvadratroten ur a och a1/3 som kubikroten ur a.

Satser: Roten ur produkter och kvoter

Lektion 7 - Positionssystemet och olika talbaser

Tisdag

Vi tittar på snittet på veckodiagnosen och delar ut dem.

Decimala talsystemet (tiosystemet) är ett positionssystem som baseras på talet 10 och därmed använder 10 olika siffror (det normala antalet fingrar), 0–9. Sedan låter man siffrans position bestämma vilken 10-potens som siffran skall multipliceras med. På detta sätt blir talet 

304 = 3·102 + 0·101 + 4·100.

CC från Wikipedia

Ett exempel från boken:

Visa att 0,375 = 3/8

Binära talsystemet

Det binära talsystemet är en representation för tal som har talbasen två. Det betyder att enbart två olika siffror används, ett och noll. Binära tal används praktiskt taget av alla datorer eftersom de använder digital elektronik och boolesk algebra (eller binär algebra som det också kallas). I Europa var Juan_Caramuel_y_Lobkowitz Caramuel först med att beskriva det binära talsystemet som han då kallade Dyadik. Medan Gottfried Leibniz gjorde det känt för en bredare publik. Talsystemet upptäcktes dock långt tidigare av den forntida matematikern Pingala.

Det binära talsystemets talföljd består bara av två siffror, 0 och 1. Nästa tal är det, av de talen som kan skrivas med ettor och nollor, som kommer näst i sifferraden. Så talen blir: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000 o.s.v

De gamla egyptierna använde det binära talsystemet för att skriva bråktal i decimalform. De använde dock inte ettor och nollor, utan de använde sig av en symbol kallad 'Horus öga'. Olika delar av symbolen motsvarade olika positioner på höger sida om kommatecknet. Om just den delen ritades ut motsvarade det en etta på den positionen, om den utelämnades motsvarade det en nolla.<ref>Mall:Webbref</ref>

Precis som i det decimala talsystemet är den högra siffran minst signifikant. Med enbart den siffran kan talet 0 och 1 beskrivas. För att beskriva talet 2 måste en ny siffra skrivas till vänster om den första, det vill säga '10', varpå talet 3 följer representerat som '11'. Detta fortgår på samma maner ju högre upp man behöver komma.

Exempel på hur man kan skriva för att konvertera ett binärt tal till decimaltal:

Om det binära talet är 10101101 så är det decimala talet 

 1·27 + 0·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 =

 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 173

Om ett binärkomma finns närvarande så representerar siffrorna till höger om det en mot höger ökande negativ tvåpotens. Exempel: 

   11,0012 = 1·21 + 1·20 + 0·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 = 2 + 1 + 0 + 0,125 = 3,12510

Vid representation av tal med decimaler är det dock idag mycket vanligare att använda IEEE:s flyttalsrepresentation

Horners metod

En intressant egenskap i det binära talsystemet är att en multiplikation med två erhålles genom att helt enkelt skifta alla siffror en plats åt vänster och sätta dit en nolla. Denna egenskap ger följande intressanta variant av Horners metod: För att enkelt beräkna det decimala värdet av ett binärt tal i huvudet behöver du bara läsa talet från vänster och multiplicera varje delsumma med två; om den binära siffran är en etta så addera dessutom en etta till summan. Man börjar med summan 0. Med samma exempelsträng som ovan (10101101) blir det så här: 

 0·2+1=1 , 1·2=2, 2·2+1=5, 5·2=10, 10·2+1=21, 21·2+1=43, 43·2=86, 86·2+1=173

CC från Wikipedia


Omvandla binärt till decimalt

Omvandla decimalt till binärt

Hexadecimala talsystemet

Lektion 8 - Tiopotenser och prefix

Tisdag

Lektion 9 - Avrundning

Avrundning

Lektion 10 - Sammanfattning och repetition

Fredag: Veckodiagnos.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Matematik_1c&oldid=9903”